重積分及其計算和多重積分

1、三重積分和多重積分方法 在第三節(jié)中我們討論了二重積分，本節(jié)將之推廣到一般的 n 維空間中去 . 類似于第三節(jié)，我們先定義一個R3中集合的可求體積性.同樣可以給出一列類似的結(jié)論 . 讀者自己推廣 . 這里將不再贅述 . 一、 引 例 設(shè)一個物體在空間 R3 中占領(lǐng)了一個有界可求體積的區(qū)域 V ，它的點(diǎn)密度為 f x,y,z ， 現(xiàn)在要求這個物體的質(zhì)量假設(shè)密度函數(shù)是有界的連續(xù)函數(shù)，可以將區(qū)域 V 分割為若干個 可求體積的小區(qū)域 V1,V2,.,Vn， 其體積分別是 V1, V2,., Vn， 直徑分別是d1 ,d2 ,., dn ， 即 di sup|WQ|W,Q Vj , (i=1,2,，n)

2、, |WQ| 表示 W, Q 兩點(diǎn)的距離.設(shè) max dhd2,.,dn,則當(dāng) 很小時，f x, y, z在Vi上的變化也很小.可以用這個小 區(qū)域上的任意一點(diǎn) xi , yi ,zi 的密度 f xi, yi ,zi 來近似整個小區(qū)域上的密度，這樣我們可 以求得這個小的立體的質(zhì)量近似為 f Xi, yi,Zi Vi,所有這樣的小的立體的質(zhì)量之和即為 這個物體的質(zhì)量的一個近似值即 n M f xi , y i , zi Vi i1 當(dāng) 0 時，這個和式的極限存在，就是物體的質(zhì)量即 n M lim f xi , yi ,zi Vi 0i1 從上面的討論可以看出， 整個求質(zhì)量的過程和求曲頂柱體的體積

3、是類似的， 都是先分割， 再求和，最后取極限所以我們也可以得到下面一類積分 二、 三 重積分的定義 3 設(shè)f x,y,z是空間R中的一個有界可求體積的閉區(qū)域 V上的有界函數(shù)，將V任意分割 為若干個可求體積的小閉區(qū)域 V1,V2,.,Vn,這個分割也稱為 V的分劃，記為P V1,V2,.,Vn. Vio Vjo (空，i j ),其體積分別是 Vi, V2,., Vn，直徑分別是di,d2,.,dn 設(shè) max d1,d2,., dn ,或記為 | P|. 在每個小區(qū)域中任意取一點(diǎn) f xi , yi ,zi Vi （稱為 Riemann 和 ），若當(dāng) i1 限為函數(shù) f x, y,z 在區(qū)域

4、V 上的 三重積分 ，記為 f x, y, z dV 并稱函數(shù) f x, y,z 在 V 區(qū)域V上可積.f x,y,z稱為被積函數(shù)，x,y,z稱為積分變量.,V稱為積分區(qū)域. 特別地，在直角坐標(biāo)系下，可以記為 f x, y, z dxdydz V 我們同樣可以引入 Darboux 大 ,小和 來判別可積 , 也有同樣的結(jié)論 （略 ）. 1 . 若 f x, y, z 是有界閉區(qū)域 V 上的連續(xù)函數(shù)，則函數(shù) f x, y, z 在區(qū)域 V 上可積 2 .若 f x, y, z =1 時， dxdydz V 的體積. V 3 . 若 f x, y,z 在有界閉區(qū)域 V 上的間斷點(diǎn)集合是0 體積時

5、, f x, y, z 在 V 可積 . 三重積分有著與二重積分類似的性質(zhì)下面簡單敘述一下 4 .可積函數(shù)的和（或差）及積仍可積 .和（差）的積分等于積分的和 （差）. 5 .可積函數(shù)的函數(shù) k倍仍可積.其積分等于該函數(shù)積分的 k倍. 6 .設(shè) 是可求體積的有界閉區(qū)域， f x,y,z在 上可積， 分為兩個無共同內(nèi)點(diǎn)的 可求體積的閉區(qū)域 1, 2之并，則 f x, y,z 在 1, 2 上可積，并有 f x, y, z dV f x, y, z dV f x, y, z dV 12 等等 . 三、三重積分的計算 方法同二重積分一樣 , 我們這里給出三重積分的計算方法 ,理論上的證明讀者自己完成

6、 . 1. 利用直角坐標(biāo)系計算三重積分 xi, yi ,zi Vi ，作和 0 時，這個和式的極限存在，則稱其極 先給一個結(jié)論 . 定理 若函數(shù)f x, y,z是長方體 V=a,b x c,dx e,h上的可積，記D=c,dx e,h,對任 意xCa,b,二重積分 這時右邊稱為三次積分或累次積分，即三重積分化為三次積分 證明 分別中a,b, c,d, e,h插入若干個分點(diǎn) c yo yi y2 ym d ； e zo zi z2 zs h zk,(i=0,1,2,n; ,j i =0,1,2,，m; k=0,1,2,s,)得到 V 的一個分劃 P.令 vijk xi 1, xi Yj 1, Y

7、j zk 1,4, (i=1,2，,n; ,j i=1,2，,m; k=1,2，,s,), Mijk,mjk分別是f x, y,z在vjk上的上，下確界.那么在Djk yj 1, yj位7門上有 mijk yj zk f ( i ,y,z)dydz M 脹 yj zk Djk 其中 A 為,=x - xi-1 , A yj ,= y j- y j -1 , Az ,= zk - zk-1 , (i=1,2，n; ,j i=1,2，m; k=1,2，s,). f( i,y,z)dydz f ( i,y,z)dydz I( i) j，k Djk D n mijk xi yj zk I ( i) x

8、i Mijk xi yj zk i,j,k i 1 i,j,k 因可積，所以當(dāng)| P|趨于0時，Darboux大，小和趨于同一數(shù)，即三重積分 故定理得證. 如果V如右圖， I(x) f x, y, z dydz 存在,則 I (x)dx a a D 也存在，且 f x, y,z dV V f x, y, z dydz dx (記為 b dx f x,y, z dydz a D dx f x, y, z dydz) a D b d h dx dy f x, y, z dz. ace a x0 x1 x2 xn b ； 作平面x xi, y yj, z e z h, z=z與V的截面 h 若函數(shù)f

9、 x, y, z在V上的可積,那么 f x, y, z dV dz f x, y, z dxdy . V e Dz 卜面給出一般三重積分的具體計算方法， 理論證明讀者可參照二重積分自己完成. 續(xù)，我們先討論一種比較特殊的情況. xy,z|x,y D,4 x,y z4乂y,其中 Dxy為 在xoy平面上的投影，且Dxy x, y|a x b,y（x） y y?*.如圖12. 我們現(xiàn)在z軸上做積分，暫時將 x, y看成是常數(shù).把函數(shù) f x,y,z看作是z的函數(shù)， 將它在區(qū)間z1 x,y ,z2 x, y 上積分得到 面積為Dz 圖 12-4-1 設(shè)函 圖 12-4-2 x 顯然這個結(jié)果是 x,

10、y的函數(shù)，再把這個結(jié)果在平面區(qū)域 Dxy上做二重積分 Z2 x,y f x, y, z dz dxdy. Zi x,y Dxy 在利用二重積分的計算公式便可以得到所要的結(jié)果.若平面區(qū)域 a x b, yi x y y2 x 表示，貝U b x z2 x,y f x,y, z dV dx dy f x, y, zdz. yi x ，x,y a 這個公式也將三重積分化為了三次積分. 如果積分區(qū)域是其他的情形，可以用類似的方法計算. 例1計算三重積分 xdV ,其中 是由三個坐標(biāo)面和平面 x y z 1所圍的立體區(qū) 域. 解 積分區(qū)域如圖所示，可以用不等式表示為 Z2 x,y f x, y, z d

11、z. Dxy可以用不等式 0 x 1,0 y 1 x,0 z 1 x y , 所以積分可以化為 xdV 1 1 x 1 x y dx dy xdz 0 0 0 1 1 x dx x 1 x y dy 0 0 2 . x dx 1 1 3 1 2 -x _ x 1 24 四、三重積分的積分變換 和二重積分的積分變換一樣，有如下的結(jié)果 定理 設(shè)V是uvw空間R3中的有界可求體積的閉區(qū)域，T：x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w), 是V到xyz空間R3中的一一映射，它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且 如果f(x,y,z)是T(V)上的可積函數(shù)，那么 f (x, y, z)dx

12、dydz f (x(u,v,w), y(u, v,w),z(u,v, w) T(V) V 在R3中有兩種重要的變換柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo) 1.利用柱面坐標(biāo)計算三重積分 前面我們可以看到，由于積分區(qū)域與被積函數(shù)的特點(diǎn)， 二重積分可以用極坐標(biāo)來計算. 同 樣對于三重積分可以用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計算.我們先討論用柱面坐標(biāo)來計算三重積分. 設(shè)空間中有一點(diǎn) M x, y, z ,其在坐標(biāo)面xoy上的投影點(diǎn)M 的極坐標(biāo)為r,這樣 三個數(shù)z,r,就稱為點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)(如圖12-4-4). (x,y,z) x u y u z u v y v z z y z z 0, (u, v, w) V (稱為 Jacobi)

13、. (x,y,z) (u,v,wdudvdw M 這里規(guī)定三個變量的變化范圍是 注意到，當(dāng)r 常數(shù)時，表示以z軸為中心軸的一個柱面. 當(dāng)=常數(shù)時，表示通過 z軸，與平面xoy的夾角為 的半平面. 當(dāng)z 常數(shù)時，表示平行于平面 xoy,與平面xoy距離為z的平面. x r cos y r sin z z 故容易得到：如果f(x,y,z)是R3中的有界可求體積的閉區(qū)域 V上的可積函數(shù)，則 f x,y,zdV f r cos , r sin , z rdrd dz, V V 其中，變換前后區(qū)域都用 V表示. 我們也可以從幾何直觀的意義來描述這個公式的由來 用三組坐標(biāo)面r CI, CI,Z C3將積分

14、區(qū)域劃分為若干個小區(qū)域，考慮其中有代 表性的區(qū)域，如圖12-4-5所示的區(qū)域可以看成是由底面圓半徑為 r和r dr兩個圓柱面，極 角為和 d的兩個半平面，以及高度為z和z dz的兩個平面所圍成的.它可以近似的 看作一個柱體，其底面的面積為 rdrd ，高為dz.所以其體積為柱面坐標(biāo)下的體積元素， 即 dV rdrd dz. 再利用兩種坐標(biāo)系之間的關(guān)系，可以得到 圖 12-4-4 圖 12-4-5 空間的點(diǎn)的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)之間的關(guān)系 即是R3到R3的映射： 所以其Jacobi為 (x, y, z) (r, , z) cos sin r sin 0 r cos 0 r, 0 1 xoy上的投影

15、M,其中r |OM |, 為x軸到射線OM 轉(zhuǎn) 角. 為向量OM與z軸的夾角.如圖12-4-7.規(guī)定三個變量的變化范圍是 0 r 0 2 . 0 我們可以看到， 注意到，當(dāng)r 常數(shù)時，表示以原點(diǎn)為球心的球面. 當(dāng)=常數(shù)時，表示通過 z軸的半平面. 當(dāng) 常數(shù)時，表示以原點(diǎn)為頂點(diǎn)， z軸為中心的錐面. 兩種坐標(biāo)系之間的關(guān)系如下： x r sin cos y r sin sin f x,y,zdV f rcos , r sin ,zrdrd dz . V V 在柱面坐標(biāo)下的三重積分的計算也是化為三次積分. 例2計算三重積分 x2 y2 dV ,其中 是由橢圓拋物面z 4 x2 y2和平面 z 4所圍

16、成的區(qū)域. 解 如圖所示，積分區(qū)域 在坐標(biāo)面xoy上的投影是一個圓心在原點(diǎn)的單位圓.所 0 r 1,0 2 ,4r2 z 4 .于是 2 2 2 x y dV r rdrd dz 2 1c 4 d r rdr 2 dz 0 0 4r2 2 1 3 5 2 d 4r 4r dr 一 2.利用球面坐標(biāo)計算三重積分 我們知道球面坐標(biāo)用數(shù) r, 來表示空間的一個點(diǎn).設(shè)有直角坐標(biāo)系的空間點(diǎn) M x, y, z ,點(diǎn)M在坐標(biāo)面 圖 12-4-7 圖 12-4-6 z r cos即又是一個即是 R3到R3的映射.它的Jacobi是 由一般的重積分變換公式容易得到 ： 如果f(x,y,z)是R3中的有界可求體

17、積的閉區(qū)域 V上的可積函數(shù)，則 2 f x, y,zdV f rsin cos ,rsin sin ,r cos r sin drd d , V V 其中，變換前后區(qū)域都用 V表示. 用幾何直觀的意義可以如下理解 ：已知f(x,y,z)閉區(qū)域V上的可積函數(shù). 用三組坐標(biāo)r 常數(shù)， 常數(shù)， 常數(shù)，將積分區(qū)域 V劃分為若干個小的區(qū)域.考 慮其中有代表性的區(qū)域，此小區(qū)域可以看成是有半徑為 r和r dr的球面，極角為 和 d的半平面，與中心軸夾角為 和 d的錐面所圍成，它可以近似的看作邊長分別 是dr, rd , r sin d的小長方體，從而得到球面坐標(biāo)系下的體積元素為 2 dV r sin drd

18、 d . 再由直角坐標(biāo)系與球面坐標(biāo)之間的關(guān)系，可以得到下面的公式 2 f x, y, z dV f r sin cos ,r sin sin ,r cos r sin drd d . V V 例3計算三重積分 x2 y2 dV ,其中 是右半球面x2 y2 z2 a2, y 。所 圍成的區(qū)域. 解在球面坐標(biāo)下，積分區(qū)域可以表示為 (x,y,z) sin cos sin sin cos r cos sin r cos cos r sin r sin sin rsin cos 0 2 . r sin 所以 0 r a,0 ,0 2 2 2 2 2 x y dV r sin r sin drd d

19、, ,a 4 . 3 , d d r sin dr 0 0 0 a 3 1 5 , d sin r d o o 5 o 5 1 3 4 5 一 a cos cos a 5 3 0 15 當(dāng)V是R n中的有界閉區(qū)域.依照可求面積白方法定義 V的可求“體積”或可測(略).設(shè) f(X1, X2,，xn,)是Rn中的有界可測閉區(qū)域 V上的函數(shù)，任取V的分劃 凡 即把分成若干個可 測小區(qū)域V1,V2, ,Vm ,它們的“體積”或測度分別記為 V1, V2, , Vm，當(dāng)令 di SUP|QIQ2 | |QI,Q2 Vi , |QIQ2 | 表示兩點(diǎn)的距離， |P| max d1,d2, ,dm ,對任取

20、(xfLx” M)Vi,(i 1,2, ,m),如果 m limo f (XI，x21 ,xni) Vi存在，稱f(x1, x2,，xn,)是V上的可積函數(shù).其極限值稱為 i 1 f(x1, x2,xn,)在V上的n重積分，記為 若V上有一一映射T XI XI(UI,U2, ,Un) T : X2 X2(UI，U2, ，Un),其每個分量的函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), Xn Xn(U1,U2, ,Un) 與二重積分，三重積分一樣可以定義一般 n重積分.我們這里只是簡單介紹 n f (XI , x2 , ,xn)dV 或 V 特別 當(dāng) V=a1,b1x a2,b2x x an,bn時, n f (XI ,

21、 x2, ,xn)dxdx2n f(X1,X2, ,Xn)dXdX2 dXn. V 儲 b2 bn dX1 dX2 f (XI,X2 , , Xn )dXn. a1 a2 an 當(dāng)V是有界可測區(qū)域，f(x1, X2,，xn,)在T(V)上可積，并且Jacobi 那么 (XI,X2, ,Xn) (U1,U2, ,Un) f (XI , X2 , T(V) f (XI (UI,U2, 特別是 T ：XI XI XI XI UI U2 u n X2 X2 X2 UI U2 u n Xn Xn Xn UI U2 u n ,Xn)dXdX2 dXn ,Un),X2(Ui,U2, (XI,X2, ,Xn)

22、 (UI,U2, ,Un) R n中的球坐標(biāo)變換 0, (UI,U2, ,Un) V dudU2 r cos 1, x2 r sin 1 cos xn r sin 1 sin 2 sin sin Xn rsin sin 2 sin sin 在Rn中，0 ,0 這時的Jacobi是 (XI,X2, ,Xn) (r, ,Un), dUn r sin ,Xn(Ui,U2, n 2 COs 2 sin ,0 1 sin 2 cos ，Un ) 3, XI XI XI r 1 n 1 X2 X2 X2 r 1 n 1 xn xn xn r 1 n 1 n r 1 , , n 1 ) 1 . n sin _ - _ n 3 . 1 sin 2 sin n 2 同樣可以得到相應(yīng)的公式 例4求 2 XI 2 X2 dx1 dx2 “2 R2 解用球坐標(biāo).這時，0 r R,0 1, 2, 3 , n2 ,0 n 1 2 n n n n n dx1 dx2 dxn 2 2 2 c2 X1 X Xn R 2 n 1 , - n 2 一 d n 2 r sin 1 sin 0 0 - k 其中 k sin xdx,k 1,2, 0 n 從而有 dx1dx2 dxn 2 2 2 R2 x1 x2 xn R R 2m m! 2R2m 1 (2m 1)! (2 )m ,n 2m ,n 2m 1 R