數(shù)列題型及解題方法歸納總結(jié)

1、令n=1, 2,，(n-1 ),代入得(n-1 )個(gè)等式累加,即(a2-a1)(2n 1)(2n 1)2 2n 12n 1掌握了數(shù)列的基本知識(shí)，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng) 公式、求和公式及性質(zhì)，掌握了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng) 用，就有可能在高考中順利地解決數(shù)列問題。一、典型題的技巧解法1、求通項(xiàng)公式(1)觀察法。(2)由遞推公式求通項(xiàng)。對于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通常可通過對遞推公 式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問題。(1)遞推式為an+i=an+d及an+產(chǎn)qan (d, q為常數(shù))例1、？已知an滿足an+尸a+2,而且ai=10求an。例1、解？ an+1-a n=2

2、為常數(shù)，an是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列an=1+2 (n-1 ) 即 an=2n-11 一，、例2、已知an滿足an 1 an ,而a1 2 ,求an =?2(2)曲式力言=褊產(chǎn)(I數(shù)+ (a3-a 2) + (an-a n-1) 說明？只要和f (1) +f (2) + +f (n-1)是可求的，就可以由 an+1=an+f (n)以 n=1, 2,，(n-1)代 入，可得n-1個(gè)等式累加而求ano(3)遞推式為an+1=pan+q (p, q為常數(shù))例 4、an中，a1 1,對于 n>1 (nGN)有 an 3an 1 2,求 an.解法一：由已知遞推式得 an+1=3an+2,

3、 an=3an-1+2。兩式相洞： an+1-a n=3 ( an-a n-1 )因此數(shù)列an+1-an是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a2-a 1= (3 X 1+2) -1=4an+1-a n=4 3n-1; an+1=3a+2?3a+2a=4 3n-1即 a n=2 3n-1-1解法二：上法得an+1-an是公比為3的等比數(shù)列，于是有：a2-a 1=4, a3-a 2=4 , 3, a4-a 3=4 , 3 , , an-a n-1 =4 , 3 ,把 n-1 個(gè) 等 式 累 加 得 ：an=2 . 3n-1-1 遞推式為an+1=p a n+q n (p, q為常數(shù))bn 1 bn2(b

4、n bn3由上題的解法，得：1an 1 an an 1? n 1bn 3bn2n3(1)n W)n2311 an 12 an 矛上式兩邊同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2則2 3是公差為2(5)遞推式為an 2 pan 1qan的等差數(shù)列。設(shè)an 2pan 1qan ,可以變形為：an 2an 1(an 1 an ) ?.2"&= 2+ (n-1 ) 2=2n .% 二數(shù)列求和的常用方法:就是 口I： CL + p )1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。于是an+1- a an是公比為B的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面2、錯(cuò)項(xiàng)相減法：

5、適用于差比數(shù)列（如果an等差，bn等的類型。比，那么-bn叫做差比數(shù)歹U）_J1【例己如數(shù)列%中，3=1.% =2, %?二m與百弘即把每一項(xiàng)都乘以bn的公比q ,向后錯(cuò)求an o一項(xiàng)，再對應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比（6）遞推式為S與an的關(guān)系式數(shù)列求和。關(guān)3、裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)系；（2）試用n表示ano抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。11Sn 1 Sn(an an 1) (?n 22n 1 )適用于數(shù)列和an an 1： an a an 1（其中an等差)可裂項(xiàng)為：1an an 1), an 1數(shù)列通項(xiàng)的求法:公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。已知Sn (即a

6、1 a2 L an f (n)求an ,用作差法:等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題：anS1,(n 1)Sn Sn 1，(n 2)f(1),(n 1)已知aga2gL中nf (n)求an ,用作商法：an f (n)f(n 1)'/八、o(n 2)1、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1 0 ,公差d(i )若已知通項(xiàng)an ,則Sn最大an 0an 10已知條件中既有Sn還 也可直接求an o 若an 1 anf (n)an (an an 1) (an 1 an 2)a1 (n 2) o已知如1f(n)ananan 11a2/anL a(nan 1 an 2a1已知遞推關(guān)系求an,有最大值(ii)若已知

7、Sn pn2 qn ,則當(dāng)n取最靠近 -q的非零自2p然數(shù)時(shí)Sn最大；2、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)an 0 ,公差d 0 ,則前n項(xiàng)和Sn有最小值a 0(i)若已知通項(xiàng)an,則Sn最小 n ；an 10a an ,有時(shí)先求Sn ,再求an ；有時(shí)求 an用累加法：L (a2 a1)求 an , 用累乘法：2)?？蓸?gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù) 列)特別地，(1)形如 ankan 1 b、an kan 1 bn(k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為(ii)若已知Sn pn2 qn ,則當(dāng)n取最靠近 的非零自2p然數(shù)時(shí)Sn最小;k的等比數(shù)列后，再求an ；形如an kan 1 kn的遞推數(shù)

8、列都可以除以kn得到一個(gè)等差數(shù)列后，再求 an。(2)形如a”an 1的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法kan 1 b求通項(xiàng)。(3)形如ani ank的遞推數(shù)列都可以用對數(shù)法求通項(xiàng)。(7)(理科)數(shù)學(xué)歸納法。(8)當(dāng)遇到am ani d或亙工q時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù) an 1項(xiàng)討論，結(jié)果可能是分段形式。數(shù)列求和的常用方法：(1)公式法：等差數(shù)列求和公式； 等比數(shù)列求和公式。(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。(3)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其 共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序 相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(

9、這也是等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法).(4)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減 法(這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法).(5)裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的 形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求 和.常用裂項(xiàng)形式有：11an(n 1) n n 1 n(n k) k'n n k，分11111-2 -2一()，k2 k2 12 k 1 k 11111111-；k k 1 (k 1)k k2 (k 1)k k 1 k， . ，(n 1)! n! (n 1)! 2( n 1 . n)2n 、. n 1

10、二、解題方法：2、n2( . n求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法: 1、公式法 2、由Sn求an3、求差(商)法1.解：n 1 時(shí)，一a12 1 5，- a1142練習(xí)4、疊乘法解：盟冬21 2二,.員1a a2an 1 2 3na n5、等差型遞推公式練習(xí)6、等比型遞推公式練習(xí)7、倒數(shù)法(3)、倒序相加法(n2-n 2)一 ，一 1例12、求和一解？ S=n2 (1+2+3+n) - ( 13+23+33+n3)1?5 3?7注：在消項(xiàng)忖產(chǎn)定注藤1項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)一樣多。一:5?9(2n 1)(2n 3)剩下哪些頂，一般地剜下的正I 1- l)(2n + 3)2n + 32.數(shù)列求和問題的方法(1)、應(yīng)用公

11、式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和，另外記住以下公式對求和來說是有益的。 21 + 3 + 5+ (2n-1)=n【例 8】 求數(shù)列 1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17+19),前n項(xiàng)的和。解？本題實(shí)際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n項(xiàng)中，共有-11+2+n=n(n 1)個(gè)奇數(shù)，2最后一個(gè)奇數(shù)為：1+ 1n(n+1)-1 x 2=n2+n-12因此所求數(shù)列的前n項(xiàng)的和為(2)、分解轉(zhuǎn)化法對通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和。【例 9】求和 S=1 (n2-1 ) + 2 (n2-22) +3 (n2-3 2) + +n適用于給定式子中

12、與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，然后求和。例 10、求和：Sn 3Cn 6Cn2 L 3nCn例 10、解 Sn 0?C： 3Cn 6C2 L 3nCnn+ 3 Cn - 1) C + +0C：n-1相加能恥：2 c；1t可得(4)、錯(cuò)位就黜T3n+喘)=丸，2=如果一個(gè)數(shù)列是由 一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比, 然后錯(cuò)位相減求和.例 11、 求數(shù)列 1, 3x, 5x2, ,(2n-1)x n-1 前 n 項(xiàng)的和.解？設(shè) $=1+3+5x2+(2n-1)x n-1. ?(2)x=0 時(shí)，Sn=1.(

13、3)當(dāng)xw。且xw1時(shí)，在式兩邊同乘以x得xS n=x+3x2+5x3+_n 6+(2n-1)x ,-，得 (1-x)S n=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)x n.(5)裂項(xiàng)法：把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)(式多項(xiàng))差的形式，然后前后相消。常見裂項(xiàng)方法：在掌握常見題型的解法的同時(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想在解決數(shù)列 問題時(shí)的應(yīng)用。二、常用數(shù)學(xué)思想方法1.函數(shù)思想運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決。【例13】？等差數(shù)列an的首項(xiàng)ai>0,前n項(xiàng)的和為S,若S產(chǎn)& (l wk)問n為何值時(shí)與最大？此函數(shù)以n為自變量的二次于森 ai>0? Si=8 (lw

14、k) , dv 0故 此二次函數(shù)的圖像開口向下二：一 I： 二卜、：i 二，一一.f (l ) =f (k)”I If2 .方程思想當(dāng)l+k為偶數(shù)時(shí)，口 = 三時(shí)最大口【例14】設(shè)等比數(shù)列an前n項(xiàng)和為$,若&+&=24,求數(shù)列的公比q。分析？本題考查等域印照崛擻1陰推理對莊上縣時(shí)與最大.解 :依題意可知qwl。2;如果q=1,則S?=3ai, &=6ai, &=9ai。由此應(yīng)推出 ai=0與等比數(shù) 列不符。, q w 1整理得？ q 3 (2q6-q 3-1 ) =0? = qw 0此題還可以作如下思考：S6=S3+q3S3= (1+q3) S3。S=S3+q

15、3S6=S3 (1+q3+q6),.由 5+&=2&可得 2+q3=2 (1+q3+q6) , 2q6+q3=03 .害忑理想了_1_2【漏胴?'已講朗口 / %是不中。1的正數(shù)，x, y, zC R+,且求證：a, b, c順次成等比數(shù)列。證明？依題意令ax=by=cz=kx=1ogak, y=log bk, z=log ckb2=aca, b, c成等比數(shù)列(a, b, c均不為0)數(shù)學(xué)5 (必修)第二章：數(shù)列一、選擇題1 .數(shù)列an的通項(xiàng)公式an 廠1 ,則該數(shù)列的前().n -n 1項(xiàng)之和等于9。A. 98 B . 99 C. 96 D . 972 .在等差數(shù)列an中，若S41,S84,則a17a18a19a20的值為()A. 9 B . 12 C. 16 D . 173 .在等比數(shù)列 an中，若a2 6,且a5 2a4 a3 12 0 ,則an為()A. 6 B . 6 ( 1)n 2 C . 6 2n 2 D . 6 或 6 ( 1)n 2或 6 2n 2二、填空題1 .已知數(shù)列an中，ai1 ,aniananian,則數(shù)列通項(xiàng)an 。2 . 已知數(shù)列 的Sn n2 n 1, 則a8 a9 ai0 ai a2=。3 .三個(gè)不同的實(shí)數(shù)a,b,c成等