誤差的基本概念

1、實驗一 誤差的基本概念一、實驗?zāi)康耐ㄟ^實驗了解誤差的定義及表示法、熟悉誤差的來源、誤差分類以及有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運算。二、實驗原理1、誤差的基本概念所謂誤差就是測量值與真實值之間的差，可以用下式表示誤差=測得值-真值（一） 絕對誤差某量值的測得值和真值之差為絕對誤差，通常簡稱為誤差。絕對誤差=測得值-真值（二） 相對誤差絕對誤差與被測量的真值之比稱為相對誤差，因測得值與真值接近，故也可以近似用絕對誤差與測得值之比值作為相對誤差。相對誤差=絕對誤差/真值絕對誤差/測得值（三） 引用誤差所謂引用誤差指的是一種簡化和使用方便的儀器儀表表示值的相對誤差，它以儀器儀表某一刻度點的示值誤差為分子，以測量范圍上

2、限值或全量程為分母，所得的比值稱為引用誤差。引用誤差=示值誤差/測量范圍上限2、精度反映測量結(jié)果與真值接近程度的量，稱為精度，它與誤差大小相對應(yīng)，因此可以用誤差大小來表示精度的高低，誤差小則精度高，誤差大則精度低。精度可分準(zhǔn)確度 它反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響程度精密度 它反映測量結(jié)果中隨機(jī)誤差的影響程度精確度 它反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差綜合的影響程度，其定量特征可以用測量的不確定度來表示。3、有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運算含有誤差的任何近似數(shù)，如果其絕對誤差界是最末位數(shù)的半個單位，那么從這個近似數(shù)左方起的第一個非零的數(shù)字，稱為第一位有效數(shù)字。從第一位有效數(shù)字起到最末一位數(shù)字止的所有數(shù)字，不論是零

3、或非零的數(shù)字，都叫有效數(shù)字。數(shù)字舍入規(guī)則如下：若舍入部分的數(shù)值，大于保留部分的末位的半個單位，則末位加1。若舍去部分的數(shù)值，小于保留部分的末位的半個單位，則末位不變。若舍去部分的數(shù)值，等于保留部分的末位的半個單位，則末位湊成偶數(shù)。即當(dāng)末位為偶數(shù)時則末位不變，當(dāng)末位為奇數(shù)時則末位加1。三、實驗內(nèi)容1、用自己熟悉的語言編程實現(xiàn)對絕對誤差和相對誤差的求解。2、按照數(shù)字舍入規(guī)則，用自己熟悉的語言編程實現(xiàn)對下面數(shù)據(jù)保留四位有效數(shù)字進(jìn)行湊整。原有數(shù)據(jù)3.141592.717294.510503.215516.37750舍入后數(shù)據(jù)四、實驗報告運行編制的程序，分析運行結(jié)果，并寫出實驗報告。實驗二 誤差的基本性

4、質(zhì)與處理一、實驗?zāi)康牧私庹`差的基本性質(zhì)以及處理方法二、實驗原理（1）正態(tài)分布設(shè)被測量的真值為，一系列測量值為，則測量列中的隨機(jī)誤差為=- （2-1）式中i=1，2，.n.正態(tài)分布的分布密度 （2-2）正態(tài)分布的分布函數(shù)（2-3）式中-標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差）；它的數(shù)學(xué)期望為 （2-4）它的方差為 （2-5）（2）算術(shù)平均值對某一量進(jìn)行一系列等精度測量，由于存在隨機(jī)誤差，其測得值皆不相同，應(yīng)以全部測得值的算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。1、算術(shù)平均值的意義在系列測量中，被測量所得的值的代數(shù)和除以n而得的值成為算術(shù)平均值。設(shè) ，,為n次測量所得的值，則算術(shù)平均值 算術(shù)平均值與真值最為接近，由概率論大數(shù)

5、定律可知，若測量次數(shù)無限增加，則算術(shù)平均值必然趨近于真值。-第個測量值，=的殘余誤差（簡稱殘差）2、算術(shù)平均值的計算校核算術(shù)平均值及其殘余誤差的計算是否正確，可用求得的殘余誤差代數(shù)和性質(zhì)來校核。殘余誤差代數(shù)和為：當(dāng)為未經(jīng)湊整的準(zhǔn)確數(shù)時，則有1）殘余誤差代數(shù)和應(yīng)符合：當(dāng)=，求得的為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時，為零；當(dāng)，求得的為湊整的非準(zhǔn)確數(shù)時，為正；其大小為求時的余數(shù)。當(dāng)，求得的為湊整的非準(zhǔn)確數(shù)時，為負(fù)；其大小為求時的虧數(shù)。2）殘余誤差代數(shù)和絕對值應(yīng)符合：當(dāng)n為偶數(shù)時，A;當(dāng)n為奇數(shù)時，式中A為實際求得的算術(shù)平均值末位數(shù)的一個單位。（3）測量的標(biāo)準(zhǔn)差測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差稱為標(biāo)準(zhǔn)差，也可以稱之為均方根誤差。1、測

6、量列中單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差式中 測量次數(shù)（應(yīng)充分大）測得值與被測量值的真值之差2、測量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差3、標(biāo)準(zhǔn)差的其他計算法1 別捷爾斯法三、實驗內(nèi)容：1對某一軸徑等精度測量8次，得到下表數(shù)據(jù)，求測量結(jié)果。序號1234567824.67424.67524.67324.67624.67124.67824.67224.674假定該測量列不存在固定的系統(tǒng)誤差，則可按下列步驟求測量結(jié)果。1、 算術(shù)平均值2、求殘余誤差3、校核算術(shù)平均值及其殘余誤差4、判斷系統(tǒng)誤差5、求測量列單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差6、判別粗大誤差7、求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差8、求算術(shù)平均值的極限誤差9、寫出最后測量結(jié)果四、實驗報告運行編制的程序，

7、分析運行結(jié)果，并寫出實驗報告。實驗三 誤差的合成與分配一、實驗?zāi)康耐ㄟ^實驗掌握誤差合成與分配的基本規(guī)律和基本方法。二、實驗原理（1）誤差合成間接測量是通過直接測量與被測的量之間有一定函數(shù)關(guān)系的其他量，按照已知的函數(shù)關(guān)系式計算出被測的量。因此間接測量的量是直接測量所得到的各個測量值的函數(shù)，而間接測量誤差則是各個直接測得值誤差的函數(shù)，這種誤差為函數(shù)誤差。研究函數(shù)誤差的內(nèi)容實質(zhì)上就是研究誤差的傳遞問題，而對于這種具有確定關(guān)系的誤差計算，稱為誤差合成。 隨機(jī)誤差的合成隨機(jī)誤差具有隨機(jī)性，其取值是不可預(yù)知的，并用測量的標(biāo)準(zhǔn)差或極限誤差來表征其取值的分散程度。1 標(biāo)準(zhǔn)差的合成若有q個單項隨機(jī)誤差，他們的標(biāo)

8、準(zhǔn)差分別為，其相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為，。根據(jù)方和根的運算方法，各個標(biāo)準(zhǔn)差合成后的總標(biāo)準(zhǔn)差為一般情況下各個誤差互不相關(guān)，相關(guān)系數(shù)=0，則有2 極限誤差的合成在測量實踐中，各個單項隨機(jī)誤差和測量結(jié)果的總誤差也常以極限誤差的形式來表示，因此極限誤差的合成也很常見。若已知個單項極限誤差為，且置信概率相同，則按方和根合成的總極限誤差為 系統(tǒng)誤差的合成系統(tǒng)誤差的大小是評定測量準(zhǔn)確度高低的標(biāo)志，系統(tǒng)誤差越大，準(zhǔn)確度越低；反之，準(zhǔn)確度越高。1、 已定系統(tǒng)誤差的合成已定系統(tǒng)誤差是指誤差大小和方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差。在測量過程中，若有r個單項已定系統(tǒng)誤差，其誤差值分別為，相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為，則代數(shù)和法進(jìn)行合

9、成，求得總的已定系統(tǒng)誤差為：2、 未定系統(tǒng)誤差的合成標(biāo)準(zhǔn)差的合成：若測量過程中有s個單項未定系統(tǒng)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為其相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為則合成后未定系統(tǒng)誤差的總標(biāo)準(zhǔn)差為當(dāng)=0，則有極限誤差的合成因為各個單項未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為 =1，2，s總的未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為則可得當(dāng)各個單項未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且=0，則有 系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成當(dāng)測量過程中存在各種不同性質(zhì)的多項系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差，應(yīng)將其進(jìn)行綜合，以求得最后測量結(jié)果的總誤差。1、 按極限誤差合成若測量過程中有r個單項已定系統(tǒng)誤差，s個單項未定系統(tǒng)誤差，q個單項隨機(jī)誤差，他們的誤差值或極限誤差分別為，設(shè)各個誤差傳遞系

10、數(shù)均為1，則測量結(jié)果總的極限誤差為R各個誤差間協(xié)方差之和當(dāng)各個誤差均服從正態(tài)分布，且各個誤差間互不相關(guān)時，上式可簡化為系統(tǒng)誤差經(jīng)修正后，測量結(jié)果總的極限誤差就是總的未定系統(tǒng)誤差與總的隨機(jī)誤差的均方根2、 按標(biāo)準(zhǔn)差合成用標(biāo)準(zhǔn)差來表示系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成公式，只需考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成問題。若測量過程中有s個單項未定系統(tǒng)誤差，q個單項隨機(jī)誤差，他們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為為計算方便，設(shè)各個誤差傳遞系數(shù)均為1，則測量結(jié)果總的標(biāo)準(zhǔn)差為式中R為各個誤差間協(xié)方差之和，當(dāng)合格誤差間互不相關(guān)時，上式可簡化為對于n次重復(fù)測量，測量結(jié)果平均值的總標(biāo)準(zhǔn)差公式則為（2）誤差分配測量過程皆包含多項誤差，而測量結(jié)果的

11、總誤差則由各單項誤差的綜合影響所確定。給定測量結(jié)果總誤差的允差，要求確定各單項誤差就是誤差分配問題。1、現(xiàn)設(shè)各誤差因素皆為隨機(jī)誤差，且互不相關(guān)，則有=函數(shù)的部分誤差。若已給定，需確定或相應(yīng)，使?jié)M足式中可以是任意值，為不確定解，需按下列步驟求解。 按等作用原則 按可能性調(diào)整誤差 驗算調(diào)整后的總誤差三、實驗內(nèi)容1、弓高弦長法簡介測量大直徑。直接測得弓高h(yuǎn)、弦長s，根據(jù)h，s間的函數(shù)關(guān)系利用熟悉的語言編程求解出直徑D，以及直徑的系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和所求直徑的最后結(jié)果。=50mm,=-0.1mm, 0.05=500mm, =1mm, =0.1四、實驗報告運行編制的程序，分析運行結(jié)果，并寫出實驗報告。實

12、驗四 回歸分析一、實驗?zāi)康幕貧w分析是數(shù)理統(tǒng)計中的一個重要分支，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用。通過本次實驗要求掌握一元線性回歸和一元非線性回歸。二、實驗原理回歸分析是處理變量之間相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)理統(tǒng)計方法。即用應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法，對大量的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，從而得出比較符合事物內(nèi)部規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。1、一元線形回歸方程a、回歸方程的求法其中 ，b、回歸方程的穩(wěn)定性回歸方程的穩(wěn)定性是指回歸值的波動大小。波動愈小，回歸方程的穩(wěn)定性愈好。2、回歸方程的方差分析及顯著性檢驗（1）回歸問題的方差分析觀測值之間的差異，是由兩個方面原因引起的：自變量x取值的不同；其他因素（包括試驗誤差）的影響。N個觀測值

13、之間的變差，可用觀測值y與其算術(shù)平均值的離差平方和來表示，稱為總的離差平方和。記作稱為回歸平方和，它反映了在y總的變差中由于x和y的線性關(guān)系而引起變化的部分。成為殘余平方和，既所有觀測點距回歸直線的殘余誤差平方和。它是除了x對y的線性影響之外的一切因素對y的變差作用。（2）回歸方程顯著性檢驗回歸方程顯著性檢驗通常采用F檢驗法。1、 重復(fù)實驗的情況為了檢驗一個回歸方程擬合得好壞，可以做重復(fù)實驗，從而獲得誤差平方和和失擬平方和，用誤差平方和對失擬平方和進(jìn)行F檢驗，就可以確定回歸方程擬合得好壞。三、實驗內(nèi)容采用回歸分析算法用matlab編程實現(xiàn)下列題目的要求。1、材料的抗剪強(qiáng)度與材料承受的正應(yīng)力有關(guān)

14、。對某種材料實驗數(shù)據(jù)如下：正應(yīng)力x/pa26.825.428.923.627.723.924.728.126.927.422.625.6抗剪強(qiáng)度y/pa26.527.324.227.123.625.926.322.521.721.425.824.9假設(shè)正應(yīng)力的數(shù)值是精確的，求減抗強(qiáng)度與正應(yīng)力之間的線性回歸方程。當(dāng)正應(yīng)力為24.5pa時，抗剪強(qiáng)度的估計值是多少？2、在制定公差標(biāo)準(zhǔn)時，必須掌握加工的極限誤差隨工件尺寸變化的規(guī)律。例如，對用普通車床切削外圓進(jìn)行了大量實驗，得到加工極限誤差與工件直徑D的統(tǒng)計資料如下：D/mm51050100150200250300350400/m8111923272932333537求極限誤差與工件直徑D0關(guān)系的經(jīng)驗公式？3、在4種不同溫度下觀測某化學(xué)反應(yīng)生成物含量的百分?jǐn)?shù)，每種在同一溫度下重復(fù)觀測3次，數(shù)據(jù)如下：溫度x/150200250300生成物含量的百分?jǐn)?shù)y77.476.778.284.184.583.788.989.289.794.894.795.9求y對x的線性回歸方程，并進(jìn)行方差分析和顯著性檢驗。4、用x光機(jī)檢查鎂合金鑄件內(nèi)部缺陷時，為了獲得最佳的靈敏度，透視電壓y應(yīng)隨透視件的厚度x而改變，經(jīng)實驗獲得下表所示一組數(shù)據(jù)，假設(shè)透視件的厚度x無誤差，試求透視電壓y隨厚度x變化的經(jīng)驗