高等數(shù)學(xué)教學(xué) 第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1、. )() ()()() ( ()() (,),(0000值值小小上上的的最最大大在在區(qū)區(qū)間間是是函函數(shù)數(shù)則則稱稱都都有有使使得得對對于于任任一一如如果果有有上上有有定定義義的的函函數(shù)數(shù)對對于于在在區(qū)區(qū)間間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 第十節(jié)第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、有界性與最值定理一、有界性與最值定理二、零點(diǎn)定理與介值定理二、零點(diǎn)定理與介值定理*三、一致連續(xù)性三、一致連續(xù)性四、小四、小 結(jié)結(jié)2/11一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定義定義: :,sgnxy 例如例如,),(上上在在 ,2max y; 1min y,), 0 (上上在在 .

2、 1minmax yy,sin1xy ,2,0上上在在 ;0min y, 1max ya3/11定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值的函數(shù)一定有最大值和最小值. .b2 1 xyo) ( x f y ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使使得得則則若若) (xfy 注意注意: :1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立定理不一定成立.4/11yo) ( x f y 212 2 yo) ( x f y

3、, , ) (上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)b a x f2定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .證證,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 則則有有., )(上上有有界界在在函函數(shù)數(shù)baxf5/11二、介值定理二、介值定理.) (, 0)(000的的零零點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為函函數(shù)數(shù)則則使使如如果果xfxxfx 定義定義: :.) , (0) (內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個個實(shí)實(shí)根根在在即即方方程程 baxf 6/11bb3 1 1 .,) (軸軸至至少少有有一一個個交交點(diǎn)點(diǎn)線線弧弧與與則則曲曲

4、軸軸的的不不同同側(cè)側(cè)端端點(diǎn)點(diǎn)位位于于的的兩兩個個連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧xxx f y 幾何解釋幾何解釋:1 yo) ( x f y ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使使得得則則若若7/11幾何解釋幾何解釋:MBCAmab2 3 2x1x, ) ( ) ( Cx f x 設(shè)設(shè)yo) ( x f y ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使使得得則則若若證證,)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 使使),(ba 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,0)( , 0)

5、() ( Cf 即即.)(Cf .)(至至少少有有一一個個交交點(diǎn)點(diǎn)直直線線與與水水平平連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧Cyxfy .)1 , 0(01423至至少少有有一一根根內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)間間證證明明方方程程 xx8/11推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .例例1 1, 14)(23 xxxf令令證證, 1 , 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則xf,01)0( f又又, 02)1( f使使),1 ,0( 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,0)( f, 01423 即即.) 1 , 0 (01423 內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一根根在在方

6、方程程 xxMm. ) (), , (. ) (, ) ( , , ) ( fb abb faa fb ax f使使得得證證明明且且上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)9/11例例2 2,)()(xxfxF 令令證證,)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而,0 使使), (b a 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理, 0)()( fFbbfbF )()(,0 .) ( f即即 如如 果果)( xf在在,ba上上 有有 定定 義義 ， 在在),(ba內(nèi)內(nèi) 連連 續(xù)續(xù) ， 且且0)()( bfaf， 那那 么么)( xf在在),(ba內(nèi)內(nèi) 必必 有有 零零 點(diǎn)點(diǎn) .10/11三、小結(jié)三、小結(jié)四個定理四個定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1閉區(qū)間；閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立解題思路解題思路:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.輔助函數(shù)法輔助函數(shù)法: :先作輔助函數(shù)先作輔助函數(shù)F(x),再利用零點(diǎn)定理再利用零點(diǎn)定理;用時用時1課時課時11/11思考題思考題下述命題是否正確？下述命題是否正確？業(yè)業(yè)作作;3;274P 0, 210,) (xxex f12/11思考