高中排列組合問題的解答技巧和記憶方法

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上排列組合問題的解題策略一、相臨問題捆綁法例17名學生站成一排，甲、乙必須站在一起有多少不同排法？二、不相臨問題選空插入法例2 7名學生站成一排，甲乙互不相鄰有多少不同排法？三、復雜問題總體排除法例3.(1996年全國高考題)正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中3個點為頂點的三角形共有多少個.四、特殊元素優(yōu)先考慮法 例4 (上海高考題) 1名老師和4名獲獎學生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法 種例5（全國高考題）乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名隊員參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不

2、同的出場安排共有 - 種.五、多元問題分類討論法例6（北京春招）某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（ ） A42 B30 C20 D12例7（全國高考試題）如圖， 一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？（以數(shù)字作答）六、混合問題先選后排法 例8（2012年北京高考）12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有（ ）例9（2013年北京高考試題）從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種

3、，分別種在不同土質的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（ ） A24種 B18種 C12種 D6種 七相同元素分配檔板分隔法例10把10本相同的書發(fā)給編號為1、2、3的三個學生閱覽室，每個閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號數(shù)，試求不同分法的種數(shù)。請用盡可能多的方法求解，并思考這些方法是否適合更一般的情況？總之，解決排列組合問題的基本規(guī)律，即：分類相加，分步相乘，排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；正難則反，間接排除等。其次，我們在抓住問題的本質特征和規(guī)律，靈活運用基本原理和公式進行分析解答的同時，還要注意講究一些解題策略和方法技巧，使一些看似復雜的問題迎刃而解。下面介紹幾種常用

4、的解題方法和策略。一特殊元素（位置）的“優(yōu)先安排法”：對于特殊元素（位置）的排列組合問題，一般先考慮特殊，再考慮其他。例1、 用0，2，3，4，5，五個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ）。 A 24個 B.30個 C.40個 D.60個二總體淘汰法：對于含否定的問題，還可以從總體中把不合要求的除去。如例1中，也可用此法解答:五個數(shù)字組成三位數(shù)的全排列有A53個，排好后發(fā)現(xiàn)0不能排首位，而且數(shù)字3，5也不能排末位，這兩種排法要排除，故有A53-3A42+ C21A31=30個偶數(shù)。三合理分類與準確分步含有約束條件的排列組合問題，按元素的性質進行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到

5、分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。四相鄰問題用捆綁法：在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再考慮大元素內部各元素間順序的解題策略就是捆綁法例2、有8本不同的書；其中數(shù)學書3本，外語書2本，其它學科書3本若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有( )種(結果用數(shù)值表示)注：運用捆綁法解決排列組合問題時，一定要注意“捆綁”起來的大元素內部的順序問題五不相鄰問題用“插空法”：不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開解決此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的

6、元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法例3、用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，2與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰。這樣的八位數(shù)共有( )個(用數(shù)字作答) 注：運用“插空法”解決不相鄰問題時，要注意欲插入的位置是否包含兩端位置六順序固定用“除法”：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。例4、6個人排隊，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”順序排的排隊方法有多少種？例5、4個男生和3個女生，高矮不相等，現(xiàn)在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法。七分排問題

7、用“直排法”：把幾個元素排成若干排的問題，可采用統(tǒng)一排成一排的排法來處理。例6、7個人坐兩排座位，第一排3個人，第二排坐4個人，則不同的坐法有多少種？八逐個試驗法：題中附加條件增多，直接解決困難時，用試驗逐步尋找規(guī)律。例7.將數(shù)字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的方格中，每方格填1個，方格標號與所填數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（ ）A6 B.9 C.11 D.23九、構造模型 “隔板法”對于較復雜的排列問題，可通過設計另一情景，構造一個隔板模型來解決問題。例8、方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解？十.正難則反排除法例9、從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要甲型與乙型電視

8、機各一臺，則不同的取法共有( )種 A140種 B80種 C70種 D35種十一逐步探索法：對于情況復雜，不易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的問題需要認真分析，探索出其規(guī)律例10、從1到100的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個數(shù)，使它們的和大于100，則不同的取法種數(shù)有多少種。十二一一對應法：例11.在100名選手之間進行單循環(huán)淘汰賽（即一場失敗要退出比賽）最后產生一名冠軍，要比賽幾場？離散型隨機變量及其分布列 典型例題考點一離散型隨機變量分布列的性質1.設是一個離散型隨機變量，其分布列為：101P0.512qq2則q等于 ()A1 B1± C1 D12已知隨機變量X的分布列為：P(Xk)，k1,2，則P(

9、2X4)等于()A. B. C. D.3(2010·荊門模擬)由于電腦故障，使得隨機變量X的分布列中部分數(shù)據(jù)丟失(以“x，y”代替)，其表如下：X123456P0.200.100. x50.100.1y0.20則丟失的兩個數(shù)據(jù)依次為_題組二求離散型隨機變量的分布列4.一袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，現(xiàn)從中隨機取出3個球，以X表示取出球的最大號碼，求X的分布列5 設一汽車在前進途中要經過4個路口，汽車在每個路口遇到綠燈(允許通行)的概率為，遇到紅燈(禁止通行)的概率為.假定汽車只在遇到紅燈或到達目的地時才停止前進，表示停車時已經通過的路口數(shù)，求：(1)的分布

10、列；(2)停車時最多已通過3個路口的概率題組三超幾何分布問題6.(2010·隨州模擬)一盒中有12個乒乓球，其中9個新的，3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機變量，其分布列為P(X)，則P(X4)的值為 ()A. B. C. D.7在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于的是 ()AP(X2) BP(X2) CP(X4) DP(X4)8（天津高考改編)在10件產品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，從這10件產品中任取3件，求：(1)取出的3件產品中一等品件數(shù)X的

11、分布列；(2)取出的3件產品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率題組四離散型隨機變量及其分布列的綜合應用9.拋擲2顆骰子，所得點數(shù)之和X是一個隨機變量，則P(X4)_.10一個袋中裝有若干大小相同的黑球、白球和紅球，已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是.(1)若袋中共有10個球；求白球的個數(shù)；從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X，求隨機變量X分布列條件概率與事件的獨立性典例精析題型一條件概率的求法 【例1】一張儲蓄卡的密碼共6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從09中任選一個.某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：(1)任意按最后

12、一位數(shù)字，不超過2次就按對的概率；(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率.題型二相互獨立事件的概率【例2】三人獨立破譯同一份密碼，已知三人各自破譯出密碼的概率分別為，且他們是否破譯出密碼互不影響.(1)求恰有二人破譯出密碼的概率；(2)“密碼被破譯”與“密碼未被破譯”的概率哪個大？說明理由.題型三綜合問題【例3】某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.方案一：三門課程中至少有兩門及格為考試通過；方案二：在三門課程中隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過.假設某應聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是a，b，c，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.(1)分別求該

13、應聘者在方案一和方案二下考試通過的概率；(2)試比較該應聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小，并說明理由. 離散型隨機變量及其分布列典例精析題型一離散型隨機變量的分布列【例1】設離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.30.3求：(1)2X1的分布列；(2)|X1|的分布列.題型二兩點分布【變式訓練2】 若離散型隨機變量的分布列為：01P9c2c38c(1)求出c；(2)是否服從兩點分布？若是，成功概率是多少？題型三超幾何分布【例3】 有10件產品，其中3件次品，7件正品，現(xiàn)從中抽取5件，求抽得次品數(shù) X 的分布列.獨立重復試驗與二項分布典例精析題型一相互獨立事件同時

14、發(fā)生的概率【例1】甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為.(1)分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率；(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率.【變式訓練1】甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為.(1)求乙至多擊中目標2次的概率； (2)求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率.題型二獨立重復試驗【例2】(2010天津)某射手每次射擊擊中目標的概率是

15、，且各次射擊的結果互不影響.(1)假設這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標的概率；(2)假設這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標的概率.【變式訓練2】袋子A中裝有若干個均勻的紅球和白球，從中摸出一個紅球的概率是.從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止.(1)求恰好摸5次停止的概率；(2)記5次之內(含5次)摸到紅球的次數(shù)為，求P(2).題型三二項分布【例3】 一名學生每天騎車上學，從他家到學校的途中有6個交通崗，假設他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率為.(1)設X為這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列；(2)設Y為這名學生在首次遇到紅

16、燈前經過的路口數(shù)，求Y的分布列；(3)求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率.【變式訓練3】某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18、19、20層?？?若該電梯在底層載有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為，用表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù).求隨機變量的分布列.12.10離散型隨機變量的期望與方差典例精析題型一期望與方差的性質的應用【例1】袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標號.(1)求的分布列、期望和方差；題型二期望與方差在風險決策中的應用【例2】 甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天

17、加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為、，和的分布列如下：012P012P試對這兩名工人的技術水平進行比較.【變式訓練3】(2010北京市東城區(qū))已知將一枚質地不均勻的硬幣拋擲三次，三次正面均朝上的概率為.(1)求拋擲這樣的硬幣三次，恰有兩次正面朝上的概率；(2)拋擲這樣的硬幣三次后，拋擲一枚質地均勻的硬幣一次，記四次拋擲后正面朝上的總次數(shù)為，求隨機變量的分布列及期望E().正態(tài)分布典例精析 題型一研究正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內取值的概率值【例1】 某正態(tài)曲線的密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為，求總體位于區(qū)間4，2的概率.【變式訓練1】設XN(1,22)，試求：(1)P(1X3)；(2)P(X5).題型二利用正態(tài)總體密度函數(shù)估計某區(qū)間的概率【例2】 已知某地區(qū)數(shù)學考試的成績XN(60,82)(單位：分)，此次考生共有1萬人，估計在60分到68分之間約有多少人？【變式訓練2】某人乘車從A地到B地，所需時間(分鐘)服從正態(tài)分布N(30,100)，求此人在40分鐘至50分鐘到達目的地的概率.（2013年高考北京卷（理）下圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數(shù)趨勢圖,空氣質量指數(shù)小于100表示空氣質量優(yōu)良,空氣質量指數(shù)大于200表示空氣重度污染,某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市,并停留2天.()求此人到達當日空氣重度污染的概率;