電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答5

1、第五章 電磁波的輻射1. 若把麥克斯韋方程租的所有矢量都分解為無(wú)旋的（縱場(chǎng)）和無(wú)散的（橫場(chǎng)）兩部分，寫 出E和B的這兩部分在真空中所滿足的方程式，并證明電場(chǎng)的無(wú)旋部分對(duì)應(yīng)于庫(kù)侖場(chǎng)。解：真空中的麥克斯韋方程組為E B/ t ，( 1)E / 0 ，( 2)B 0J 0 0 E / t ，(3)B 0（ 4）如果把方程組中所有矢量都分解為無(wú)旋的縱場(chǎng)和無(wú)散的橫場(chǎng)，并分別用角標(biāo)L和T表示,則：由于 B 0 ，所以 B 本身就是無(wú)散場(chǎng)，沒(méi)有縱場(chǎng)分量，即E E LET，E L0，J J LJT，JL0，由（ 1 ）得：(ELET)ET由（ 2 ）得：(ELET)由（ 3 ）得：BT0 (J L JT)(

2、0J L00由電荷守恒定律J/ t 得：又因?yàn)镴 L0(0E L /JL0 E L /t（7）式簡(jiǎn)化為BT0 JT所以麥克斯韋方程租的新表示方法為：BL 0， BBT ；ET 0；JT0；BT / tEL/000(EL EL) /tEL/t) ( 0J T00ET/t)JL/t(0EL/ t)t)，所以 J L0 E L/t，即000 E T / tETBT / tBT0JT0 0 ET / tEL/0BL 0JL0EL / t0由EL 0引入標(biāo)勢(shì)， E L，代入 E L/ 0 得，205）（6）7）（8）（9）10）上式的解就是靜止電荷在真空中產(chǎn)生的電勢(shì)分布，2. 證明在線性各向同性均勻非導(dǎo)

3、電介質(zhì)中， 若所以 EL 對(duì)應(yīng)靜止電荷產(chǎn)生的庫(kù)侖場(chǎng)。0，J 0 ,則E和B可完全由矢勢(shì)A決定。若取 0 ，這時(shí) A 滿足哪兩個(gè)方程解：在線性各向同性均勻非導(dǎo)電介質(zhì)中，若0 ， J 0 ，則麥?zhǔn)戏匠瘫硎緸椋海?）2）3）4）E B/ tH D/ tD0B0其中，D I , H B/ ,由于(4)式，弓I入矢勢(shì)A,使BA(5)即B可:兀全由矢勢(shì)A決疋。將(5)代入(1),得：(E A/ t)0 ,(6)由此引入標(biāo)勢(shì),使 EA/t,即EA/ t(7)將(7)式代入(3)得：2/ t( A)0(8)所以，可由A決定，進(jìn)而，E也可完全由矢勢(shì) A決定。如果取0,由(8)式得：A 0(9)將(5)、(7)代

4、入(2),并注意到0,得：2 2A CA2 0(10)(9)、( 10)即為0時(shí)A滿足的兩個(gè)方程。3.證明沿Z軸方向傳播的平面電磁波可用矢勢(shì)A()表示，其中tZ軸方向。證：平面電磁波在沒(méi)有電荷分布的空間中傳播，t2t22A 0 022A/20 0沿Z軸方向傳播的平面波解為A A0Mkz JA與滿足洛倫茲條件：c2k A/因此，只要給定 A ,就可以確定BAikA,勢(shì)的方程為ei(kz t)0 0/ t 0。所以 ik A i,從而E和B隨之確定。由于E CB nz/c ,A垂直于0,即所以E和B只與矢勢(shì)的橫向分量有關(guān)，即平面電磁波可由A來(lái)表示,BAikA , E CB其中 AA0 ei(kz

5、O A0 e i (t z/C) A。e iik x*ak(t)eak(t)ekikx,其中 ak根據(jù)題意A可記為A(),其方向與Z軸垂直。4.設(shè)真空中矢勢(shì) A可用復(fù)數(shù)傅里葉展開(kāi)為 A(x,t)是ak的復(fù)共軛。d22 2(t) 0。(1) 證明ak滿足諧振子方程2ak(t) k C a/dt(2) 當(dāng)選取規(guī)范A 0 ,0時(shí)，證明k ak 0。(3)把E和B用ak和ak表示出來(lái)。解: (1)證明：因?yàn)?A(x,t)ak(t)eikx ak(t)eikxk所以，根據(jù)傅立葉級(jí)數(shù)的正交性，必有：i k Xak(t)A(x,t)e dxt22A(1)OJ ,考慮到真空中J 0 ,故，2A0 02A/ t

6、2 ,所以(1)式化為2d ak(t)eikx(c2 2 A)dxI- 2dt而2 2k C ak(t)k2c2A(x,t)eikxdx于是d2ak(t)dt2k2c2ak(t)eikxc2 2A2 2k C A(x,t)dx因?yàn)锳(x,t)ak(t)eikx ak(t)eikx,k所以2A(x,t)k2A(x,t)2d ad)dt2在洛倫茲規(guī)范下,0 0 2A/ t2所以(3)式右邊積分中，被積函數(shù)為0,積分為0。所以ak滿足諧振子方程(2)(3)2d ak(t) I 2 22 k C ak(t)0。dt(2)當(dāng)選取規(guī)范A 0,0時(shí)Aak(t)eikxkak(t)e ikxak(t)eikx

7、ak(t)e ikxkik X*ik Xik ak(t)eIk ak(t)e0k因?yàn)閍k(t)，ak(t)是線性無(wú)關(guān)正交組，所以要使上式成立，必有 k ak(t) k ak(t)0(3)已知 A(x,t)ak(t)eikxak(t)e ikx,所以ki k X*i k XB A ik ak(t)e ikak(t)ek*Adak(t) ikXdak(t)ikXE ee t k dtdt5.設(shè)A和是滿足洛倫茲規(guī)范的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)。(1) 引入一矢量函數(shù) Z(x,t)(赫茲矢量)，若令(2) 若令P ,證明Z(x,t)滿足方程 2ZZ ,證明A2ZC2 t212COP ,寫出在真空中的推遲解。(3)證明

8、E和B可通過(guò)Z用下列公式表出:(1)(1)(3)(2)證明:即:證明:2 1(Z ) C 0 P， B 2 C t是滿足洛倫茲規(guī)范的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì),A 丄一 0C2 t因?yàn)闃?biāo)勢(shì)與方程2A得方程(3)將所以有代入(1)得：A丄一C2 t1 ZZ)，所以,tJ_Zc2 t在洛倫茲規(guī)范下有方程:2 1 2代入，得:2Z),則上式化為2Z12Zc2t2(2)(4)Z)oP(5)J_2Ac2 t2在真空中的推遲解為2Z(x,t)寧41 ZoJ的推遲解A(x,t)P(x,t r/C)dVZ)Jr-代入EC2 tc2 P0J(X,t r/C)dV類比,A/ t 及 B(6)A ,得:J_C2 t電荷都相同的粒子

9、相向而行發(fā)生碰撞，證明電偶極輻射和磁偶極輻射都不會(huì)6.兩個(gè)質(zhì)量、發(fā)生。證：電偶極矩的變化產(chǎn)生的輻射場(chǎng)為:eikRB花(P n)，E4 oc R磁偶極矩的變化產(chǎn)生的輻射場(chǎng)為：ikREoe (m n)， B4 CRikRe0C2R(P n) n沿徑向的簡(jiǎn)諧振蕩是不能產(chǎn)生輻射場(chǎng)的振動(dòng)，輻射場(chǎng)為8. 一飛輪半徑為 R,并有電荷均勻分布在其邊緣上，總電量為 旋轉(zhuǎn)，求輻射場(chǎng)。解：設(shè)飛輪邊緣的厚度為Q。設(shè)此飛輪以恒定角速度體系的電偶極矩為d，于是邊緣上的電荷面密度QX2 R2Sin0QPd2 RdQ 2COS2 0dl體系的磁偶極矩m由此得P 0，mQI S20 ,故輻射場(chǎng)為R2ez0。Q/2 Rd，dld

10、ey0Q R22 ezikR03 (m n) n4 c R在兩個(gè)質(zhì)量、電荷都相同的粒子相向而行發(fā)生碰撞的過(guò)程中，取兩粒子的連線為X軸，則系統(tǒng)的電偶極矩P qx qX2 q(X1 X2)P q(x X2)由于兩粒子質(zhì)量相同，根據(jù)牛頓第二定律，有X1X2 ,所以P 0,因此系統(tǒng)的電偶極矩產(chǎn)生的輻射場(chǎng)為0；又由于系統(tǒng)的磁偶極矩 m 0 ,所以系統(tǒng)的磁偶極矩產(chǎn)生的輻射場(chǎng)為 0，即兩個(gè)質(zhì)量、電荷都相同的粒子相向而行發(fā)生碰撞，電偶極輻射 和磁偶極輻射都不會(huì)發(fā)生。7.設(shè)有一球?qū)ΨQ的電荷分布，以頻率沿徑向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，求輻射場(chǎng)，并對(duì)結(jié)果給以物理解釋。解：因?yàn)殡姾蔀榍驅(qū)ΨQ分布， 不失一般性，設(shè)球面上均勻分布了總電

11、量為Q的電荷，于是,球面電荷密度為Q,4 R2取如圖所示相對(duì)的兩塊小面元 dS,dS?,由于兩塊小面 元對(duì)應(yīng)相同的立體角，故有相同的面積dS1 dS2，dqdSdS2 dq2因?yàn)閮呻姾稍?dq1, dq2球?qū)ΨQ分布，又以相同的頻率 沿徑向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，所以有P 0， m 0故此兩電荷元的振動(dòng)不能產(chǎn)生輻射場(chǎng)。根據(jù)場(chǎng)的疊加原理整個(gè)球?qū)ΨQ分布的電荷體系9.利用電荷守恒定律，驗(yàn)證 A和 的推遲勢(shì)滿足洛倫茲條件。 證明：推遲勢(shì)A與可寫作：A(x,t)o JndV,(,t)4dV,V0 V其中t, t對(duì)于的函數(shù)，有A(x,t)因?yàn)?VrUV0J(x,t)1dV014Vr4 wr1J1J一 r -rCtCtJ

12、(,t)0J(x,t)dVJ(,t)1JrJ(x,t )t const所以J(x,t)J(x,t)J(X , t )t const1J(x,t)-dVrC tJ(x,t)1J (x ,t )t constJ(x,t)dV由于另外所以0 J(x,t)1 dV0 11J(x,t)dV4 Vr4 vr4 wr0J(x,t)0 1dVJ(x,t)t COnStdV4 Vr4 V rV VrJ(x,t)t COnStdVVJdV-J(X,t) dS 0 ,所以S r4 V r1 1C2 4J (X,t)t ConstdV1-dV dV,t4 vr tVrJC2 t1J(x,t)t const vr由電荷

13、守恒定律，J(x,t)t const0即得A和 的推遲勢(shì)滿足t1A 20C2 t10.半徑為R0的均勻永磁體，磁化強(qiáng)度為 M ,球以恒定角速度繞通過(guò)球心而垂直于 M。的軸旋轉(zhuǎn)，設(shè) RC,求輻射場(chǎng)和能流。(提示：M。以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，可分解為相位差為 2的互相垂直的線振動(dòng)；直角坐標(biāo)基矢與球坐標(biāo)基矢變換關(guān)系為eSincoscoscosSineReySinSincosSincoseezcosSin0e解：本題相當(dāng)于一個(gè)位于原點(diǎn)的磁偶極子的旋轉(zhuǎn),43mR3Mo3此磁偶極子的磁偶極矩為:其旋轉(zhuǎn)振蕩可分解為mxmyX，4343y方向上相位差為3Ro M 0 cos(3R0 M O sin(用復(fù)數(shù)形式表達(dá)為:m

14、ROMO根據(jù)磁偶極矩輻射場(chǎng)公式BX同理可得By2的簡(jiǎn)諧振蕩的合成。t)e，3Ro M O cos( t )ey2i te emy.43 i tiRoMoeey3O ikR I 02e (m4 c RikR 44 c2R32 3n)Ro3M o2e 1t(eer) er0Ro M 0 i(kR t)2 e3c R30 Ro M 0 i(kR i 2 e3c2R(exer)ert)(eyer )er再根據(jù)直角坐標(biāo)基矢與球坐標(biāo)基矢變換關(guān)系BXByeyezo 2R3Mo3c2Ro Ro M o3c2RSincoscos cosSineRSinSincos SincosecosSin0e(ecoscos

15、 e sin肘仲t)(ecosSine cosi (kR t)ieBX Byo 2R3Mo3c2R(eCoSie)ei(kR同理，根據(jù)輻射場(chǎng)公式o ikRXEe (m n)，4 CR及坐標(biāo)基矢變換關(guān)系，可得：L 02R3MoE(Ie e3cRcos42m32 2c3R2sin2 n)ei(kR t )O 0 4RO5Mo2、S3 2(1 cos )er18c3R11.帶電粒子e作半徑為a的非相對(duì)論性圓周運(yùn)動(dòng)，回旋頻率為 和輻射能流。解：帶電粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其磁偶極矩 的電偶極矩是一旋轉(zhuǎn)的變化量 的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振蕩：。求遠(yuǎn)處的輻射電磁場(chǎng)m是常矢量，因此不產(chǎn)生電磁輻射，但此系統(tǒng)P eaer ,仿上

16、題解法，把旋轉(zhuǎn)量 P分解為x，y方向上由此可得:根據(jù)公式得:PXPyPXPyea cos texeacos( ti teae ei te eeaeae i t exi ( t /2) i teaeeae ey2i teae e2 i tiea e ey2)eyPXPyokikRe4 R(nSineyez2o eaSinP)及直角坐標(biāo)基矢與球坐標(biāo)基矢變換關(guān)系CoSSinCoS(e CoS4 CRCoS coscos SinSinie )ei(KRSinCOSeR-OkCeikR(nP)4 R球坐標(biāo)基矢變換關(guān)系，得2 o eai(kR t )E (e cos ie )ei(KR t )，S4 R再

17、根據(jù)公式P23212.設(shè)有一電矩振幅為Po ,頻率為于導(dǎo)體平面。設(shè)a解：如圖所示，設(shè)平面32C R2Sin n及直角坐標(biāo)基矢與2 2e a22亍(1 CoS32 2CR2)er的電偶極子位于距理想導(dǎo)體平面為,求在R處電磁場(chǎng)及輻射能流。法，構(gòu)造圖中電偶極子Po的鏡象Po。由圖可得:i ti ti tPPoee，PPoeeXPoe ePPoe ex ，P2Poe itexoy是導(dǎo)體平面，利用鏡像電偶極子P產(chǎn)生的輻射磁場(chǎng)為ik (R cos )aB14 ”2aPoik2cos i(kR t)3 e 2 eexer4 oC3R電偶極子的鏡象 P產(chǎn)生的輻射磁場(chǎng)為a/2處，Po平行aik (R CQS21

18、 i3 e4 qC R所以 B(R,t) Bi2 PQ i(kR4 qC3R ikaPQ ei(kR3 e4 qC R3PQ e3B2B2)PerikCQSt)e 2t)CQS (i Qa4i (kR t)(CQS R2ecos.1 aik CQS2i (kR t)e exerik CQS2ecosSinerSin2CQSCQS e )再由磁場(chǎng)求出:E(R,t)CBer3i(kRPo e Rt)(CQSS C2 Q13.設(shè)有線偏振平面波 質(zhì)球極化，極化矢量oa4 C2 6 2oa Po 2. 2亍 2 （CQS Sin32 2C3R2Sin4CQSCQS2 CQS e )cos2 )erEEoex O照射到一個(gè)絕緣介質(zhì)球上（Eo在Z方向），引起介P是隨時(shí)間變化的，因而產(chǎn)生輻射。設(shè)平面波的波長(zhǎng)2 /k遠(yuǎn)大于球半徑RQ，求介質(zhì)球所產(chǎn)生的輻射場(chǎng)的能流。解：由題設(shè)條件，平面波的波長(zhǎng) 2 /k遠(yuǎn)大于球半徑 RQ ,可以認(rèn)為整個(gè)介質(zhì)球每一時(shí)刻都 處于勻強(qiáng)電場(chǎng)E EQe i t中，極化