理論力學(xué)第二講

1、通 知根據(jù)學(xué)院教學(xué)工作安排，接下來兩周每周4學(xué)時(shí)，即：本周四（3月2日）上午第34節(jié)上課，第四周的周四（3月16日）上課。望周知。質(zhì)點(diǎn)系和主要定理、定律一 質(zhì)點(diǎn)系 動(dòng)力學(xué)：研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系 質(zhì) 點(diǎn)：具有一定的幾何形狀而幾何尺寸大小可以忽略不計(jì)的物體 例：一滴水： 分子量：18， 假設(shè)：直徑: ,則體積 質(zhì)量， 阿伏伽德羅常數(shù)： 水滴中擁有的水分子： 質(zhì)點(diǎn)系：由幾個(gè)或無限多個(gè)相互有聯(lián)系（相互作用）的質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。 例：固體、流體、太陽系等，剛體是質(zhì)點(diǎn)系的一種特殊情況，其中任意兩個(gè)指點(diǎn)之間的距離保持不變，-不變的質(zhì)點(diǎn)系！ 例：質(zhì)點(diǎn)被約束在一個(gè)光滑的平面上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)上系著一根

2、長度為的輕繩，繩子穿過平面上的小孔，另一端系著質(zhì)量為的指點(diǎn)，討論質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況 解：（1）取柱坐標(biāo)：對于指點(diǎn)其運(yùn)動(dòng)方程為： 為繩子的張力 未知 約束方程：對有運(yùn)動(dòng)方程： 解得： 質(zhì)點(diǎn)系的性質(zhì)：（1）不能簡單地由所討論問題的質(zhì)點(diǎn)數(shù)目來決定 （2）根據(jù)物體（質(zhì)點(diǎn)間）的相互作用性質(zhì)來決定例如：太陽系中，只考慮太陽和地球，忽略其他行星的相互作用，以及太陽本身的運(yùn)動(dòng)，在考慮地球運(yùn)動(dòng)時(shí)，地球之受到太陽的作用力，而地球?qū)μ柕淖饔昧雎圆挥?jì)，因此，地球就可以看作是只受到外力的質(zhì)點(diǎn)，這樣，該運(yùn)動(dòng)就是單質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。若這種作用是相互的，則構(gòu)成質(zhì)點(diǎn)系！ （3）體系和外界的劃分是相對的， （4）內(nèi)力：質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)

3、之間的相互作用力 外力：來自質(zhì)點(diǎn)系以外，對于質(zhì)點(diǎn)系個(gè)質(zhì)點(diǎn)的作用力質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)微分方程：3個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到5個(gè)約束，則方程的個(gè)數(shù)為：第個(gè)質(zhì)點(diǎn)；：第個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到的力（合力）個(gè)獨(dú)立的方程。個(gè)約束條件，個(gè)未知的約束力，未知量為需要獨(dú)立的方程個(gè)數(shù)為對14個(gè)二階聯(lián)立微分方程進(jìn)行求解，非常困難！牛頓動(dòng)力學(xué)范圍內(nèi)，運(yùn)用系統(tǒng)的動(dòng)量定理、角動(dòng)量定理、能量定理是解決該困難的一種方法。上述這3個(gè)定理是描述系統(tǒng)整體的物理標(biāo)示量的變化規(guī)律，雖然不能給出體系內(nèi)部的詳細(xì)情況，但能夠給出一些簡潔的系統(tǒng)規(guī)律。牛頓第二定律二 動(dòng)量定理、角動(dòng)量定理、能量定理1 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理或動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變化率等于質(zhì)點(diǎn)所受到的力質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理設(shè)：個(gè)

4、質(zhì)點(diǎn)組成質(zhì)點(diǎn)系，第個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為：；受到的內(nèi)力為：，外力為，由牛頓第二定律：定義 其中：是第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)對第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的作用力 由牛頓第三定律： 所以 則 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的變化率等于體系所受到的合外力 若，則： 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律有時(shí)質(zhì)點(diǎn)系得合外力不為零，但某一個(gè)方向上合力為零，在在這個(gè)方向上的動(dòng)量為常量。如： 則 質(zhì)心： 質(zhì)心的速度 質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)可以用質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來表示，而質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)就像質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)一樣 該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量，作用在該質(zhì)點(diǎn)上的力等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的合外力 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理2 角動(dòng)量定理 質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理： 角動(dòng)量 ： 對上式微分：力矩質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的變化率等于質(zhì)點(diǎn)所受到的力矩質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理

5、： 角動(dòng)量：對上式微分：對上式中 ，對于任意一項(xiàng)，一定存在著對應(yīng)的項(xiàng) ，因?yàn)橐话闱闆r下， 與是平行的，所以質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量變化率等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力矩的和，與體系內(nèi)部的相互作用無關(guān)。若外力矩 則 角動(dòng)量守恒定律以上的討論都是對坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)行的，若對于坐標(biāo)中任意一點(diǎn)P，上述討論仍然成立。 是第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)對P點(diǎn)的矢量對原點(diǎn)的角動(dòng)量：對原點(diǎn)的力矩：將上式代入：中左端 所以： （1） 若P點(diǎn)是慣性系中的固定點(diǎn)，則：，（2） 若，角動(dòng)量定理則不同，但是若 和在運(yùn)動(dòng)中永遠(yuǎn)平行，則，即（3） 若P點(diǎn)是質(zhì)心：對于質(zhì)心： 則 對于質(zhì)心系：Oxyz 慣性系； Cxyz 質(zhì)心系 這里的與中的不同。雖然兩者都是對C點(diǎn)來說的，但是，中的是質(zhì)心系中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度；中的則是慣性系中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度。一般情況下，和是不同的，因而，和也就不同，但是我們可以證明這兩個(gè)量是相等的因?yàn)椋海?； 由定義得： 質(zhì)心系中的質(zhì)心矢量 顯然為零，所以，質(zhì)心系中的角動(dòng)量定理與慣性系中角動(dòng)量定理具有相同的表達(dá)形式三 能量定理：質(zhì)點(diǎn)的能量定理： 對時(shí)間微分： 作用在質(zhì)點(diǎn)上的力所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增加也可以做如下推導(dǎo)： 兩端同時(shí)乘以 注意： 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理： 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能的增加等于外力和內(nèi)力所作的功之和 -動(dòng)能定理質(zhì)心系