第三節(jié)基本定理的推廣

1、第三節(jié) 基本定理的推廣一、問(wèn)題的提出二、復(fù)合閉路定理三、典型例題復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理四、小結(jié)與思考一、問(wèn)題的提出 2.d11 , zzz計(jì)算計(jì)算實(shí)例實(shí)例 , 1 2 在內(nèi)的閉曲線在內(nèi)的閉曲線是包含是包含因?yàn)橐驗(yàn)?zz根據(jù)本章第一節(jié)例根據(jù)本章第一節(jié)例4可知可知, 2.2d11 zizz由此希望將基本定理推廣到多連域中由此希望將基本定理推廣到多連域中.二、復(fù)合閉路定理1. 閉路變形原理閉路變形原理 , )( 在多連通域內(nèi)解析在多連通域內(nèi)解析設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)zf ),( 1正向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较蛘驗(yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较騿伍]曲線單閉曲線內(nèi)的任意兩條簡(jiǎn)內(nèi)的任意兩條簡(jiǎn)為為及及DCC. 11DDCC全含于全含于為邊界的區(qū)

2、域?yàn)檫吔绲膮^(qū)域及及DC1C1DAA BB , BBAA 和和作兩段不相交的弧段作兩段不相交的弧段DC1C1DAA BB EE FF , AAEBAEB 顯然曲線顯然曲線 BFABFAA , , , , ,FFEE 添加字符添加字符為了討論方便為了討論方便 . 均為封閉曲線均為封閉曲線 , D因?yàn)樗鼈兊膬?nèi)部全含于因?yàn)樗鼈兊膬?nèi)部全含于, 0d)( AAEBAEBzzf故故. 0d)( BFABFAAzzf,AAAEBBBAEBAAEBAEB ,BFABBBFAAABFABFAA AAEBAEBzzfd)( 由由, 0d)( BFABFAAzzf得得DC1C1DAA BB EE FF Czzfd)(

3、 1d)(Czzf AAzzfd)( AAzzfd)(, 0d)( BBzzf BBzzfd)(, 0d)(d)( 1 CCzzfzzf即即.d)(d)( 1 CCzzfzzf或或DC1C1DAA BB EE FF , 1 成一條復(fù)合閉路成一條復(fù)合閉路看看及及閉曲線閉曲線如果我們把這兩條簡(jiǎn)單如果我們把這兩條簡(jiǎn)單CC : 的正方向?yàn)榈恼较驗(yàn)?, 按逆時(shí)針進(jìn)行按逆時(shí)針進(jìn)行外面的閉曲線外面的閉曲線 C , 1按順時(shí)針進(jìn)行按順時(shí)針進(jìn)行內(nèi)部的閉曲線內(nèi)部的閉曲線 C ), , (的左手邊的左手邊內(nèi)部總在內(nèi)部總在的的的正向進(jìn)行時(shí)的正向進(jìn)行時(shí)即沿即沿 . 0)( dzzf那末那末 解析函數(shù)沿閉曲線的積分解析

4、函數(shù)沿閉曲線的積分, , 不因閉曲線在不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值. .閉路變形原理閉路變形原理說(shuō)明說(shuō)明: : 在變形過(guò)程中曲線不經(jīng)在變形過(guò)程中曲線不經(jīng)過(guò)函數(shù)過(guò)函數(shù) f(z) 的不解析的點(diǎn)的不解析的點(diǎn). .2. 復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn為邊界的區(qū)域全含于為邊界的區(qū)域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它們它們內(nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線是在是在內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線多連通域多連通域?yàn)闉樵O(shè)設(shè) , )( 內(nèi)解析內(nèi)解析在在如果如果DzfDC1C2

5、C3C那末那末,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCCDC1C2C3C. 0d)()2( zzf). , , , , :( , , , , 2121順時(shí)針進(jìn)行順時(shí)針進(jìn)行按按按逆時(shí)針進(jìn)行按逆時(shí)針進(jìn)行其方向是其方向是組成的復(fù)合閉路組成的復(fù)合閉路為由為由這里這里nnCCCCCCCC 三、典型例題例例1 1解解 . 1 ,d12 2曲線曲線在內(nèi)的任何正向簡(jiǎn)單閉在內(nèi)的任何正向簡(jiǎn)單閉為包含圓周為包含圓周計(jì)算積分計(jì)算積分 zzzzz, 1 0 12 2 zzzzz和和內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)在復(fù)平面在復(fù)平面因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)依題意知依題意知, xyo 1 也包

6、含這兩個(gè)奇點(diǎn)，也包含這兩個(gè)奇點(diǎn)， , 21CC 和和不相交的正向圓周不相交的正向圓周內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互在在 xyo 1 , 0 1 zC 只包含奇點(diǎn)只包含奇點(diǎn) , 1 2 zC 只包含奇點(diǎn)只包含奇點(diǎn)1C2C根據(jù)復(fù)合閉路定理根據(jù)復(fù)合閉路定理, zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 例例2 2 . 1 2 ,d 所組成所組成向圓周向圓周和負(fù)和負(fù)為正向圓周為正向圓周計(jì)算積分計(jì)算積分 zzzzezxyo121C2C解解 , 21圍成一個(gè)圓環(huán)域圍成一個(gè)圓環(huán)域和和CC, 上處處解析上處處

7、解析在此圓環(huán)域和其邊界在此圓環(huán)域和其邊界函數(shù)函數(shù)zez圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理根據(jù)閉路復(fù)合定理,. 0d zzez例例3 3. , ,d)(1 1為整數(shù)為整數(shù)的任一簡(jiǎn)單閉路的任一簡(jiǎn)單閉路為含為含求求nazazn 解解 , 內(nèi)部?jī)?nèi)部在曲線在曲線因?yàn)橐驗(yàn)?a a , 故可取很小的正數(shù)故可取很小的正數(shù) , : 1內(nèi)部?jī)?nèi)部含在含在使使 az1 , )(111內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析為邊界的復(fù)連通域?yàn)檫吔绲膹?fù)連通域在以在以 naz由復(fù)合閉路定理由復(fù)合閉路定理, 1d)(1d)(111zazzaznn a 1 ,20 ieaz令令 1d)(11zazn 201

8、d)( niieie 20d ninie . 0, 00,2d)(1 1nnizazn故故 此結(jié)論非常重要此結(jié)論非常重要, 用起來(lái)很方用起來(lái)很方便便, 因?yàn)橐驗(yàn)椴槐厥菆A不必是圓, a也不必也不必是圓的圓心是圓的圓心, 只要只要a在簡(jiǎn)單閉曲在簡(jiǎn)單閉曲線線內(nèi)即可內(nèi)即可.例例4 4. , ,d)(121 00為自然數(shù)為自然數(shù)閉曲線閉曲線的任意正向的任意正向?yàn)楹瑸楹笄髇zzzzin 解解由上例可知由上例可知 , 0, 00,2d)(1 1nnizazn , 0za 此處不妨設(shè)此處不妨設(shè) . 1, 01, 1d)(121 0nnzzzin則有則有四、小結(jié)與思考 本課所講述的復(fù)合閉路定理與閉路變形原本課所講述的復(fù)合閉路定理與閉路變形原理是復(fù)積分中的重要定理理是復(fù)積分中的重要定理, 掌握并能靈活應(yīng)用它掌握并能靈活應(yīng)用它是本章的難點(diǎn)是本章的難點(diǎn).常用結(jié)論常用結(jié)論: . 0, 00,2d)(1 1nnizazn思考題思考題 復(fù)合閉路定理在積分計(jì)算中有什么用復(fù)合閉路定理在積分計(jì)算中有什么用? 要要