九年級數(shù)學反比例函數(shù)知識點歸納和典型例題

1、新人教版九年級數(shù)學下冊第26章反比例函數(shù)知識點歸納和典型例題（一）知識結構（二）學習目標1 .理解并掌握反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)實際問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式ky =久（k為常數(shù)，比°）,能判斷一個給定函數(shù)是否為反比例函數(shù).2 .能描點畫出反比例函數(shù)的圖象，會用代定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，進一步理 解函數(shù)的三種表示方法，即列表法、解析式法和圖象法的各自特點.kP 二3 .能根據(jù)圖象數(shù)形結合地分析并掌握反比例函數(shù)x （k為常數(shù)，上二0）的函數(shù)關系和性質，能利用這些函數(shù)性質分析和解決一些簡單的實際問題.4 .對于實際問題，能 找出常量和變量，建立并表示函數(shù)模型，討論函數(shù)模型，

2、解決實 際問題”的過程，體會函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學模型.5 .進一步理解常量與變量的辨證關系和反映在函數(shù)概念中的運動變化觀點，進一步認 識數(shù)形結合的思想方法.（三）重點難點1 .重點是反比例函數(shù)的概念的理解和掌握，反比例函數(shù)的圖象及其性質的理解、掌握 和運用.2 .難點是反比例函數(shù)及其圖象的性質的理解和掌握.二、基礎知識（一）反比例函數(shù)的概念k y = 11-11. 工（化二0）可以寫成，二口 （上不 口）的形式，注意自變量 X的指數(shù)為一 1, 在解決有關自變量指數(shù)問題時應特別注意系數(shù)小于口這一限制條件；k2. 工（上。）也可以寫成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解

3、析式中的k,從而得到反比例函數(shù)的解析式；丁二一3. 反比例函數(shù)工的自變量五黃° ,故函數(shù)圖象與x軸、y軸無交點.（二）反比例函數(shù)的圖象ky=-在用描點法畫反比例函數(shù)工的圖象時，應注意自變量 X的取值不能為0,且X應對稱取點（關于原點對稱）.（三）反比例函數(shù)及其圖象的性質上y匚一1 .函數(shù)解析式： X （上手口）2 .自變量的取值范圍：XWU3 .圖象：（1）圖象的形狀：雙曲線.川越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直.同越小，圖象的彎曲度越大.（2）圖象的位置和性質：與坐標軸沒有交點，稱兩條坐標軸是雙曲線的漸近線.當化 > °時，圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個象限內(nèi)

4、，y隨x的增大而減??；當歸:°時，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.（3）對稱性：圖象關于原點對稱，即若（ a, b）在雙曲線的一支上，則（一值，一b） 在雙曲線的另一支上.圖象關于直線,=士工對稱，即若（a, b）在雙曲線的一支上，則（5 ,也）和（-6 , 一口） 在雙曲線的另一支上.4 . k的幾何意義如圖1,設點P (a, b)是雙曲線1上任意一點，作 PAx軸于A點，PBy軸于B點，則矩形PBOA的面積是(三角形PAO和三角形PBO的面積都是2).14 / 12如圖2,由雙曲線的對稱性可知， P關于原點的對稱點 Q也在雙曲線上，作QC XPA的

5、延長線于C,則有三角形PQC的面積為同5 .說明:(1)雙曲線的兩個分支是斷開的，研究反比例函數(shù)的增減性時，要將兩個分支分別討論，不能一概而論.(2)直線A =此工與雙曲線工的關系:當片白G)時，兩圖象沒有交點；當 為片時，兩圖象必有兩個交點，且這兩個交點關于原點成中心對稱.(3)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系.(四)實際問題與反比例函數(shù)1 .求函數(shù)解析式的方法:(1)待定系數(shù)法；(2)根據(jù)實際意義列函數(shù)解析式.2 .注意學科間知識的綜合，但重點放在對數(shù)學知識的研究上.(五)充分利用數(shù)形結合的思想解決問題.三、例題分析1.反比例函數(shù)的概念(1)下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是().A. y=3x

6、 B.7-3二2戈c 3xy=1(2)下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是().111 I了 二 一丁尸二一r尸二i 十一A.4 五B. 工C,工-2D. X答案：(1) C; (2) A.2.圖象和性質(1)已知函數(shù)-=苦+1)12是反比例函數(shù),若它的圖象在第二、四象限內(nèi)，那么 k= .若y隨x的增大而減小，那么 k= .y -(2)已知一次函數(shù) y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則函數(shù) 工 的圖象位于(3)若反比例函數(shù)k經(jīng)過點(一1 , 2),則一次函數(shù)¥二 S2的圖象一定不經(jīng) 過第 象限.(4)已知a b<0,點P (a, b)在反比例函數(shù) 天的圖象上，則直線尸&qu

7、ot;事工+不經(jīng)過的象限是().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限ky =(5)若P (2, 2)和Q (m,一加)是反比例函數(shù) 工圖象上的兩點，則一次函數(shù)y=kx+m的圖象經(jīng)過().A.第一、B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限（6）已知函數(shù)y = k（x-i）和3.函數(shù)的增減性y = -工（kR）,它們在同一坐標系內(nèi)的圖象大致是答案：（1）一21 ； （2）三；(3)四；(4) C; (5) C; (6) B.（1）在反比例函數(shù), 工y的圖象上有兩點義詞乃），*（電，加，且工勺）。,則再一月的值為（）.A.正數(shù)B.負數(shù)C.非正數(shù)D.非負數(shù)y=（2）在函

8、數(shù)工（a為常數(shù)）的圖象上有三個點則函數(shù)值乃、%、內(nèi)的大小關系是（）.C.乃馮凡D.y （3）下列四個函數(shù)中： ）二5工；1y =；y隨x的增大而減小的函數(shù)有（）A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個時，這個反比例函數(shù)的函數(shù)值 y隨x的增大而（填揩大”或減小”）.x>0尢了 二一（4）已知反比例函數(shù)工的圖象與直線y=2x和y=x+1的圖象過同一點，則當答案：(1) A; (2) D; (3) B.注意，（3）中只有是符合題意的，而是在每一個象限內(nèi)” y隨x的增大而減小.解析式的確定（1）若廠與工成反比例，工與工成正比例，則y是2的（）.A.正比例函數(shù)B.反比例函數(shù)C. 一次函數(shù)D.不能確

9、定k八一，“一一一，”一”，尸二一人、（2）右正比例函數(shù) y=2x與反比例函數(shù)工的圖象有一個交點為（2, m）,則m=，k=,它們的另一個交點為觸_ m（3）已知反比例函數(shù), 工的圖象經(jīng)過點（-2，-盼，反比例函數(shù) , 工的圖象在第二、四象限，求m的值.y（4）已知一次函數(shù) y=x+m與反比例函數(shù)的+1工（閥二一1）的圖象在第一象限內(nèi)的交點為P (x 0, 3).求x0的值；求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.貝里克）6C川分卡中）已知藥物燃燒時,（5） 為了預防 非典”，某學校對教室采用藥薰消毒法進行消毒.室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量 y （毫克）與時間x （分鐘）成正比例，藥物燃燒完后, 與x成

10、反比例（如圖所示），現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為毫克.請根據(jù)題中所提供的信息解答下列問題:藥物燃燒時y關于x的函數(shù)關系式為，自變量x的取值范圍是;藥物燃燒后y關于x的函數(shù)關系式為研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時學生方可進教室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過分鐘后，學生才能回到教室;研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時,才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么?答案：（1） B；二 , -（3）依題意，物=（一2）乂（一引且切 0 ,解得肉二T為十物二生i;（4）依題意,9/二掰+1口0；解得3一次函數(shù)解

11、析式為 尸工+2 ,反比例函數(shù)解析式為了V = 一K（5）4 , 0<j<8 ,48y-5 :沖工30;消毒時間為 3483 八-3x-=1325>10（分鐘），所以消毒有效.面積計算3不二一一（1） 如圖，在函數(shù)工的圖象上有三個點 A、B、C,過這三個點分別向 x軸、y軸作垂線，過每一點所作的兩條垂線段與 x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為 $、$、/A.B.VA0D.第（2）題圖C.風1廠二一（2） 如圖，A、B是函數(shù)工的圖象上關于原點 O對稱的任意兩點，AC/y軸,BC/X軸，4ABC的面積S,則（）.A. S=1B. 1<S<2C. S=2D. S>2

12、m(3)如圖，RtAAOB的頂點A在雙曲線工上，且SA AOB=3 ,求m的值.一一,F=二一一八、一一(4) 已知函數(shù)T的圖象和兩條直線 y=x, y=2x在第一象限內(nèi)分別相交于 P1和P2兩點，過P1分別作x軸、y軸的垂線P1Q1 , P1R1 ,垂足分別為 Q1 , R1 ,過P2分別 作x軸、y軸的垂線P2 Q 2 , P2 R 2 ,垂足分別為 Q 2 , R 2 ,求矩形 O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周長，并比較它們的大小.17 =一(5)如圖，正比例函數(shù) y=kx (k>0)和反比例函數(shù)工的圖象相交于 A、C兩點，過A作x軸垂線交x軸于B,連接BC,若4

13、ABC面積為S,則S= .第(5)題圖第(6)題圖(6)如圖在Rt ABO中，頂點A是雙曲線r與直線¥ =-工+ (*+1)在第四象限3的交點，ABx軸于B且SAABO=1,求這兩個函數(shù)的解析式；求直線與雙曲線的兩個交點 A、C的坐標和4AOC的面積.(7)如圖，已知正方形OABC的面積為9,點O為坐標原點,一 _八- J一，y=-、，一,、點A、C分別在x軸、y軸上，點B在函數(shù) K (k>0, x>0)的圖象上，點P (m, n)一，尸二一，一，一 一、，八 j 一，是函數(shù) K (k>0, x>0)的圖象上任意一點， 過P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為E、F

14、,設矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面積為 S.求B點坐標和k的值;2時，求點P的坐標;寫出S關于m的函數(shù)關系式.答案：(1) D;(2) C; (3) 6;(4),矩形O Q 1P1 R 1的周長為8, O Q 2P2 R 2的周長為6五，前者大.(6)雙曲線為直線與兩軸的交點分別為(0, 2)和(一2 , 0),且a(1, -3)和c(-3 ,1),因此面積為4. B (3, 3),D 2 時，E (6, 0),.綜合應用（1）若函數(shù)y=k1x （k1加）和函數(shù)¥* （k2而）在同一坐標系內(nèi)的圖象沒有公共點，則k1和k2 （A.互為倒數(shù)B.符號相同C.絕對值相等D.符號相

15、反m1/ =（二）（2）如圖，一次函數(shù)卜=飆+*的圖象與反比例數(shù)M的圖象交于A、B兩點：Ax的取值范圍.求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式; 根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的（3）如圖所示，已知一次函數(shù)y =（k%）的圖象與x軸、yy軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)m工 （m4）的圖象在第一象限交于 C點，CD垂直于x軸，垂足為 D,若OA=OB=OD=1 .求點A、B、D的坐標;求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.(4) 如圖，一次函數(shù) ”胡丑 的圖象與反比例函數(shù) 工的圖象交于第一象限 C、D兩點，坐標軸交于 A、B兩點，連結OC, OD (O是坐標利用圖中條件，求反比例函數(shù)的解析式和m的值;雙曲線上是否存在一點 P,使得4POC和APOD的面積相等？若存在，給出證明并求出點P的坐標；若不存在，說明理由.