非軸對稱荷載下考慮流體流速的飽和土穩(wěn)態(tài)動力響應.docx

1、第38卷第6期上海交通大學學報Vol.38No.62004年6月JOURNALOFSHANGHAIJIAOTONGUNIVERSITYJun.2004文章編號.1006-2467(2004)06-0947-05非軸對稱荷載下考慮流體流速的飽和土穩(wěn)態(tài)動力響應張正林，高紹武，王建華(上海交通大學土木工程系，上海200030)摘要：由于飽和土中流固柄合，飽和土的動力問題不但要考慮土骨架的運動，而且還要考慮流體的運動.對此，不忽略流體相對于土骨架運動的慣性項，應用Hankel積分變換方法，對Biot波動方程逐次解柄后直接求解得通解；根據(jù)通解和半空間內(nèi)部或表面作用水平力時的邊界條件和作用面上的連續(xù)條件，

2、求得邊值問題的解；對邊值問題的解進行相應的Hankel逆變換，就可求得應力、應變、位移、孔壓等.最后給出了Hankel逆變換的數(shù)值方法.關(guān)鍵詞：飽和土；非軸對稱荷載；Hankel變換；穩(wěn)態(tài)動力響應中圖分類號：TU411.8文獻標識碼：ASteadyDynamicResponseofSaturatedSoilunderNonaxisymmetricalLoadConsideringVelocityofLiquidZHANGZheng-linGAOShao-wuWANGJian-hua(Dept,ofCivilEng.,ShanghaiJiaotongUniv.,Shanghai200030,Ch

3、ina)Abstract:ThesteadydynamicresponseofsaturatedsoilwasstudiedbymeansofHankeltransform.Theliquid*sinertiaisconsidered*i.e.thereisnotanyhypothesis.ByusingHankelintegraltransformmethodthesolutionofhorizontalharmonicforceappliedtotheinteriororthesurfaceofsaturatedsoilisobtained.Thegeneralsolutionsofthe

4、BiotdynamicequationsinfrequencydomainareestablishedthroughtheuseofHankelintegraltransformstechnique.Utilizingtheabove-mentionedgeneralsolution*theboundaryconditionsofthesurfaceofhalf-spaceandthecontinuousconditionsattheplaneofhorizontalforce*thesolutionsoftheboundaryvalueproblemcanbedetermined.Bythe

5、numericalinverseHankeltransformsmethodthestressandthedisplacementofharmonichorizontalforceareobtainable.Intheend,thenumericalmethodofinversionofHankeltransformwasgiven.Keywords:saturatedsoil；non-axisymmetricalloadiHankeltransform；steadydynamicresponse收稿日期,2003-06-21基金項目：國家自然科學基金資助項目（59879012）；教育部博士點

6、基金資助項目（980224832）作者簡介：張正林（1968-）.男.上.海人.碩土.工程師，主要從事工程管理和巖土工程數(shù)（fl計算等研究.王建華（聯(lián)系人）.男.教授.博土生導師.電話（Tel.）,O21-62932915；E-mail：wjh417.飽和土的動力響應問題是土動力學、水利工程、土木工程和地震工程等領(lǐng)域的重要研究課題.自Riot：建立飽和土的運動方程以來，Pau3：討論了飽和土的Lamb問題，Chen3：推導出了飽和土的Green函數(shù)，楊峻等用積分變換方法分析了軸對稱條件F彈性層和飽和土體系穩(wěn)態(tài)動力響應，以上他們都是研究軸對稱間題.張引科等和陸建飛等利用Zienkiewicz等提

7、出的簡化模型（忽略流體相對于土骨架運動的慣性項）對非對稱動力響應問題進行了研究，這種解適用于低頻振動.金波指：和Zeng等”分別在求解飽和土體上和土體內(nèi)圓板的軸對稱振動問題時，考慮了水相對于土骨架運動的慣性項.本文利用飽和土的動力基本方程Biot波動方程及積分變換方法求解了飽和土在非軸對稱荷載下考慮水相對于土骨架運動慣性項的穩(wěn)態(tài)動力響應問題，而且考慮了表面透水和不透水兩種邊界條件以及表面作用水平集中荷載、內(nèi)部作用水平集中荷載（圓形均布荷載）等多種荷載情況.Q3,=伊“一我式中：&=擇pjm必ibcu）p將盤（p6佝）（0。）0成尚=麗人+2“十Q+2點）。ft=畫（q+2“）由式（9）可得(9

8、)(10)(11)(12)(13)皿=品。，-s對式（7）進行m階的Hankel變換,可得到一個常微分方程，解此微分方程1控制方程及通解飽和土的本構(gòu)關(guān)系為%=血戶式中:i,j=r,Ef以拉為正；為體積應變;P為孔壓，以壓為正且孔壓的表達式為p=aMe+MS(1)p=”e個+慶一個4-CeW+Def(14)其中：由式（3）得:式中：壽+*第+票,.Wr,_1_3叫3叫r)rrr38dz/V2r+(義+“)其中，右、的分別為土骨架和流體相對于骨架的徑向、切向以及軸向位移.在非對稱情況下，柱坐標系下的飽和土體動力基本方程為網(wǎng),+（人+o2M+/）心+aMzu,./=pH,+P西+MiVj.y=Pji

9、i,+miv,+bw,(3)(4)drrrrlo/(p&pt)ur(a0)孕=0arVW+(A+“)+爵一號(吻_a制a?(ppt)u(a0)-i-=0AV2i+(義+)景+擇IP。位)孔(a)孕=0dZ根據(jù)Mukim的方法,則有(15)4-(16)(17)(7)(8)(18)a(r,0,z,t)=2amr,z,t)cosm0)式中、/為Lame常數(shù)為考慮兩相材料壓縮性的Biot參數(shù)止=爪5為孔隙水的動力粘滯系數(shù)涓為土體的動力滲透系數(shù)；p=”,+（l）R；S0分別為流體和土骨架的質(zhì)量密度式（3）和（4）即為非對稱情形的流固兩相介質(zhì)動力問題的控制方程,本文采用逐次解耦方法求解此方程.將式（2）代

10、入式（3）和（4）,可得匕.+（義+ap=pu.+Piiv,（5）p.,=P（u,+mib,+bzv.（6）把穩(wěn)態(tài)條件/=7e-代入式（5）和（6）,且約去因子ey得p.njj+2=0&,1泌一a)P“+8122“s(r,z,，)cosS。)yM（r,z,，）sinS。）m-0oey孔5（尸，z,）cos（m。）m-0EYem(r,z,/)cos(w)(r,z,Z)cos(w)事實上.根據(jù)文獻12,對于作用z方向的水平力的情形，式（18）中的、下只有一項m=l,因此在以張正林，等：非軸對稱荷載下考慮流體流速的他和土穩(wěn)態(tài)動力響應949后的公式中省略下標取式（18）中的第個分量，代入式（15）和（

11、16）,并把兩式相加后得/V2（w,+）+以+）（靠ye!-+wj)+2m(“，+如)+3pm子Pdrr(19)令并對式(19)進行”7+1階的Hankel變換.可得Id2a)f+i.Mp0佝)IdP-),+個一M(A+QEf(a：e十p(20)同理，有人+/de+。一。dpde/du-m-l|Jp2(。a)*M(0a)A0aa%*。2=將式(14)代入式(27),可得e=aAYaAz+6/4)ez*+aAY一aA2+M)e-y+(技彳一aA+e*+aAYl一aA2+M)e*=a/e個+axBey+a2Cex*+aDe(28)式中：ax=a/f那+b、a2=a/jaV+b將式(14)、(28)

12、代入式(20),可得=Ee*+d+；(29)式中：u；=jt|i4ex*+k2Ce*+k2De*k=山=41-/f2-/f同理，有=GeV+He+妃(30)us=Jez*+KeV+；(31)式中：u：=-kAe一知Be個-k2Cer-k2Dereu：=幻Ae個+幻Be*gCe%*+g?Defh、_“2另外，利用柱坐標系下的幾何和物理關(guān)系進行相應階數(shù)的Hankel變換，可得一女“，一io）-pdz（,_房T_心，一鼠尸7fxdz對式（9）進行m階Hankel變換，可得式中,%=&/(佝少2).將式(28)(31)代入式(32)(35),可得o；=2jw(Jeze/3KeSQ+ij.Aer+7；B

13、ey*+iCeW+1=尸廠七名)一(32)(33)(34)(35)(379田土+心Ce勺+qDcf(46)Bg）L.a|S.A=0b”|：=方一皿=0e+1十：財+os0Lihtr財|一財成(Jg+Kef+Me個一加氏一個4-一中Def(38)Sm“(Ge。Hef%)+/$(Jez3*+Ke_x3*)們月。個+-aCe勺+/Oe-W(39)wg=8(./e孚乙+Ke_xir/j)4-M/le。+Ce出一JDk*(40)式中：7i2g7】+Aaa勿=2g2,2+加2a%=席I+“gif,%=M2/2+法們=弓乃+g).&=a2+幻&同理.有芯=一0(EeV+Fe-V)+yAe牛+AtjBe_zi

14、*4-K2Bor2t+K2De*(45)wm=一8(Ger+He-V)+k3A!+式中:OS.n，0C.Q=兩7+8刈灼=泊+例2&3=；-01Kq=例1PW另外.將式（28）（&2）代入式（23）.且對于任意的都成立.故J=G)(47)K=-F)(48)由此可知,A、B、C、D、E、F、G、H共有8個未知函數(shù).2邊值問題的求解本文討論邊界完全透水條件和完全不透水兩種特殊情況.變換域內(nèi)的邊界完全透水條件和完全不透水條件分別為/|,_0=0,孳|=。（50）+%L-oJ+a|：-Q=Oj+z61x0JL-0=r）確定.由于式（50）所得出的任意函數(shù)B、D、F和H的表達式比較復雜.故本文不再列出.

15、圖1半空間飽和土表面受簡諧水平力作用Fig.1Thesurfaceofsaturatedsoilsubjecttoharmonichorizontalforceinside（2）半空間內(nèi)部作用水平力.以水平力所在的水平面為界面把半空間區(qū)域分為n和d2兩個區(qū)域（見圖2）.其中n厚度為h的有限區(qū)域，而d2則為無限區(qū)域.對于區(qū)域。：內(nèi)的任意函數(shù)A.B,.K用：.&,，來表示；由于為無限區(qū)域.根據(jù)無窮遠處正則條件.可以得出對應于D2內(nèi)的任意函數(shù)A=C=E=G=0.其他任意函數(shù)B、D、F和H用B，D2、F，和IV來表示.由此可得.對于圖2所示的問題有出.&，和BDFHZ共12個任意函數(shù)需要求解.因此.必

16、須相應地建立邊界條件和連續(xù)性條件來求上述12個未知任意函數(shù).利用邊界條件和連續(xù)性條件：7l.o=o（|t_o=o|bnc=0叫+atr+l0=0，Ur+U0liWr2可得任意函數(shù)4,8,.尸和BDF2JP.由于式（51）所得出的任意函數(shù)4,可，W和BDFLH，的表達式比較復雜.故本文不再列出.張正林，等：非軸對稱荷栽下考慮流體流速的飽和土穩(wěn)態(tài)動力響應實際上.通過符號運算軟件Maple不誰得出上述任意函數(shù).此外，式（50）和（51）中的兀當水平力大小為P的集中力時E取尸/山當水平力合力為P、且是在半徑為R在圓上的均勻分布的沿方向的分布載荷時，n取絲竺籍，其中A為均布圓形載荷作用面面積，S為Han

17、kel變換參數(shù).圖2半空間飽和土內(nèi)部受簡諧水平力作用Fig.2Theinsideofsaturatedsoilsubjecttoharmonichorizontalforceinside3數(shù)值解的實現(xiàn)以上求出的是積分形式的解.做相應的Hankel逆變換就能求解出應力、應變、位移和孔壓等，Han-kel逆變換的公式為=c/（）J,（cr）dc（52）0對式（52）積分，如果對于計算點和力的作用點的垂直距離較大，則積分收斂較快；如果計算點和力的作用點在同一水平面上或計算點和力的作用點的垂直距離很近，則積分收斂較慢.因此,采用歐拉變換來加速積分的收斂.式中的為階第1類貝塞爾函數(shù).設(shè)其零點為&,則式（

18、52）可表示為假定式中的每一項的絕對值為則式（53）的積分可表示為/（r）=“0以i+（1u,+（55）假設(shè)從每m項開始歐拉變換,則式（55）可表示為1=、匕+r1111（一1廣分七一2泰-+百工“*一（56）式中：95】皿=wm+)umS=Ji2j+i+un參考文獻：1BiotMA.Thetheoryofpropagationofelasticwavesinafluid-saturatedporoussolid.J.JAcoustSocAm.1956,28(2),168-191.2PaulS.Onthedisplacementsproducedinporouselastichalf-spac

19、ebyanimpulsivelineload(no-dissipativecase)J.PureApplGeophys.976】14(5)：605-614._3ChenJ.TimedomainfundamentalsolutiontoBiot*scompleteequationofdynamicporoelasticity.PartI:Two-dimensionalsolution.JIntJSolidStruct,1994,31:1447-1490.4 楊俊.吳世明，陳云敏.彈性層和飽和半空間體系穩(wěn)定動力響應J.土木工程學報，1997,30(3)：3947.YANGJun,WUShi-min

20、g.CHENYunmin.Steadystateresponseofelasticsoillayerandsaturatedlayeredhalf-space.J.ChinaCivilEngineeringJournal.1997,30(3):39-47.5 張引科，黃義.禪性飽和多孔介質(zhì)在非對稱荷載下的穩(wěn)態(tài)動力響應J.土木工程學報.2002,35(3):41一45.ZHANGYin-ke,HUANGYi.Steadydynamicresponseofelasticsaturatedporousmediumundernonoatisymmetricalload：J.ChinaCivilEngineeringJournal.2002.35(3):4145.6 陸建E,王建華.沈為平.半空間飽和土作用水平力的格林函數(shù)J.地震學報，200】，23(2)；185-191.LUJian-fei,WANGJianhua.SHENWei-ping.Thegreensfunctionoftheharmonichorizontalforceappliedtotheinteriorofthesaturatedhalf-space：J.ActaSeismologiesSinica.2001.23(2)：1