抽象函數(shù)定義域的求法例題

1、抽象函數(shù)的定義域1、 已知f(x)的定義域，求復(fù)合函數(shù)fg X的定義域由復(fù)合函數(shù)的定義我們可知，要構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，則內(nèi)層函數(shù)的值域必須包含于外層函數(shù)的定義域之中，因此可得其方法為：若 f (x)的定義域為xa,b，求出fg(x)中a ： g(x) ： b的解x的范圍，即為 fg(x)的定義域。2、已知復(fù)合函數(shù)fg x的定義域，求f (x)的定義域方法是：若fg x的定義域為a,b，則由a ： x ： b確定g(x)的范圍即為f(x)的定義域。3、已知復(fù)合函數(shù) fg(x)的定義域，求fh(x)的定義域結(jié)合以上一、二兩類定義域的求法，我們可以得到此類解法為：可先由fg x定義域求得f x的定義域，再

2、由f x的定義域求得f h x 的定義域。4、已知f (x)的定義域，求四則運算型函數(shù)的定義域若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的，其定義域為各基本函數(shù)定義域的交集，即先求出各個函數(shù)的定義域，再求交集。例1、已知函數(shù)f(x)的定義域為-1, 1,求f(3x-5)的定義域.解：f(x)的定義域為 1-1,5 1, - 1 < 3x-5< 5 , 4 < x< 10 .33故函數(shù)f(3x-5)的定義域為 -,10 .113 3練習：若函數(shù)y = f(x)的定義域為 1,2，則f (log2x)的定義域為。卜21 J-解：依題意知： "log 2 x三2解之

3、，得：x.2三x42二f (log2 x)的定義域為x |4 '例2、已知函數(shù)f (x2 -2x - 2)的定義域為 1-0,31, 求函數(shù)f(x)的定義域.分析：若f l.g(x)的定義域為 m < x< n，則由m < x < n確定的g(x)的范圍即為f (x)的定義 域這種情況下，f (x)的定義域即為復(fù)合函數(shù) f lg(x) 1的內(nèi)函數(shù)的值域。本題中令 u =x2 -2x 2 , 則 f (x2 -2x 2) = f (u),由于f(u)與f (x)是同一函數(shù)，因此 U的取值范圍即為f (x)的定義域.解：由 0 < x < 3，得 K x

4、2 -2 x 2 <5 令 u =x2 -2x 2，則 f(x2 -2x 2) = f(u) , 1 < u < 5 故f(x)的定義域為1, 1.練習:已知函數(shù)= /+ 1)的定義域為0 <! <9，則$ = 了(©的定義域為。解：由J G仝，得丨八丨1所以'-,故填丨丄'1例3.函數(shù)' - 1 定義域是2須，則-的定義域是()0,- .A. ' B. ' ；IC. '':D. ''：解：先求一：-的定義域'J' b的定義域是-：'.'；'

5、; I ',即的定義域是_ 賈，再求11的定義域二；J '二 m 的定義域是®2,故應(yīng)選a練習：已知函數(shù) f(2 x)的定義域是-1 , 1,求f(log 2x)的定義域.1解/y=f(2 x)的定義域是-1 , 1 ，即-1 < x< 1, 2 < 2xw 2.1函數(shù) y=f(log 2x)中 2 < log 2x< 2.即 log 2、2 < log 2x< log 24, 2 < x < 4.故函數(shù)f(log 2X)的定義域為2 , 4例4若f(x)的定義域為1-3,5 1,求(X)二f (-x) f (2x

6、 5)的定義域.解：由f(x)的定義域為1-3 , 5 1 ,則：(x)必有' 解得-4 < x < 0 .1-3 < 2x+5 < 5,所以函數(shù) (x)的定義域為-4 ,0 1.心“ nj 蘭 0)練習：已知函數(shù) 的定義域是-,求的定義域。分析：分別求f(x+a)與f(x-a)的定義域，再取交集。解：丁由已知，有0 <x + a <1(-aOmQ,即幾工三1 + 口函數(shù)的定義域由(一業(yè)1 如3 宀確3V-<02：-：-匸 函數(shù)i :的定義域是.一 ''<1 2例5若函數(shù)f(x+1)的定義域為,2,求f(x)的定義域.解：

7、先求f(x)的定義域：由題意知一再求fh(x)的定義域：111< XW 2,則_v x+ 1< 3，即 f(x)的定義域為,3,2221 <x2< 3,解得2二f(x2)的定義域是x| 3 < x< T或T<x<3.例6、某單位用木料制作如圖所示的框架 ，框架的下部是邊長分別為 x、 y(單位：m)的矩形上部是等腰直角三角形.要求框架圍成的總面積 8cm2.問 x、y分別為多少(精確到0.001m)時用料最省？分析：應(yīng)用題中的定義域除了要使解析式有意義外，還需考慮實際上的有效范圍。實際上的有效范圍，即實際問題要有意義，一般來說有以下幾中常見情況：

8、(1) 面積問題中，要考慮部分的面積小于整體的面積；(2) 銷售問題中，要考慮日期只能是自然數(shù)，價格不能小于0也不能大于題設(shè)中規(guī)定的值(有的題沒有規(guī)定)；(3) 生產(chǎn)問題中，要考慮日期、月份、年份等只能是自然數(shù)，增長率要滿足題設(shè)；(4 )路程問題中，要考慮路程的范圍。本題中總面積為S三角形'S矩形1 2由于xy 0 ,于是 x2 : 8 ,4即x ： 4 . 2。又x 0 ,. x的取值范圍5#解:2).1 2由題意得 xy+ x =8, . y=428-亍 8 x=(0<x<4x x 4#于是框架用料長度為l=2x+2y+2(3+ ：2)x+ 16 >4 6<

9、 2 .2x#當(3 + . 2 )x= 16 ,即x=8 4 2時等號成立2 x此時，x 2.343,y=2 一 2 2.828.故當x為2.343m,y為2.828m時，用料最省.變式訓(xùn)練：13. (2007 北京理，19)如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底上.記CD=2x,梯形面積為S.求面積S以x :求面積S的最大值.解(1)依題意，以AB的中點0為原點建立直角坐標系O-xy (如圖)，則點C的橫坐標為x,點C的縱坐標y滿足方程2 2第莒-i(y > 0),r 4r解得 y=2#r2 X2 (0<x<r

10、).S= 丄(2x+2r) 2右2 _x22=2(x+r) . r2 -X2 ,其定義域為x|O<x<r.2222(2)記 f(x)=4(x+r) (r -x ),0<x<r,貝U f ' (x)=8(x+r)(r-2x).1 r令 f' (x)=0,得 x= r.因為當 0<x< 時，f' (x)>0;2 2r1當一<x<r時,f ' (x)<0，所以f ( r )是f(x)的最大值.22因此，當x= 1 r時，S也取得最大值，最大值為fW2.即梯形面積S的最大值為3、3 2r -26#鞏固訓(xùn)練(各專題題目數(shù)量盡量一致，各題均附答案及解析)1.設(shè)函數(shù)/(方的定義域為【°，1,則(1)函數(shù)/(*)的定義域為1(2)函數(shù)“丘-2)的定義域為 _Z 刃2、 已知函數(shù)？=了電(疋+1)】的定義域為Q <X <3，則y =的定義域為13、 已知函數(shù)八了如疋十1)】的定義域為039 ,則y=f(3x-5)的定義域為_33W x< 2.114、設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為】0, 1, q