高等數(shù)學(xué)教學(xué) 第五節(jié) 極限的運(yùn)算法則

1、一、極限運(yùn)算法則一、極限運(yùn)算法則二、求極限方法舉例二、求極限方法舉例三、小三、小 結(jié)結(jié)2/171、無窮小的運(yùn)算性質(zhì)、無窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理定理1 在同一過程中在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍 是無窮小是無窮小.一、極限運(yùn)算法則一、極限運(yùn)算法則注意注意無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. .是是無無窮窮小小，時(shí)時(shí)例例如如nn1, .11不不是是無無窮窮小小之之和和為為個(gè)個(gè)但但nn3/17推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小積是無窮小.推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與

2、無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.xxxxx1arctan,1sin,0,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例如如都是無窮小都是無窮小定理定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.4/17. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設(shè)設(shè)定理定理35/17推論推論1 1.)(lim)(lim,)(limcAxfcxcfcAxf 則則為常數(shù)為常數(shù)而而存在存在如果如果常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面

3、.)(lim)(lim,)(limnnnAxfxfnAxf 則則是是正正整整數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果推論推論2 2推論推論3.)(lim)(lim, 0,)(lim,)(lim)(lim)(BxgxgAxfxfBABxgAxf 則則不不同同時(shí)時(shí)為為、且且如如果果6/17二、求極限方法舉例二、求極限方法舉例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 7/17小結(jié)

4、小結(jié): :則則有有設(shè)設(shè),)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則則有有且且設(shè)設(shè), 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0則商的法則不能應(yīng)用則商的法則不能應(yīng)用若若 xQ8/17解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無窮小與無窮大的關(guān)系由無窮小與無窮大

5、的關(guān)系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx9/17解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分分母母的的極極限限都都是是零零分分子子時(shí)時(shí)x.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無窮小先約去不為零的無窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)10/17例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時(shí)時(shí) x)(型型 .,3再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去除除分分

6、子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無窮小因子分出法無窮小因子分出法)11/17小結(jié)小結(jié): :為為非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有有和和當(dāng)當(dāng)nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子子,分母分母,以分出無窮小以分出無窮小,然后再求極限然后再求極限.12/17例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是無限多個(gè)無窮小之和是無限多個(gè)無窮小之和時(shí)時(shí), n222221lim)

7、21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.關(guān)于數(shù)列，也有類似的極限運(yùn)算法則關(guān)于數(shù)列，也有類似的極限運(yùn)算法則13/17例例6 6.sinlimxxx 求求解解,1,為無窮小為無窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xx .sin 是是有有界界函函數(shù)數(shù)而而x. 0sinlim xxxxxysin 14/17.)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(00000AufxfxxxfAufaxxaxaxxxuauxxauxx 時(shí)的極限也存在，且時(shí)的極限也存在，且當(dāng)當(dāng)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)，又，又的某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)但在點(diǎn)但在點(diǎn)，即，即時(shí)

8、的極限存在且等于時(shí)的極限存在且等于當(dāng)當(dāng)運(yùn)算法則）設(shè)函數(shù)運(yùn)算法則）設(shè)函數(shù)定理（復(fù)合函數(shù)的極限定理（復(fù)合函數(shù)的極限)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意義：意義：15/17例例8 8.lim333axaxax 求求解解axaxaxax 3233)()(lim原原式式3233232)(limaaxxaxax 0 323203limauuaxu 令令16/17) 7( ) 5() 3(149 P業(yè)業(yè)作作三、小結(jié)三、小結(jié)1、極限的四則運(yùn)算法則及其推論、極限的四則運(yùn)算法則及其推論;2、極限求法、極限求法;a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極

9、限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.3、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則用時(shí)用時(shí)1課時(shí)課時(shí)17/17思考題思考題 在某個(gè)過程中，若在某個(gè)過程中，若 有極限，有極限， 無極限，那么無極限，那么 是否有極限？為是否有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 18/17思考題解答思考題解答沒有極限沒有極限假設(shè)假設(shè) 有極限，有極限，)()(xgxf )(xf有極限，有極限，由極限運(yùn)算法則可知：由極限運(yùn)算法則

10、可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與已知矛盾，與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤故假設(shè)錯(cuò)誤19/17._1sinlim320 xxx、._33lim132 xxx、一、填空題一、填空題:._)112)(11(lim22 xxxx、._coslim4 xxxeex、練練 習(xí)習(xí) 題題20/17二、求下列各極限二、求下列各極限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、)(lim4xxxxx 、21/17一一、1 1、- -5 5； 2 2、3 3； 3 3、2 2； 4 4、51； 5 5、0 0； 6 6、0 0； 7

11、7、21； 8 8、30)23(. .二二、1 1、2 2； 2 2、x2； 3 3、- -1 1； 4 4、- -2 2； 5 5、21； 6 6、0 0； 7 7、nmnm . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案22/17集合運(yùn)算法則中的對(duì)偶律：集合運(yùn)算法則中的對(duì)偶律：cccBABA )(IABBABAcBA)(證明：證明：BAx BxAx 且且ccBxAx 且且ccBAx cccBABA )(ccccBxAxBAx 且且又又BxAx 且且cBAx)( cccBABA )(cccBABA )(故故BAxBAxc )(I 23/17IAB BABAcBA)(集合運(yùn)算法則中的對(duì)偶律：集合運(yùn)算法則中的對(duì)偶律

12、：cccBABA )(證明：證明：BAx BxAx 且且ccBxAx 且且ccBAx cccBABA )(ccccBxAxBAx 且且又又BxAx 且且cBAx)( cccBABA )(cccBABA )(故故BAxBAxc )( 24/17IABBBA ABA cBA)(集合運(yùn)算法則中的對(duì)偶律：集合運(yùn)算法則中的對(duì)偶律：cccBABA )(證明：證明：BAx BxAx 且且ccBxAx 且且ccBAx cccBABA )(ccccBxAxBAx 且且又又BxAx 且且cBAx)( cccBABA )(cccBABA )(故故BAxBAxc )( 25/17IABBABAcBA)(集合運(yùn)算法則中的對(duì)偶律：集合運(yùn)算法則中的對(duì)偶律：cccBABA )(證明：證明：BAx BxAx 或或ccBxAx 或或ccBAx cccBABA )(ccccBxAxBAx 或或又又BxAx 或或cBAx)( cccBABA )(cccBABA )(故故BAxBAxc )( 26/17集合運(yùn)算法則中的對(duì)偶律：集合運(yùn)算法則中的對(duì)偶律：cccBABA )(證明：證明：BAx BxAx 或或ccBxAx 或或ccBAx cccBABA )(ccccBxAxBAx 或或又又BxAx 或或cBAx)( ccc