行測數(shù)學(xué)題解題方法大全

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上年齡問題解年齡問題，一般要抓住以下三條規(guī)律：（1）不論在哪一年，兩個人的年齡差總是確定不變的；（2）隨著時間向前（過去）或向后（將來）推移，兩個人或兩個以上人的年齡一定減少或增加相等的數(shù)量；（3）隨著時間的變化，兩個人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系一定會改變?！纠?】媽媽今年 43歲，女兒今年11歲，幾年后媽媽的年齡是女兒的3倍？幾年前媽媽的年齡是女兒的5倍？【分析】無論在哪一年，媽媽和女兒的年齡總是相差43-11=32（歲）當(dāng)媽媽的年齡是女兒的3倍時，女兒的年齡為（43-11）÷（3-1）=16（歲）16-11=5（歲）說明那時是在5年后。同樣道理，由11-（43-1

2、1）÷（5-1）=3（年）可知，媽媽年齡是女兒的5倍是在3年前。【例2】今年，父親的年齡是女兒的4倍，3年前，父親和女兒年齡的和是49歲。父親、女兒今年各是多少歲？【分析】從3年前到今年，父親、女兒都長了3歲，他們今年的年齡之和為49+3×2=55（歲）由“55 ÷（4+1）”可算出女兒今年11歲，從而，父親今年44歲?！纠?】陳輝問王老師今年有多少歲，王老師說：“當(dāng)我像你這么大時，你才3歲；當(dāng)你像我這么大時，我已經(jīng)42歲了。”問王老師今年多少歲？【分析】我們先要明白：如果我比你大a歲，那么“當(dāng)我像你這么大時”就是在a年前，“當(dāng)你像我這么大時”就在a年后。這樣便可

3、根據(jù)題意畫出下圖：從圖上可看出，a=13，進(jìn)一步推算得王老師今年29歲。 雞兔同籠一、基本問題“雞兔同籠”是一類有名的中國古算題.最早出現(xiàn)在孫子算經(jīng)中.許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類問題，或者用解它的典型解法-“假設(shè)法”來求解.因此很有必要學(xué)會它的解法和思路.例1 有若干只雞和兔子，它們共有88個頭，244只腳，雞和兔各有多少只？解：我們設(shè)想，每只雞都是“金雞獨立”，一只腳站著；而每只兔子都用兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著.現(xiàn)在，地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的一半，·也就是244÷2=122（只）.在122這個數(shù)里，雞的頭數(shù)算了一次，兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次.

4、因此從122減去總頭數(shù)88，剩下的就是兔子頭數(shù)122-88=34，有34只兔子.當(dāng)然雞就有54只.答：有兔子34只，雞54只.上面的計算，可以歸結(jié)為下面算式：總腳數(shù)÷2-總頭數(shù)=兔子數(shù).上面的解法是孫子算經(jīng)中記載的.做一次除法和一次減法，馬上能求出兔子數(shù)，多簡單！能夠這樣算，主要利用了兔和雞的腳數(shù)分別是4和2，4又是2的2倍.可是，當(dāng)其他問題轉(zhuǎn)化成這類問題時，“腳數(shù)”就不一定是4和2，上面的計算方法就行不通.因此，我們對這類問題給出一種一般解法.還說例1.如果設(shè)想88只都是兔子，那么就有4×88只腳，比244只腳多了88×4-244=108（只）.每只雞比兔子少（

5、4-2）只腳，所以共有雞（88×4-244）÷（4-2）= 54（只）.說明我們設(shè)想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是雞.因此可以列出公式雞數(shù)=（兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）.當(dāng)然，我們也可以設(shè)想88只都是“雞”，那么共有腳2×88=176（只），比244只腳少了244-176=68（只）.每只雞比每只兔子少（4-2）只腳，68÷2=34（只）.說明設(shè)想中的“雞”，有34只是兔子，也可以列出公式兔數(shù)=（總腳數(shù)-雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）.上面兩個公式不必都用，用其中一個算出兔數(shù)或雞

6、數(shù)，再用總頭數(shù)去減，就知道另一個數(shù).假設(shè)全是雞，或者全是兔，通常用這樣的思路求解，有人稱為“假設(shè)法”.現(xiàn)在，拿一個具體問題來試試上面的公式.例2 紅鉛筆每支0.19元，藍(lán)鉛筆每支0.11元，兩種鉛筆共買了16支，花了2.80元.問紅、藍(lán)鉛筆各買幾支？解：以“分”作為錢的單位.我們設(shè)想，一種“雞”有11只腳，一種“兔子”有19只腳，它們共有16個頭，280只腳.現(xiàn)在已經(jīng)把買鉛筆問題，轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問題了.利用上面算兔數(shù)公式，就有藍(lán)筆數(shù)=（19×16-280）÷（19-11）=24÷8=3（支）.紅筆數(shù)=16-3=13（支）.答：買了13支紅鉛筆和3支藍(lán)

7、鉛筆.對于這類問題的計算，常?？梢岳靡阎_數(shù)的特殊性.例2中的“腳數(shù)”19與11之和是30.我們也可以設(shè)想16只中，8只是“兔子”，8只是“雞”，根據(jù)這一設(shè)想，腳數(shù)是8×（11+19）=240.比280少40.40÷（19-11）=5.就知道設(shè)想中的8只“雞”應(yīng)少5只，也就是“雞”（藍(lán)鉛筆）數(shù)是3.30×8比19×16或11×16要容易計算些.利用已知數(shù)的特殊性，靠心算來完成計算.實際上，可以任意設(shè)想一個方便的兔數(shù)或雞數(shù).例如，設(shè)想16只中，“兔數(shù)”為10，“雞數(shù)”為6，就有腳數(shù)19×10+11×6=256.比280少24

8、.24÷（19-11）=3，就知道設(shè)想6只“雞”，要少3只.要使設(shè)想的數(shù)，能給計算帶來方便，常常取決于你的心算本領(lǐng).下面再舉四個稍有難度的例子.例3 一份稿件，甲單獨打字需6小時完成.乙單獨打字需10小時完成，現(xiàn)在甲單獨打若干小時后，因有事由乙接著打完，共用了7小時.甲打字用了多少小時？解：我們把這份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍數(shù)），甲每小時打30÷6=5（份），乙每小時打30÷10=3（份）.現(xiàn)在把甲打字的時間看成“兔”頭數(shù)，乙打字的時間看成“雞”頭數(shù)，總頭數(shù)是7.“兔”的腳數(shù)是5，“雞”的腳數(shù)是3，總腳數(shù)是30，就把問題轉(zhuǎn)化成“雞兔同

9、籠”問題了.根據(jù)前面的公式“兔”數(shù)=（30-3×7）÷（5-3）=4.5，“雞”數(shù)=7-4.5=2.5，也就是甲打字用了4.5小時，乙打字用了2.5小時.答：甲打字用了4小時30分.例4 今年是1998年，父母年齡（整數(shù)）和是78歲，兄弟的年齡和是17歲.四年后（2002年）父的年齡是弟的年齡的4倍，母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時，是公元哪一年？解：4年后，兩人年齡和都要加8.此時兄弟年齡之和是17+8=25，父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作“雞”頭數(shù)，弟的年齡看作“兔”頭數(shù).25是“總頭數(shù)”.86是“總腳數(shù)”.根據(jù)

10、公式，兄的年齡是（25×4-86）÷（4-3）=14（歲）.1998年，兄年齡是14-4=10（歲）.父年齡是（25-14）×4-4=40（歲）.因此，當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時，兄的年齡是（40-10）÷（3-1）=15（歲）.這是2003年.答：公元2003年時，父年齡是兄年齡的3倍.例5 蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀.現(xiàn)在這三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀.每種小蟲各幾只？解：因為蜻蜓和蟬都有6條腿，所以從腿的數(shù)目來考慮，可以把小蟲分成“8條腿”與“6條腿”兩種.利用公式就可以算出8條腿的蜘蛛數(shù)=

11、（118-6×18）÷（8-6）=5（只）.因此就知道6條腿的小蟲共18-5=13（只）.也就是蜻蜓和蟬共有13只，它們共有20對翅膀.再利用一次公式蟬數(shù)=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）.因此蜻蜓數(shù)是13-6=7（只）.答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蟬.例6 某次數(shù)學(xué)考試考五道題，全班52人參加，共做對181道題，已知每人至少做對1道題，做對1道的有7人，5道全對的有6人，做對2道和3道的人數(shù)一樣多，那么做對4道的人數(shù)有多少人？解：對2道、3道、4道題的人共有52-7-6=39（人）.他們共做對181-1×7-5×

12、6=144（道）.由于對2道和3道題的人數(shù)一樣多，我們就可以把他們看作是對2.5道題的人（2+3）÷2=2.5）.這樣兔腳數(shù)=4，雞腳數(shù)=2.5，總腳數(shù)=144，總頭數(shù)=39.對4道題的有（144-2.5×39）÷（4-1.5）=31（人）.答：做對4道題的有31人. 行程問題兩個速度不同的人或車，慢的先行（領(lǐng)先）一段，然后快的去追，經(jīng)過一段時間快的追上慢的。這樣的問題一般稱為追及問題。有時，快的與慢的從同一地點同時出發(fā)，同向而行，經(jīng)過一段時間快的領(lǐng)先一段路程，我們也把它看作追及問題，因為這兩種情況都滿足速度差×時間=追及（或領(lǐng)先的）路程對于有

13、三個以上人或車同時參與運動的行程問題，在分析其中某兩個的運動情況的同時，還要弄清此時此刻另外的人或車處于什么位置，他（它）與前兩者有什么關(guān)系。分析復(fù)雜的行程問題時，最好畫線段圖幫助思考理解并熟記下面的結(jié)論，對分析、解答復(fù)雜的行程問題是有好處的。（3）甲的速度是a，乙的速度是b，在相同時間內(nèi)，甲、乙一共行的【例1】甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行。如果兩人都按原定速度行進(jìn)，那么4小時相遇；現(xiàn)在兩人都比原計劃每小時少走1千米，那么5小時相遇。A、B兩地相距多少千米？【分析】可以想象，如果甲、乙兩人以現(xiàn)在的速度（比原計劃每小時少走1千米）仍然走4小時，那么他們不能相遇，而是相隔一段路。這

14、段路的長度是多少呢？就是兩人4小時一共比原來少行的路。由于以現(xiàn)在的速度行走，他們5小時相遇，換句話說，再行1小時，他們恰好共同行完這段相隔的路。這樣，就能求出他們現(xiàn)在的速度和了。【解】1×4×2÷（5-4）×5=40（千米）這道題屬于相遇問題，它的基本關(guān)系式是：速度和×時間=（相隔的）路程。但只有符合“同時出發(fā)，相向而行，經(jīng)過相同時間相遇”這樣的特點才能運用上面的關(guān)系式。不過，當(dāng)出現(xiàn)“不同時出發(fā)”或“沒有相遇（而是還相隔一段路）”的情況時，應(yīng)該通過轉(zhuǎn)化條件，然后應(yīng)用上面的關(guān)系式?！纠?】小王、小張步行的速度分別是每小時4.8千米和 5.4千米。

15、小李騎車的速度為每小時10.8千米。小王、小張從甲地到乙地，小李從乙地到甲地，他們?nèi)送瑫r出發(fā)，在小張與小李相遇5分鐘后，小王又與小李相遇。小李騎車從乙地到甲地需多長時間？【分析】為便于分析，畫出線段圖36-1：圖中C點表示小張與小李相遇地點，D點表示他們相遇時小王所在地點。根據(jù)題意，小王從D點、小李從C點同時出發(fā)，相向而行，經(jīng)過5分鐘相遇。因此，DC的長為這段長度也是相同時間內(nèi)，小張比小王多行的路程。這里的“相同時間”指從三人同時出發(fā)到小張與小李相遇所經(jīng)過的時間。這段時間為1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分）這就是說，小張行完AC這段路（也就是小李行完CB這段路

16、）用了130分鐘，而小李的速度是小張速度的2（=10.8÷5.4）倍，所以小李行完AC這段路只需小張的一半時間（65分）?！窘狻浚艚o讀者完成，答案是195分鐘。）【例3】上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)， 8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上小明。然后爸爸立即回家，到家后又立即回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米。問這時是幾點幾分？【分析】先畫出示意圖圖37-1如下（圖37-1中A點表示爸爸第一次追上小明的地方，B點表示他第二次追上小明的地方）。從圖37-1上看出，在相同時間（從第一次追上到第二次追上）內(nèi)，小明從A點到B點，行完（8-4=）4千米；爸

17、爸先從A點到家，再從家到B點，行完（8+4=）12千米。可見，爸爸的速度是小明的（12÷4=）3倍。從而，行完同樣多的路程（比如從家到A點），小明所用的時間就是爸爸的3倍。由于小明從家出發(fā)8分鐘后爸爸去追他，并且在A點追上，所以，小明從家到A點比爸爸多用8分鐘。這樣可以算出，小明從家到A所用的時間為8÷（3-1）×3=12（分）【解】8÷（3-1）×3×X2=24（分）【例4】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行。甲車每小時行45千米，乙車每小時行36干米。相遇以后繼續(xù)以原來的速度前進(jìn)，各自到達(dá)目的地后又立即返回，這樣不斷地往

18、返行駛。已知途中第二次相遇地點與第三次相遇地點相距40千米。A、B兩地相距多遠(yuǎn)？【分析】我們同樣還是畫出示意圖 37-2（圖 37-2中P、M、N分別為第一次、第二次、第三次相遇地點）：設(shè) AB兩地的距離為“1”。由甲、乙兩車的速度可以推知：在相同時通過演示我們還可以知道，第二次相遇時，甲、乙兩車一共行完了3個全程（AB+BM+BA+AM）；第三次相遇時，它們一共行完了5個全程（AB+BA+AN+BA+AB+BN）。下面，我們只要找出與“40千米”相對應(yīng)的分率（也就是MN占全程的幾分之幾）?！窘狻孔⒁猓簽榱吮ＷC計算正確，應(yīng)當(dāng)在示意圖中標(biāo)上三次相遇時甲、乙兩車行的方向。我們來討論封閉線路的行程問

19、題。解決封閉路線中的行程問題，仍要抓住“路程=速度×時間”這個基本關(guān)系式，搞清路程、速度、時間三者之間的關(guān)系。封閉路線中的行程問題，可以轉(zhuǎn)化為非封閉路線中的行程問題來解決。在求兩個沿封閉路線相向運動的人或物體相遇次數(shù)時，還可以借助圖示直觀地解決。直線上的來回運動、鐘表上的時針分針夾角問題，實質(zhì)上也是封閉路線中的行程問題?！纠?】甲、乙兩名同學(xué)在周長為300米圓形跑道上從同一地點同時背向練習(xí)跑步，甲每秒鐘跑3.5米，乙每秒鐘跑4米，問：他們第十次相遇時，甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點？【分析】要知道甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點，實質(zhì)上只要知道甲最后一次離開出發(fā)點又跑出了多少米。我們先來看

20、看甲從一開始到與乙第十次相遇時共跑了多遠(yuǎn)。不難知道，這段時間內(nèi)甲、乙兩人共跑的路程是操場周長的10倍（300×10=3000米）。因為甲的速度為每秒鐘跑3.5米，乙的速度為每秒鐘跑4米，由上一講我們可以知道，這段時間內(nèi)甲共行1400知道甲還需行100（=300-200）米。1400÷300=4（圈）200（米）300-200=100（米）【例6】如圖38-1，A、B是圓的一條直徑的兩端，小張在A點，小王在B點，同時出發(fā)逆時針而行，第一周內(nèi)，他們在C點第一次相遇，在D點第二次相遇。已知C點離A點80米，D點離B點60米。求這個圓的周長?！痉治觥窟@是一個圓周上的追及問題。從一開

21、始運動到第一次相遇，小張行了80米，小王行了“半個圓周長+80”米，也就是在相同的時間內(nèi)，小王比小張多行了半個圓周長，然后，小張、小王又從C點同時開始前進(jìn)，因為小王的速度比小張快，要第二次再相遇，只能是小王沿圓周比小張多跑一圈。從第一次相遇到第二次相遇小王比小張多走的路程（一個圓周長）是從開始到第一次相遇小王比小張多走的路程（半個圓周長）的2倍。也就是，前者所花的時間是后者的2倍。對于小張來說，從一開始到第一次相遇行了80米，從第一次相遇到第二次相遇就應(yīng)該行160米，一共行了240米。這樣就可以知道半個圓周長是180（=240-60）米?！窘狻浚?0+80×2-60）×2=

22、360（米）【例3】2點整以后，經(jīng)過多長時間時針與分鐘第一次垂直、第三次垂直？【分析】分針的速度比時針快，2點整時，分針在時針后面 2格，要使分針與時針第一次垂直，分針應(yīng)在時針前面3（=12÷4）格。也就是說，這段時間內(nèi)分針應(yīng)比時針多走5格。而分針每小時走12格，時針每小時走1格。后，時針才能與分針第一次垂直。每個小時內(nèi)時針與分針重合一次垂直兩次。時針與分針第三次垂直，分針應(yīng)比時針多跑（5+12=）17格。所以要經(jīng) 工程問題在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項任務(wù)，完成某項工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作時間這三個量，它們之間的基本數(shù)量關(guān)系是工作量=工

23、作效率×時間.在小學(xué)數(shù)學(xué)中，探討這三個數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫做“工程問題”.舉一個簡單例子.一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.問兩人合作幾天可以完成？一件工作看成1個整體，因此可以把工作量算作1.所謂工作效率，就是單位時間內(nèi)完成的工作量，我們用的時間單位是“天”，1天就是一個單位，再根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系式，得到所需時間=工作量÷工作效率=6（天）·兩人合作需要6天.這是工程問題中最基本的問題，這一講介紹的許多例子都是從這一問題發(fā)展產(chǎn)生的.為了計算整數(shù)化（盡可能用整數(shù)進(jìn)行計算），如第三講例3和例8所用方法，把工作量多設(shè)份額.還是上題，10與15的最小

24、公倍數(shù)是30.設(shè)全部工作量為30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩人合作所需天數(shù)是30÷（3+ 2）= 6（天）數(shù)計算，就方便些.2.或者說“工作量固定，工作效率與時間成反比例”.甲、乙工作效率的比是1510=32.當(dāng)知道了兩者工作效率之比，從比例角度考慮問題，也需時間是因此，在下面例題的講述中，不完全采用通常教科書中“把工作量設(shè)為整體1”的做法，而偏重于“整數(shù)化”或“從比例角度出發(fā)”，也許會使我們的解題思路更靈活一些.一、兩個人的問題標(biāo)題上說的“兩個人”，也可以是兩個組、兩個隊等等的兩個集體.例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現(xiàn)在甲先做了3天，余

25、下的工作由乙繼續(xù)完成.乙需要做幾天可以完成全部工作？答：乙需要做4天可完成全部工作.解二：9與6的最小公倍數(shù)是18.設(shè)全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需時間是（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）.解三：甲與乙的工作效率之比是6 9= 2 3.甲做了3天，相當(dāng)于乙做了2天.乙完成余下工作所需時間是6-2=4（天）.例2 一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？解：共做了6天后，原來，甲做 24天，乙做 24天，現(xiàn)在，甲做0天，乙做40

26、=（24+16）天.這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替.因此甲的工作效率如果乙獨做，所需時間是如果甲獨做，所需時間是答：甲或乙獨做所需時間分別是75天和50天.例3 某工程先由甲獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.現(xiàn)在甲先單獨做42天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還需要做多少天？解：先對比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的甲先單獨做42天，比63天少做了63-42=21（天），相當(dāng)于乙要做因此，乙還要做28+28= 56 （天）.答

27、：乙還需要做 56天.例4 一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成.現(xiàn)在兩隊合作，其間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天（不存在兩隊同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時間？解一：甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天，共完成工作量余下的工作量是兩隊共同合作的，需要的天數(shù)是2+8+ 1= 11（天）.答：從開始到完工共用了11天.解二：設(shè)全部工作量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天之后，還需兩隊合作（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）.解三：甲隊做1天相當(dāng)于乙隊做3天.在甲隊單獨做 8天后

28、，還余下（甲隊） 10-8= 2（天）工作量.相當(dāng)于乙隊要做2×3=6（天）.乙隊單獨做2天后，還余下（乙隊）6-2=4（天）工作量.4=3+1，其中3天可由甲隊1天完成，因此兩隊只需再合作1天.例5 一項工程，甲隊單獨做20天完成，乙隊單獨做30天完成.現(xiàn)在他們兩隊一起做，其間甲隊休息了3天，乙隊休息了若干天.從開始到完成共用了16天.問乙隊休息了多少天？解一：如果16天兩隊都不休息，可以完成的工作量是由于兩隊休息期間未做的工作量是乙隊休息期間未做的工作量是乙隊休息的天數(shù)是答：乙隊休息了5天半.解二：設(shè)全部工作量為60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩隊休息期間未做的

29、工作量是（3+2）×16- 60= 20（份）.因此乙休息天數(shù)是（20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）.解三：甲隊做2天，相當(dāng)于乙隊做3天.甲隊休息3天，相當(dāng)于乙隊休息4.5天.如果甲隊16天都不休息，只余下甲隊4天工作量，相當(dāng)于乙隊6天工作量，乙休息天數(shù)是16-6-4.5=5.5（天）.例6 有甲、乙兩項工作，張單獨完成甲工作要10天，單獨完成乙工作要15天；李單獨完成甲工作要 8天，單獨完成乙工作要20天.如果每項工作都可以由兩人合作，那么這兩項工作都完成最少需要多少天？解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲

30、，張先做乙.設(shè)乙的工作量為60份（15與20的最小公倍數(shù)），張每天完成4份，李每天完成3份.8天，李就能完成甲工作.此時張還余下乙工作（60-4×8）份.由張、李合作需要（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.8+4=12（天）.答：這兩項工作都完成最少需要12天.例7 一項工程，甲獨做需10天，乙獨做需15天，如果兩人合作，他要8天完成這項工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？解：設(shè)這項工程的工作量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩人合作，共完成3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）.因為兩人合作天數(shù)

31、要盡可能少，獨做的應(yīng)是工作效率較高的甲.因為要在8天內(nèi)完成，所以兩人合作的天數(shù)是（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.很明顯，最后轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”型問題.例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比單獨做時如果這件工作始終由甲一人單獨來做，需要多少小時？解：乙6小時單獨工作完成的工作量是乙每小時完成的工作量是兩人合作6小時，甲完成的工作量是甲單獨做時每小時完成的工作量甲單獨做這件工作需要的時間是答：甲單獨完成這件工作需要33小時.這一節(jié)的多數(shù)例題都進(jìn)行了“整數(shù)化”的處理.但是，“整數(shù)化”并不能使所有工程問題的計算簡便.例8就是如此.例8也可以整數(shù)

32、化，當(dāng)求出乙每有一點方便，但好處不大.不必多此一舉.二、多人的工程問題我們說的多人，至少有3個人，當(dāng)然多人問題要比2人問題復(fù)雜一些，但是解題的基本思路還是差不多.例9 一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問甲一人獨做需要多少天完成？解：設(shè)這件工作的工作量是1.甲、乙、丙三人合作每天完成減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人獨做需要90天完成.例9也可以整數(shù)化，設(shè)全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.請試一試，計算是否會方便些？例10 一件工作，甲獨做要

33、12天，乙獨做要18天，丙獨做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天？解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.說明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了2+6+12=20（天）.答：完成這項工作用了20天.本題整數(shù)化會帶來計算上的方便.12，18，24這三數(shù)有一個易求出的最小公倍數(shù)72.可設(shè)全部工作量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了例11 一項工程，甲、乙、丙三人

34、合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問這項工程由甲獨做需要多少天？解：丙2天的工作量，相當(dāng)乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當(dāng)于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.他們共同做13天的工作量，由甲單獨完成，甲需要答：甲獨做需要26天.事實上，當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是321，就知甲做1天，相當(dāng)于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做13天來完成.例12 某項工作，甲組3人8天能完成工作，乙組4人7天也

35、能完成工作.問甲組2人和乙組7人合作多少時間能完成這項工作？解一：設(shè)這項工作的工作量是1.甲組每人每天能完成乙組每人每天能完成甲組2人和乙組7人每天能完成答：合作3天能完成這項工作.解二：甲組3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙組4人7天能完成，因此7人4天能完成.現(xiàn)在已不需顧及人數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為：甲組獨做12天，乙組獨做4天，問合作幾天完成？小學(xué)算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性.解二是比例靈活運用的典型，如果你心算較好，很快就能得出答數(shù).例13 制作一批零件，甲車間要10天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要6天就能完成.乙車間與丙車間一起做，需要8天才能完成.現(xiàn)在三個車間一起做，完

36、成后發(fā)現(xiàn)甲車間比乙車間多制作零件2400個.問丙車間制作了多少個零件？解一：仍設(shè)總工作量為1.甲每天比乙多完成因此這批零件的總數(shù)是丙車間制作的零件數(shù)目是答：丙車間制作了4200個零件.解二：10與6最小公倍數(shù)是30.設(shè)制作零件全部工作量為30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知乙、丙工作效率之比是1614=87.已知甲、乙工作效率之比是 32= 128.綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是1287.當(dāng)三個車間一起做時，丙制作的零件個數(shù)是2400÷（12- 8

37、） × 7= 4200（個）.例14 搬運一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時.有同樣的倉庫A和B，甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運.最后兩個倉庫貨物同時搬完.問丙幫助甲、乙各多少時間？解：設(shè)搬運一個倉庫的貨物的工作量是1.現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量2，所需時間是答：丙幫助甲搬運3小時，幫助乙搬運5小時.解本題的關(guān)鍵，是先算出三人共同搬運兩個倉庫的時間.本題計算當(dāng)然也可以整數(shù)化，設(shè)搬運一個倉庫全部工作量為 60.甲每小時搬運 6，乙每小時搬運 5，丙每小時搬運4.三人共同搬完，需要60 ×

38、2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小時）.甲需丙幫助搬運（60- 6× 8）÷ 4= 3（小時）.乙需丙幫助搬運（60- 5× 8）÷4= 5（小時）.  水管問題從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來看，水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水或排水相當(dāng)于一項工程，注水量或排水量就是工作量.單位時間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了.因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同.例15 甲、乙兩管同時打開，9分鐘能注滿水池.現(xiàn)在，先打開甲管，10分鐘后打開乙管，經(jīng)過3分鐘就注滿了水池.已知甲管

39、比乙管每分鐘多注入0.6立方米水，這個水池的容積是多少立方米？甲每分鐘注入水量是乙每分鐘注入水量是因此水池容積是答：水池容積是27立方米.例16 有一些水管，它們每分鐘注水量都相等.現(xiàn)在按預(yù)定時間注滿水池，如果開始時就打開10根水管，中途不增開水管，也能按預(yù)定時間注滿水池.問開始時打開了幾根水管？答：開始時打開6根水管.例17 蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水，單開甲管需3小時，單開丙管需要5小時.要排光一池水，單開乙管需要、乙、的順序輪流打開1小時，問多少時間后水開始溢出水池？，否則開甲管的過程中水池里的水就會溢出.以后（20小時），池中的水已有

40、此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進(jìn)了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到達(dá)井口，每小時它總是爬3尺，又滑下2尺.問這只青蛙需要多少小時才能爬到井口？看起來它每小時只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小時后，它再爬1小時，往上爬了3尺已到達(dá)井口.因此，答案是28小時，而不是30小時.例18 一個蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開5個水龍頭，2小時半就把水池水放空，如果打開8個水龍頭，1小時半就把水池水放空.現(xiàn)在打開13個水龍頭，問要多少時間才能把水放空？解：先計算1個水龍頭每分鐘放出水量.2小時半比1小時半多60分鐘，多流入水4 × 60= 240（立方米）

41、.時間都用分鐘作單位，1個水龍頭每分鐘放水量是240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），8個水龍頭1個半小時放出的水量是8 × 8 × 90，其中 90分鐘內(nèi)流入水量是 4 × 90，因此原來水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打開13個水龍頭每分鐘可以放出水8×13，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分鐘）.答：打開13個龍頭，放空水池要54分鐘.

42、水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.例19 一個水池，地下水從四壁滲入池中，每小時滲入水量是固定的.打開A管，8小時可將滿池水排空，打開C管，12小時可將滿池水排空.如果打開A，B兩管，4小時可將水排空.問打開B，C兩管，要幾小時才能將滿池水排空？解：設(shè)滿水池的水量為1.A管每小時排出A管4小時排出因此，B，C兩管齊開，每小時排水量是B，C兩管齊開，排光滿水池的水，所需時間是答： B， C兩管齊開要 4 小時 48分才將滿池水排完.本題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量.由于不知具體數(shù)量，像工

43、程問題不知工作量的具體數(shù)量一樣.這里把兩種水量分別設(shè)成“1”.但這兩種量要避免混淆.事實上，也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為8與12的最小公倍數(shù) 24.17世紀(jì)英國偉大的科學(xué)家牛頓寫過一本普遍算術(shù)一書，書中提出了一個“牛吃草”問題，這是一道饒有趣味的算術(shù)題.從本質(zhì)上講，與例18和例19是類同的.題目涉及三種數(shù)量：原有草、新長出的草、牛吃掉的草.這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類同的.例20 有三片牧場，場上草長得一樣密，而且長得一草；21頭牛9星期吃完第二片牧場的草.問多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場的草？解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量×牛頭數(shù)×星期數(shù)

44、.根據(jù)這一計算公式，可以設(shè)定“一頭牛每星期吃草量”作為草的計量單位.原有草+4星期新長的草=12×4.原有草+9星期新長的草=7×9.由此可得出，每星期新長的草是（7×9-12×4）÷（9-4）=3.那么原有草是7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.對第三片牧場來說，原有草和18星期新長出草的總量是這些草能讓90×7.2÷18=36（頭）牛吃18個星期.答：36頭牛18個星期能吃完第三片牧場的草.例20與例19的解法稍有一點不一樣.例20把“新長的”具體地求出來，把“原有的”與

45、“新長的”兩種量統(tǒng)一起來計算.事實上，如果例19再有一個條件，例如：“打開B管，10小時可以將滿池水排空.”也就可以求出“新長的”與“原有的”之間數(shù)量關(guān)系.但僅僅是例19所求，是不需要加這一條件.好好想一想，你能明白其中的道理嗎？“牛吃草”這一類型問題可以以各種各樣的面目出現(xiàn).限于篇幅，我們只再舉一個例子.例21 畫展9點開門，但早有人排隊等候入場.從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多.如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊，如果開5個入場口，9點5分就沒有人排隊.問第一個觀眾到達(dá)時間是8點幾分？解：設(shè)一個入場口每分鐘能進(jìn)入的觀眾為1個計算單位.從9點至9點9分進(jìn)入觀眾是

46、3×9，從9點至9點5分進(jìn)入觀眾是5×5.因為觀眾多來了9-5=4（分鐘），所以每分鐘來的觀眾是（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5.9點前來的觀眾是5×5-0.5×5=22.5.這些觀眾來到需要22.5÷0.5=45（分鐘）.答：第一個觀眾到達(dá)時間是8點15分.從例20和例21中，我們也注意到，設(shè)置計算單位的重要性.選擇適當(dāng)?shù)牧孔鳛橛嬎銌挝?，往往使問題變得簡單且易于表達(dá).本書中多次提到設(shè)單位問題，請同學(xué)們注意學(xué)習(xí). 數(shù)字推理題型及講解I數(shù)字推理的題目就是給你一個數(shù)列,但其中缺少一項,要求你仔細(xì)觀察這個

47、數(shù)列各數(shù)字之間的關(guān)系,找出其中的規(guī)律,然后在四個選項中選擇一個最合理的一個作為答案.按照數(shù)字排列的規(guī)律, 數(shù)字推理題一般可分為以下幾種類型:一、奇、偶：題目中各個數(shù)都是奇數(shù)或偶數(shù)，或間隔全是奇數(shù)或偶數(shù)：1、全是奇數(shù)：例題：1 5 3 7 （ ）A .2 B.8 C.9 D.12解析：答案是C ，整個數(shù)列中全都是奇數(shù)，而答案中只有答案C是奇數(shù)2、全是偶數(shù)：例題：2 6 4 8 （ ）A. 1 B. 3 C. 5 D. 10解析：答案是D ，整個數(shù)列中全都是偶數(shù)，只有答案D是偶數(shù)。3、奇、偶相間例題：2 13 4 17 6 （ ）A.8 B. 10 C. 19 D. 12解析：整個數(shù)列奇偶相間，偶

48、數(shù)后面應(yīng)該是奇數(shù) ，答案是C練習(xí)：2，1，4，3，（ ），5   99年考題 二、排序：題目中的間隔的數(shù)字之間有排序規(guī)律1、例題：34，21，35，20，36（ ）A.19 B.18 C.17 D.16解析：數(shù)列中34，35，36為順序，21，20為逆序，因此，答案為A。 三、加法：題目中的數(shù)字通過相加尋找規(guī)律1、前兩個數(shù)相加等于第三個數(shù)例題：4，5，（ ），14，23，37A.6 B.7 C.8 D.9注意：空缺項在中間，從兩邊找規(guī)律，這個方法可以用到任何題型；解析：4+5=9 5+9=14 9+14=23 14+23=37，因此，答案為D；練習(xí)：6，

49、9，（ ），24，39 / 1，0，1，1，2，3，5，（ ）2、前兩數(shù)相加再加或者減一個常數(shù)等于第三數(shù)例題：22，35，56，90，（ ） 99年考題A162 B.156 C.148 D.145解析: 22+35-1=56 35+56-1=90 56+90-1=145，答案為D 四、減法：題目中的數(shù)字通過相減，尋找減得的差值之間的規(guī)律1、前兩個數(shù)的差等于第三個數(shù)：例題：6，3，3，（ ），3，-3A.0 B.1 C.2 D.3答案是A解析：6-3=3 3-3=0 3-0=3 0-3=-3提醒您別忘了：“空缺項在中間，從兩邊找規(guī)律” 2、等差數(shù)列：例題：5，10，15，(

50、)A. 16 B.20 C.25 D.30答案是B.解析：通過相減發(fā)現(xiàn)：相鄰的數(shù)之間的差都是5，典型等差數(shù)列；3、二級等差：相減的差值之間是等差數(shù)列例題：115，110，106，103，（ ）A.102 B.101 C.100 D.99 答案是B解析：鄰數(shù)之間的差值為5、4、3、（2）， 等差數(shù)列，差值為1103-2=101練習(xí)：8，8，6，2，（ ） / 1，3，7，13，21，31，（ ）4、二級等比：相減的差是等比數(shù)列例題：0,3,9,21,45, ( )相鄰的數(shù)的差為3,6,12,24,48,答案為93例題：-2,-1,1,5,( ),29 -99年考題解析：-1-（-2）=1 ，1-

51、（-1）=2，5-1=4，13-5=8，29-13=16后一個數(shù)減前一個數(shù)的差值為:1,2,4, 8,16,所以答案是135、相減的差為完全平方或開方或其他規(guī)律例題：1，5，14，30，55， （ ）相鄰的數(shù)的差為4，9，16，25，則答案為55+36=916、相隔數(shù)相減呈上述規(guī)律：例題：53，48，50，45，47A.38 B.42 C.46 D.51解析：53-50=3 50-47=3 48-45=3 45-3=42 答案為B注意：“相隔”可以在任何題型中出現(xiàn)五、乘法：1、前兩個數(shù)的乘積等于第三個數(shù)例題：1,2,2,4,8,32,( )前兩個數(shù)的乘積等于第三個數(shù)，答案是2562、前一個數(shù)乘

52、以一個數(shù)加一個常數(shù)等于第二個數(shù)，n1×m+a=n2例題:6,14,30,62,( )A.85 B.92 C.126 D.250解析:6×2+2=14 14×2+2=30 30×2+2=62 62×2+2=126，答案為C 練習(xí)：28，54，106，210，（ ）3、兩數(shù)相乘的積呈現(xiàn)規(guī)律:等差,等比,平方,.例題：3/2， 2/3， 3/4，1/3，3/8 （ ） （99年海關(guān)考題）A. 1/6 B.2/9 C.4/3 D.4/9解析:3/2×2/3=1 2/3×3/4=1/2 3/4×1/3=1/4 1/

53、3×3/8=1/83/8×?=1/16 答案是 A六、除法:1、兩數(shù)相除等于第三數(shù)2、兩數(shù)相除的商呈現(xiàn)規(guī)律：順序，等差，等比，平方，.七、平方：1、完全平方數(shù)列：正序：4，9，16，25逆序：100，81，64，49，36間序：1，1，2，4，3，9，4，（16） 2、前一個數(shù)的平方是第二個數(shù)。1） 直接得出：2，4，16，（ ）解析：前一個數(shù)的平方等于第三個數(shù)，答案為256。2）前一個數(shù)的平方加減一個數(shù)等于第二個數(shù)：1，2，5，26，（677） 前一個數(shù)的平方減1等于第三個數(shù)，答案為6773、隱含完全平方數(shù)列：1）通過加減化歸成完全平方數(shù)列：0，3，8，15，2

54、4，（ ）前一個數(shù)加1分別得到1，4，9，16，25，分別為1，2，3，4，5的平方，答案為6的平方36。2）通過乘除化歸成完全平方數(shù)列：3，12，27，48，（ ）3, 12，27，48同除以3，得1，4，9，16，顯然，答案為753）間隔加減，得到一個平方數(shù)列：例：65，35，17，（ ），1A.15 B.13 C.9 D.3解析:不難感覺到隱含一個平方數(shù)列。進(jìn)一步思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律是：65等于8的平方加1，35等于6的平方減1，17等于4的平方加1，所以下一個數(shù)應(yīng)該是2的平方減1等于3，答案是D.練習(xí)1：65，35，17，（3 ），1 A.15 B.13 C.9 D.3練習(xí)2：0， 2， 8，

55、18，（24 ） A.24 B.32 C.36 D.52（ 99考題）八、開方：技巧:把不包括根號的數(shù)(有理數(shù)),根號外的數(shù),都變成根號內(nèi)的數(shù),尋找根號內(nèi)的數(shù)之間的規(guī)律:是存在序列規(guī)律,還是存在前后生成的規(guī)律。 九、立方:1、立方數(shù)列：例題：1，8，27，64，（ ）解析：數(shù)列中前四項為1，2，3，4的立方，顯然答案為5的立方，為125。2、立方加減乘除得到的數(shù)列：例題：0，7，26，63 ，（ ）解析：前四項分別為1，2，3，4的立方減1，答案為5的立方減1，為124。十、特殊規(guī)律的數(shù)列：1、前一個數(shù)的組成部分生成第二個數(shù)的組成部分: 例題：1，1/2，2/3，3/5，5

56、/8，8/13，（ ）答案是：13/21，分母等于前一個數(shù)的分子與分母的和，分子等于前一個數(shù)的分母。2、數(shù)字升高（或其它排序），冪數(shù)降低（或其它規(guī)律）。例題：1，8，9，4，（ ），1/6A3 B.2 C.1 D.1/3解析:1，8，9，4，（ ），1/6依次為1的4次方，2的三次方，3的2次方（平方），4的一次方，（ ），6的負(fù)一次方。存在1，2，3，4，（   ），6和4，3，2，1，（ ），-1兩個序列。答案應(yīng)該是5的0次方，1。    數(shù)字推理題型及講解II以上我們介紹了數(shù)字推理的基本題型和規(guī)律，下面我們歸納總結(jié)：數(shù)字推理的主要是通過加、減、乘、除、平方、開方等方法來尋找數(shù)列中各個數(shù)字之間的規(guī)律，從而得出最后的答案。在實際解題過程中，我們根據(jù)相鄰數(shù)之間的關(guān)系分為兩大類：一、相鄰數(shù)之間通過加、減、乘、除、平方、開方等方式發(fā)生聯(lián)系，產(chǎn)生規(guī)律，主要有以下幾種規(guī)律：1、 相鄰兩個數(shù)加、減、乘、除等于第三數(shù)2、 相鄰兩個數(shù)加、減、乘、除后再加或者減一個常數(shù)等于第三數(shù)3、 等差數(shù)列：數(shù)列中各個數(shù)字成等差數(shù)列4、 二級等