高等數(shù)學(xué)及其應(yīng)用電子教案（第二版）（同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系）ch(9)

1、編輯ppt第十二節(jié)第十二節(jié) 曲線的曲率曲線的曲率編輯ppt本節(jié)要點(diǎn)本節(jié)要點(diǎn) 本節(jié)引入平面曲線曲率的概念并給出相應(yīng)的計(jì)算方本節(jié)引入平面曲線曲率的概念并給出相應(yīng)的計(jì)算方一、平面曲線的曲率概念一、平面曲線的曲率概念二、曲率公式二、曲率公式法法.編輯pptM1 M2M3 在下圖中在下圖中, 我們看到弧段我們看到弧段 比較平坦比較平坦, 而弧段而弧段 12M M點(diǎn)點(diǎn) 再到點(diǎn)再到點(diǎn) 時(shí)時(shí), 切線所轉(zhuǎn)過(guò)的切線所轉(zhuǎn)過(guò)的2M3M一、平面曲線的曲率概念一、平面曲線的曲率概念23M M1M彎曲得比較比較厲害彎曲得比較比較厲害. 即動(dòng)點(diǎn)沿這段弧從點(diǎn)即動(dòng)點(diǎn)沿這段弧從點(diǎn) 到到角有較大的差異角有較大的差異.編輯ppt 但是

2、但是, 轉(zhuǎn)角的大小還不能完全反映曲線的彎曲程度轉(zhuǎn)角的大小還不能完全反映曲線的彎曲程度.例如在下圖中例如在下圖中, 兩段弧兩段弧 與與 有相同的切線轉(zhuǎn)有相同的切線轉(zhuǎn)12M M12M M角角, 但曲線的彎曲程度則是不同的但曲線的彎曲程度則是不同的.編輯ppt則則 的弧長(zhǎng)為的弧長(zhǎng)為 , MM 設(shè)平面曲線設(shè)平面曲線 是光滑的是光滑的, 在在 上取一點(diǎn)上取一點(diǎn) 作為度量弧作為度量弧CC0M度的基點(diǎn)度的基點(diǎn), 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) 是曲線上任意一點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn), 弧弧 的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng)0M MM為為 點(diǎn)點(diǎn) 是曲線是曲線 上的另外一點(diǎn)上的另外一點(diǎn), 弧弧 的弧長(zhǎng)為的弧長(zhǎng)為0M M, sMC點(diǎn)點(diǎn) 處切線的傾處切線的傾,s

3、s M角為角為 處切線的傾角為處切線的傾角為 ,MMMxyO s, s切線的轉(zhuǎn)角為切線的轉(zhuǎn)角為編輯ppt稱稱 為弧段為弧段 的的平均曲率平均曲率, 記為記為 即即sMM,K.Ks若當(dāng)若當(dāng) 時(shí)時(shí), 平均曲率的極限存在平均曲率的極限存在, 則稱此極限為則稱此極限為0s lim.MMKs（2.29）曲線曲線 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的處的曲率曲率, 記為記為 即即,KMC編輯ppt0,Ks從而曲率從而曲率lim0.MMKs即即: 直線上任意點(diǎn)處的曲率為零直線上任意點(diǎn)處的曲率為零.例如例如 對(duì)直線而言對(duì)直線而言, 動(dòng)點(diǎn)從動(dòng)點(diǎn)從 到到 相應(yīng)的切線的轉(zhuǎn)角相應(yīng)的切線的轉(zhuǎn)角MM0,為為 則則編輯pptsR1,KsR1li

4、m.MMKsR因而因而, 此說(shuō)明此說(shuō)明圓周上每一點(diǎn)的曲率相同圓周上每一點(diǎn)的曲率相同,再例再例 設(shè)曲線是半徑為設(shè)曲線是半徑為 的圓的圓, R率為率為且等于半徑的倒數(shù)且等于半徑的倒數(shù).,sR 則則 平均曲平均曲編輯ppt二、曲率公式二、曲率公式 設(shè)曲線的直角坐標(biāo)方程為設(shè)曲線的直角坐標(biāo)方程為 ,yf x在曲線上取定點(diǎn)在曲線上取定點(diǎn) 作為度量弧長(zhǎng)的基點(diǎn)作為度量弧長(zhǎng)的基點(diǎn), 并并000,Mxy設(shè)曲線在區(qū)間設(shè)曲線在區(qū)間 上對(duì)應(yīng)的一段弧長(zhǎng)為上對(duì)應(yīng)的一段弧長(zhǎng)為0,x x ,s x曲線上的點(diǎn)曲線上的點(diǎn) 與與,M x y,Mxx yy ,ss xxs x MMxyO sab yf x一段弧長(zhǎng)為一段弧長(zhǎng)為且有二階導(dǎo)

5、數(shù)且有二階導(dǎo)數(shù), 曲線曲線之間的之間的編輯ppt而線段而線段 的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為MM22,MMxy 并注意到并注意到0lim1,xsMM 因因22000limlimlimxxxxyss MMxMMxx 21,y編輯ppt又因又因, 即即tan, arctan,yy從而從而由此即得由此即得 0limlimMMxKss 即即2d1.dsyx（2.30）20lim,1xydxdxy （2.31）編輯ppt3/ 202= lim.1xyxsyx （2.32）編輯ppt , ,xttyt 其中其中: ,x ty t若曲線若曲線 由參數(shù)方程由參數(shù)方程C 22.ttttKtt二階可導(dǎo)二階可導(dǎo), 且有且有220

6、,xy則則 編輯ppt例例2.82 求求lnyx解解 因因 211,yyxx 由計(jì)算公式得曲線在任一點(diǎn)處的曲率為由計(jì)算公式得曲線在任一點(diǎn)處的曲率為23/23/23/22221/,11 1/1yxxKyxx注意到注意到 0lim0,lim0,xxK xK x在任意點(diǎn)處的曲率在任意點(diǎn)處的曲率.此說(shuō)明當(dāng)此說(shuō)明當(dāng)編輯ppt 或或 曲線就越平坦曲線就越平坦.0 xx 12345-4-3-2-11編輯ppt例例2.83 計(jì)算拋物線計(jì)算拋物線2yaxbxc解解 因因 代入公式代入公式得得2,2 .yaxb ya3/222,12aKaxb由于在上式中由于在上式中, 分子為常數(shù)分子為常數(shù), 故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)時(shí), 曲

7、率曲率20axb達(dá)到最大達(dá)到最大, 即當(dāng)即當(dāng) 曲率取最大值曲率取最大值, 此時(shí)此時(shí), 對(duì)對(duì)K/2xba 的曲率的曲率, 并求出曲率最大處的位置并求出曲率最大處的位置.應(yīng)曲線上的點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)應(yīng)曲線上的點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn).上任意一點(diǎn)處上任意一點(diǎn)處編輯ppt 曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑 設(shè)曲線設(shè)曲線 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的曲率為處的曲率為 作出作出C,M x y0 ,K K 點(diǎn)點(diǎn) 處曲線處曲線 的法線的法線, 并且在曲線凹向一側(cè)的法線上取并且在曲線凹向一側(cè)的法線上取MC點(diǎn)點(diǎn) 使使,D1.MDKxyoD1K 以以 為圓心為圓心, 為半徑作圓為半徑作圓,D稱該圓為曲線稱該圓為曲線 在點(diǎn)在點(diǎn) 的的曲率曲率

8、CM圓圓, 為曲線為曲線 在在 處的曲率處的曲率 DCM編輯ppt中心中心, 半徑半徑 稱為曲線稱為曲線 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的處的曲率半徑曲率半徑.CM 由定義可知由定義可知, 曲線曲線 在點(diǎn)在點(diǎn) 處與其曲率圓有相同的切處與其曲率圓有相同的切CM線與曲率線與曲率, 并且在點(diǎn)并且在點(diǎn) 的鄰近處有相同的凹向的鄰近處有相同的凹向.M編輯ppt例例2.84 （物體作平面曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的向心力）（物體作平面曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的向心力） 某游藝園的空中游藝車沿拋物線路徑某游藝園的空中游藝車沿拋物線路徑2100 xy （ 軸軸y鉛直向上鉛直向上, 單位為單位為 ）作俯沖運(yùn)動(dòng)）作俯沖運(yùn)動(dòng), 在坐標(biāo)原點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) 處游處

9、游mO藝車的速度為藝車的速度為20m/s.v 如果一乘客質(zhì)量如果一乘客質(zhì)量 求當(dāng)求當(dāng)70kg,游藝車沖至最低點(diǎn)即原點(diǎn)游藝車沖至最低點(diǎn)即原點(diǎn) 處時(shí)處時(shí), 坐椅對(duì)該乘客的壓力坐椅對(duì)該乘客的壓力.O解解 由物理學(xué)知識(shí)知由物理學(xué)知識(shí)知: 物體作圓周轉(zhuǎn)動(dòng)所受到的向心力物體作圓周轉(zhuǎn)動(dòng)所受到的向心力為為2,vMR其中其中 是物體的質(zhì)量是物體的質(zhì)量, 是線速率是線速率, 為轉(zhuǎn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)MvR半徑半徑, 由此可知由此可知, 當(dāng)物體作一般的平面曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)當(dāng)物體作一般的平面曲線運(yùn)動(dòng)時(shí), 在某在某編輯ppt點(diǎn)所受到的向心力的大小為點(diǎn)所受到的向心力的大小為22.vMMv K這里這里 為為曲線在該點(diǎn)的曲率半徑曲線在該點(diǎn)的曲率半徑, 為曲率為曲率.K 在原點(diǎn)在原點(diǎn) 處座椅對(duì)乘客的壓力處座椅對(duì)乘客的壓力 是乘客所受