高等數(shù)學(xué)D10-習(xí)題

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt習(xí)題課習(xí)題課一、一、 重積分計算的基本方法重積分計算的基本方法 二、重積分計算的基本技巧二、重積分計算的基本技巧 三、重積分的應(yīng)用三、重積分的應(yīng)用 第十章 重積分的 計算 及應(yīng)用 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt一、重積分計算的基本方法一、重積分計算的基本方法1. 選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡潔或變量分離.2. 選擇易計算的積分序積分域分塊要少, 累次積分易算為妙 .圖示法列不等式法(從內(nèi)到外: 面、線、點(diǎn))3. 掌握確定積分限的方法 累次積分法練習(xí)練習(xí) P180 2 (3) ; 7 ; 8 (1), (3

2、)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt2 (3). 計算二重積分,d222DyxR其中D 為圓周xRyx22所圍成的閉區(qū)域.提示提示: 利用極坐標(biāo)cosRr 原式cos022dRrrRr2033d)sin1(32R)34(313RyDR xO:Dcos0Rr 2222dP180解答提示解答提示:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt7. 把積分zyxzyxfddd),(化為三次積分,其中 由曲面222,xyyxz0,1zy提示提示: 積分域?yàn)?原式220d),(yxzzyxf及平面220yxz12 yx11x12dxy11dx所圍成的閉區(qū)域 .xyzP181O1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

3、束 編輯pptzD1zD28 (1) .計算積分2222RzyxzRzyx2222及,ddd2zyxz其中 是兩個球 ( R 0 )的公共部分.提示提示: 由于被積函數(shù)缺 x , y ,原式 =zDyx1ddzzzRzRd)2(2022利用“先二后一先二后一” 計算方便 .zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd)(2222548059RRzyx2RP181O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯pptzxyO8 (3).計算三重積分,d)(22vzy其中 是由 xOy平面上曲線xy225x所圍成的閉區(qū)域 .提示提示: 利用柱坐標(biāo)sincosrzryxx原式522drx繞 x 軸旋

4、轉(zhuǎn)而成的曲面與平面5221 xr100 r20rr d100320d3250:5P181目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt二、重積分計算的基本技巧二、重積分計算的基本技巧分塊積分法利用對稱性1. 交換積分順序的方法2. 利用對稱性或質(zhì)心公式簡化計算3. 消去被積函數(shù)絕對值符號練習(xí)題練習(xí)題*5. 利用重積分換元公式P180 1 , 4 , 8 (2), 11答案提示答案提示: (見下頁) 4. 利用擴(kuò)展積分域進(jìn)行計算 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt1RxyzO1(1). 設(shè)1由0,2222zRzyx確定 ,2由0,0,0,2222zyxRzyx所確定 , 則 21d4d)(vxv

5、xA提示提示:C21d4d)(vyvyB21d4d)(vzvzC21d4d)(vzyxvzyxD右邊為正 ,顯然不對 , 故選 ( C )利用對稱性可知 , (A), (B), (D) 左邊為 0 ,:1上半球:2第一卦限部分2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯pptD2D3D4D1(2). 則yxyxyxDdd)sincos(yxyxADddsincos2)(1yxyxBDdd2)(1yxyxyxCDdd)sincos(4)(10)(D1D提示提示: 如圖 ,4321DDDDD由對稱性知0ddyxyxD在43DD yxsincos上是關(guān)于 y 的奇函數(shù)在21DD 上是關(guān)于 x 的偶函數(shù)A,)

6、,(ayxaxayxD),(1yxD ,0ayxaxxyaaaO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯pptaxamyxamaxxfxaxxfy0)(0)(0d)(e)(d)(ed證明:提示提示: 左端積分區(qū)域如圖,Dxy a交換積分順序即可證得.P181 4.8(2).,d1) 1ln(222222vzyxzyxz求其中 是 1222zyx所圍成的閉區(qū)域 .提示提示: 被積函數(shù)在對稱域 上關(guān)于 z 為奇函數(shù) , 利用 對稱性可知原式為 0. 由球面P181yxO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯pptR11. 在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上 , 要接上一個一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄

7、片,使整個的另一邊長度應(yīng)為多少?22xRy提示提示: 建立坐標(biāo)系如圖.,0y由已知可知Dyxydd022ddxRbRRyyx2332bRR 由此解得Rb32問接上去的均勻矩形薄片即有薄片的重心恰好落在圓心上 ,?bbRyxOD目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例1. 計算二重積分,dd)e(222yxyxxIyxD其中:(1) D為圓域; 122 yx(2) D由直線1,1,xyxy解解: (1) 利用對稱性.yxxIDdd20dd)(2122yxyxD10320dd21rr4yxyxDyxdde22圍成 . yx1DO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppty1x1OyxyxDyxd

8、de122(2) 積分域如圖:1D2Dxyxy , xy將D 分為,21DDyxxIDdd2yxyxDyxdde22200dd1112xyxx32添加輔助線利用對稱性 , 得yxyxxIyxDdd)e(222目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例2. 計算二重積分,dd)35(Dyxyx其中D 是由曲044222yxyx所圍成的平面域 . 解解:2223)2() 1(yx其形心坐標(biāo)為:面積為:9ADyxxIdd5923) 1(5ADyxydd3積分區(qū)域線形心坐標(biāo)2,1yxDyxxAxdd1DyxyAydd1AyAx35目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt111 xyO例例3. 計算二

9、重積分,dd)sgn() 1 (2yxxyID,dd)22()2(22yxxyyxID122 yx在第一象限部分. 解解: (1)2xy 21, DD兩部分, 則1ddDyxI1112ddxyx322D2ddDyx2011ddxyx; 1011:yxD，其中D 為圓域把D 分成1D作輔助線目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯pptx1y1Oxy (2) 提示提示: 21, DD兩部分 1DyxyxDdd)(22yxyxDdd)2(說明說明: 若不用對稱性, 需分塊積分以去掉絕對值符號. xy 作輔助線2D將D 分成Dyxdd2yxxyyxIDdd)22(222) 12(32目錄 上頁 下頁 返回

10、 結(jié)束 編輯ppt例例4.求拋物線及與直線022yxxy012 yx所圍區(qū)域 D 的面積A .解解: :如圖所示xy2324,12DDD 12ddDDAyyx122d34dyyyx22d12dy4312331221yyy1D2DD212331221yyy3252,d),(時計算Dyxf1),(Dyxf可擴(kuò)展到若注注: 則也可利用上述方法簡化計算. 上可積 , 1yxO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例5. 交換積分順序計算yxyxIxyxydedded23031010yxIDydde1yxDydde2yyyxy2310dedyyy10de)1 (3)2e(31xy )3(21xy1D

11、2D3解解. 積分域如圖. xyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例6.,)0(, 0)0(,)(存在設(shè)ffCuf，求)(1lim40tFtt)(tF解解: 在球坐標(biāo)系下trrrftF02020d)(dsind)(trrrf02d)(440)(limttFt利用洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)定義,得3204)(4limtttftttft)(lim0)0(f0)0(Fzyxzyxftzyxddd)(2222222其中 0)0(f 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt三、重積分的應(yīng)用三、重積分的應(yīng)用1. 幾何方面面積 ( 平面域或曲面域 ) , 體積 , 形心質(zhì)量, 轉(zhuǎn)動慣量, 質(zhì)心, 引力 證明

12、某些結(jié)論等 2. 物理方面3. 其它方面目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例7.，上連續(xù)在設(shè),)(baxf證明babaxxfabxxfd)()(d)(22證證: :左端yyfxxfbabad)(d)(yxyfxfDdd)()(222vuuv利用yxyfxfDdd)()(2221xxfabbad)()(2byabxaD:= 右端=yxxfDdd)(2xxfybabad)(d2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例8.設(shè)函數(shù) f (x) 連續(xù)且恒大于零, )(22)(222d)(d)()(tDtyxfvzyxftFtttDxxfyxftGd)(d)()(2)(22其中,),()(22

13、22tzyxzyxt.),()(222tyxyxtD(1) 討論 F( t ) 在區(qū)間 ( 0, +) 內(nèi)的單調(diào)性; (2) 證明 t 0 時, . )(2)(tGtF(2003考研)zyt)(tx)(tDO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt解解: (1) 因?yàn)?ttrrrfrrrftF0220022020d)(dd)(dsind)(ttrrrfrrrf02022d)(d)(2兩邊對 t 求導(dǎo), 得202022d)(d)()()(2)(ttrrrfrrtrrftfttF, 0)(), 0(tF上在.), 0()(單調(diào)增加上在故tF f (x) 恒大于零, 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編

14、輯ppt(2) 問題轉(zhuǎn)化為證 0)(2)(,0tGtFt時ttrrfrrrftG020220d)(2d)(d)(ttrrfrrrf0202d)(d)(即證 0d)(d)(d)(20202022tttrrrfrrfrrrf)(tg0d)()()(0222trrtrftftg,), 0()(單調(diào)增在故tg,0)(連續(xù)在又因ttg故有)0()0()(tgtg0因此 t 0 時, .0)(2)(tGtF因目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt利用“先二后一”計算.zyxVdddzDcyxzddd20abc34czczba022d)1 (2222221:czbyaxDz例例9. 試計算橢球體1222222cz