高等數(shù)學D1_1映射與函數(shù) 極限

1、第一章分析基礎(chǔ)分析基礎(chǔ) 函數(shù)函數(shù) 極限極限 連續(xù)連續(xù) 研究對象 研究方法 研究橋梁函數(shù)與極限 第一章 二、映射二、映射 三、函數(shù)三、函數(shù) 一、集合一、集合第一節(jié)映射與函數(shù)元素 a 屬于集合 M , 記作元素 a 不屬于集合 M , 記作一、一、 集合集合1. 定義及表示法定義及表示法定義定義 1. 具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合集合.組成集合的事物稱為元素元素.不含任何元素的集合稱為空集空集 , 記作 . Ma( 或Ma) .Ma注注: M 為數(shù)集 *M表示 M 中排除 0 的集 ;M表示 M 中排除 0 與負數(shù)的集 .簡稱集集簡稱元元表示法表示法：(1) 列舉法：按某種方式列出集合中的

2、全體元素 .例例: 有限集合naaaA,21niia1自然數(shù)集,2,1,0nNn(2) 描述法： xM x 所具有的特征例例: 整數(shù)集合 ZxNx或Nx有理數(shù)集qpQ,NZ qp p 與 q 互質(zhì)實數(shù)集合 Rx x 為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)間 ),(xbabxa閉區(qū)間 ,xbabxa)(aa ),(xaU ),xbabxa ,(xbabxa無限區(qū)間 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx點的 鄰域鄰域a ),(xaUaxa xaxax0其中, a 稱為鄰域中心 , 稱為鄰域半徑 .半開區(qū)間去心 鄰域鄰域左左 鄰域鄰域 :, ),(aa右右 鄰域鄰域 :. ),(aa是 B 的子集子集 , 或稱

3、 B 包含 A ,2. 集合之間的關(guān)系及運算集合之間的關(guān)系及運算定義定義2 .則稱 A.BA若BA,AB 且則稱 A 與 B 相等相等,.BA 例如,ZNQZRQ顯然有下列關(guān)系 :;) 1 (AA;AA BA)2(CB 且CA,A若Ax,Bx設(shè)有集合,BA記作記作必有OyxAcABB定義定義 3 . 給定兩個集合 A, B, 并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且定義下列運算:ABBA余集)(ABBABcA其中直積 ),(yxBA,AxBy特例:RR記2R為平面上的全體點集ABABBABABx或二、二、 映射映射某校學生的集合某校學生的集合 學號的集合學號的集合 按一定規(guī)

4、則查號某班學生的集合某班學生的集合 某教室座位某教室座位 的集合的集合按一定規(guī)則入座引例引例1. 引例引例2.xxysinRxRy引例引例3.Oxy1QP1),(22yxyxC11), 0(yyY(點集)(點集)CP點向 y 軸投影YQ投影點xysinxy Oxy1x2xxxysin定義定義4.設(shè) X , Y 是兩個非空集合, 若存在一個對應規(guī)則 f , 使得,Xx有唯一確定的Yy與之對應, 則稱 f 為從 X 到 Y 的映射映射, 記作.:YXf元素 y 稱為元素 x 在映射 f 下的像像, 記作).(xfy 元素 x 稱為元素 y 在映射 f 下的原像原像 . 集合 X 稱為映射 f 的定

5、義域定義域 ; Y 的子集)(XfRfXxxf)(稱為 f 的 值域值域 . 注意注意: 1) 映射的三要素 定義域 , 對應規(guī)則, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一. XYfxy對映射YXf:若YXf)(, 則稱 f 為滿射滿射; XYf)(Xf若,2121xxXxx有 )()(21xfxf則稱 f 為單射單射;若 f 既是滿射又是單射, 則稱 f 為雙射雙射 或一一映射一一映射. XY)(Xff例例1.三角形)(三角形集合海倫公式bcaS面積),0(例例2. 如圖所示,SxyOxyex),0 x對應陰影部分的面積),0S則在數(shù)集),0自身之間定義了一種

6、映射(滿射滿射) 例例3. f:RR, f(x)=x2(滿射滿射) (既不是滿射也不是單射既不是滿射也不是單射) X (數(shù)集 或點集 ) 說明說明:在不同數(shù)學分支中有不同的慣用 X ( ) Y (數(shù)集)f f 稱為X 上的泛函X ( ) X f f 稱為X 上的變換 R f f 稱為定義在 X 上的函數(shù)映射又稱為算子. 名稱. 例如, 定義域三、函數(shù)三、函數(shù)1. 函數(shù)的概念函數(shù)的概念 定義定義5. 設(shè)數(shù)集,RD則稱映射RDf :為定義在D 上的函數(shù) , 記為Dxxfy, )(稱為值域 函數(shù)圖形函數(shù)圖形: ),(yxC Dx, )(xfy )(DfD自變量因變量xy) ,(baDabxyODxx

7、fyyDfRf),()(DxfDxxfyyDfRyf),()(對應規(guī)則)(值域)(定義域)例如, 反正弦主值xxfyarcsin)(, 1, 1D,)(22Df 定義域定義域 對應規(guī)律對應規(guī)律的表示方法: 解析法、圖像法、列表法使表達式或?qū)嶋H問題有意義的自變量集合.定義域值域 xxf)(又如, 絕對值函數(shù)xyOxy 0,xx0,xx定義域RD值 域),0)(Df對無實際背景的函數(shù), 書寫時可以省略定義域.對實際問題, 書寫函數(shù)時必須寫出定義域；Oy211x2例例4. 已知函數(shù) 1,110,2)(xxxxxfy解解:)(21f及. )(1tf寫出 f (x) 的定義域及值域, 并求f (x) 的

8、定義域 ),0D值域 ),0)(Df21212)(f2)(1tf10t,11t1t,2txyOxy2xy112. 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù), )(Dxxfy且有區(qū)間.DI (1) 有界性有界性,Dx,0M使,)(Mxf稱 )(xf, Ix,0M使,)(Mxf稱 )(xf說明說明: 還可定義有上界、有下界、無界 .(2) 單調(diào)性單調(diào)性為有界函數(shù).在 I 上有界. ,Dx使若對任意正數(shù) M , 均存在 ,)(Mxf則稱 f ( x ) 無界無界.稱 為有上界有上界稱 為有下界有下界,)(,Mxf),(,xfM 當時，2121,xxIxx, )()(21xfxf若稱 )(xf為 I 上的,

9、 )()(21xfxf若稱 )(xf為 I 上的單調(diào)增函數(shù) ;單調(diào)減函數(shù) .1x2xxyO(3) 奇偶性奇偶性,Dx且有,Dx若, )()(xfxf則稱 f (x) 為偶函數(shù);若, )()(xfxf則稱 f (x) 為奇函數(shù). 說明說明: 若)(xf在 x = 0 有定義 ,. 0)0(f)(xf為奇函數(shù)奇函數(shù)時,xyOxx則當必有例如,2ee)(xxxfyxch 偶函數(shù)xyOxexexych雙曲余弦 記又如,奇函數(shù)xsh雙曲正弦 記再如,xxychsh奇函數(shù)xth雙曲正切 記Oyx11xythxyOxexexysh2ee)(xxxfyxxxxeeee(4) 周期性周期性,0,lDx且,Dlx

10、)()(xflxf則稱)(xf為周期函數(shù) ,xO2y2若稱 l 為周期 ( 一般指最小正周期 ).周期為 周期為2注注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .例如, 常量函數(shù)Cxf)(狄利克雷函數(shù))(xfx 為有理數(shù)x 為無理數(shù), 1,0t)(tf22O3. 反函數(shù)與復合函數(shù)反函數(shù)與復合函數(shù)(1) 反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù))(:DfDf為單射, 則存在一新映射習慣上,Dxxfy, )(的反函數(shù)記成)(,)(1Dfxxfy稱此映射1f為 f 的反函數(shù) ., 其反函數(shù)(減)(減) .1) yf (x) 單調(diào)遞增,)(1存在xfy且也單調(diào)遞增 性質(zhì): ,)(:1DDff使,)(, )(1xyfDfy其中

11、,)(yxf2) 函數(shù))(xfy 與其反函數(shù))(1xfy的圖形關(guān)于直線xy 對稱 .例如 ,),(,exyx對數(shù)函數(shù)),0(,lnxxy互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增, 其圖形關(guān)于直線xy 對稱 .指數(shù)函數(shù)xyO)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baPgR(2) 復合函數(shù) fDuufy),(,),(DxxgufgDR 且則Dxxgfy, )(設(shè)有函數(shù)鏈稱為由, 確定的復合函數(shù) , u 稱為中間變量. 注意: 構(gòu)成復合函數(shù)的條件 fgDR 不可少. 例如, 函數(shù)鏈 :,arcsinuy ,cosxu ,cosarcsinxy xR但可定義復合函數(shù)21xu時, 雖不能在自然域 R下構(gòu)成

12、復合函數(shù),可定義復合函數(shù) 1, 1, )1arcsin(2xxy當改DgfDfyux兩個以上函數(shù)也可構(gòu)成復合函數(shù). 例如, 0,uuy可定義復合函數(shù):,2cotxy ,) 12( ,2(kkxZk02cot,22xkxk時),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv約定約定: 為簡單計, 書寫復合函數(shù)時不一定寫出其定義域, 默認對應的函數(shù)鏈順次滿足構(gòu)成復合函數(shù)的條件.4. 初等函數(shù)初等函數(shù)(1) 基本初等函數(shù)冪函數(shù)、 指數(shù)函數(shù)、 對數(shù)函數(shù)、 三角函數(shù)、 反三角函數(shù)(2) 初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù) . 例如 ,2xy y0,xx0,xx并可用一個式子表示的函數(shù) ,

13、經(jīng)過有限次四則運算和復合步驟所構(gòu)成 ,稱為初等函數(shù) .可表為故為初等函數(shù).又如 , 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù) .( 自學, P17 P20 )非初等函數(shù)舉例:符號函數(shù)xysgn當 x 0,1當 x = 0,0當 x 0,1xyO11取整函數(shù)xy 當Znnxn,1,nxyO412321 設(shè)函數(shù),1,1,13)(xxxxxf)(xff1)(,1)(3xfxf x 換為 f (x)1)(, )(xfxf0 x0,49xx1) 13(3x10,13xx1,xx例例5.)(xff求解解: 例例6. 求y的反函數(shù)及其定義域.解解:01x當時,2xy 則1,0(,yyx10 x當時,xyln則0,(

14、,eyxy21 x當時,1e2xy則e2,2(,ln12yxy反函數(shù)y1,0(,xx0,(,exxe2,2(,ln12xx定義域為e2,2(1,(21,e210 ,ln01, 12xxxxxx212e211, 1,0(, 0,(, e2,2(yOx內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 集合及映射的概念定義域?qū)?guī)律3. 函數(shù)的特性有界性, 單調(diào)性,奇偶性, 周期性4. 初等函數(shù)的結(jié)構(gòu) 作業(yè)作業(yè) P21 4(5); 7(1); 9(2); 10(3)(4)(5); 12(3); 15(2) 2. 函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素且0)0(f,)()(1xcxfbxfa,ba 證明)(xf證證: 令,1xt 則,1tx t ctfbfat)()(1由xcxfbxfa)()(1xcxfbfax)()(1消去),(1xf得)0()(22xxax