經(jīng)典講義等比數(shù)列及其前n項和

1、(經(jīng)典)講義：等比數(shù)列及其前n項和1 .等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2_項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公常用字母q_表示.2 .等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列an的首項為ai,公比為q,則它的通項an=ai qn1.3 .等比中項若G2=a b(abw0),那么G叫做a與b的等比中項.4 .等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an= am qn m, (n, mC N+).若an為等比數(shù)列，且 k+i=m+ n(k, l, m, nCN+),則 ak a尸am，an.(3)若an, bn(項數(shù)相同)是等比數(shù)列,則入n(后0),

2、, a, an bn,仍是等 比數(shù)列.公比不為一1的等比數(shù)列an的前n項和為Sn,則Sn, S2n-Sn, S3n S2n仍成 等比數(shù)列，其公比為qn.5 .等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列an的公比為q(qw0),其前n項和為Sn,當(dāng) q = 1 時，Sn = na1;當(dāng) qw1 時，Sn= = .【注意】色利川鉆位相減法推導(dǎo)等比數(shù)列的一前n項和;2 . n 1Sn一三 一a【_ ± auq ± aq一±一 二:± auq_同乘 _q 得二qS三.aiq.+.aq2 ± atq3 土二二土 一 a1q1兩一式相一減得一 (1二一Sn三a1_二a

3、1qn1一 Sn.三(q麥1).乙L由例±1 三二qan-q王0菱丕能立即斷這一an為等比數(shù)列一還要驗證田一堂0.7.2在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q=1與qwl分類討論，防止因忽略q=1這一特殊情形導(dǎo)致解題失誤.8.等比數(shù)列的判斷方法有：(1)je義法： 右= q(q 為非苓吊數(shù))或=口 (q 為非奪 吊數(shù)且 n>2 且 nCN),貝Ua n 是等比數(shù)列.(2)中項公式法：在數(shù)列an中，2門金0且a=an an+2(nC N )_,則數(shù)列an是等比數(shù)列.通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an = c qn(c, q均是不為0的常數(shù)，n C N3則an是等比數(shù)歹1.

4、一、知識梳理1 .等比數(shù)列前n項和公式ai(1 qn) ai anq(q 1)1探索導(dǎo)引:Sn1 q 1 q|求和na1(q 1)S 1 2 4 L 263說明：對于等比數(shù)列的前n項和公式：從方程觀點看：由等比數(shù)列的前n項和公式及通項公式可| 知，若已知ahq,n,an,Sn中的三個即可建立方程組求其余兩個，j 即“知三求二”.在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，一定要 注意討論公比q是否為1.'探索導(dǎo)引：等比數(shù)列an中，已 知，S220, S460,求S6,并考慮等式一 一 一一 一 28(a S4) (S4 S2)是否成立？2 .與前n項和有關(guān)的等比數(shù)列的性質(zhì) 若等比數(shù)列an中,公比為

5、q1,依次k項和Sk,S2k &,S3k S2k,L成公比為qk的等比數(shù)列.若等比數(shù)列aj的公比為q,且項數(shù)為2n(n N )，則說明：利用性質(zhì)(1)可以快速的求出某些和.但在運用此性質(zhì) 時，要注意是Sk,S2k Sk,S3k S2k,L成等比數(shù)列，而不是 Sm,S2m,S3m,成等比數(shù)列.二、方法(一)等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用理解例題1:在等比數(shù)列中，(1)已知 ai 3,q 2,求 a6，& ;1 1(2)已知 a12.7,q a ，求 n;390(3)已知a11包64,求q和S4 ;(4)已知 a3 3 S3 9 求 a1,q ;2 2知識體驗：已知等比數(shù) 列的五個量a

6、1,an,q,n,S 中的任意三個求其他兩 個時，要用等比數(shù)列的 通項公式以其及前n項 和公式.分析：在等比數(shù)列中有五個重要量ahan,q,n,Sn,只要已 知任意三個，就可以求出其他兩個.其中a和q兩個最 重要的量，通常要先求出4和q.解：(1)Qa6 &q5 3 25 96.QS6也上 X 189.1 q 1 2 n 111 n 1(2)Q an aq,2.7 (-)903(3)Q a4 a1q3,64 q3 , q 4a3 a1q2 (1)(4)2 29S3 a1(1 q q2) 一 (2)22(2) + ( 1)得1 q2 q 3q2q2 q 1 0 q 1 或q - 2當(dāng)q

7、1時，a1 3,當(dāng)q 1時，為 22(二)與等差數(shù)列前n項和有關(guān)的性質(zhì)的應(yīng)用理解例題2:等比數(shù)列an中Sm 12 ,S2m 36,求S3m.分析：在有關(guān)等比數(shù)列的問題中，均可化成有關(guān)&、q的 關(guān)系列方程求解.本題中注意下標(biāo)的關(guān)系，可考慮用等 差數(shù)列前n項和的有關(guān)性質(zhì)來簡化運算.解法一：由 Sm 12,S2m 36,可知 q 1(若 q 1, S2m2Sm)m、Qa1(1 q )Sm1 q2m、 ca1(1 q )S2m1 q解法二：Q Sm,S2m12解得1 qm 3,36,Sm,S3m S2m成等比數(shù)列知識體驗:在學(xué)習(xí)了等 比數(shù)列前n項和的有關(guān) 性質(zhì)后，我們用其來求 解有關(guān)等差數(shù)列的

8、前n項和問 題.方法提煉:求解該類問 題一般有兩種方法：可化成有關(guān)a1、q的 關(guān)系列方程組求解.可利用等比數(shù)列中連 續(xù)等段和成等比的性質(zhì) 即性質(zhì)(1)求解.二、例題18&,止匕時 S3 S6 2s9342本題有關(guān)等 比數(shù)列前n 項和的基本 運算的考 查.轉(zhuǎn)化為關(guān)于 a1,q的方程 組求解.本題考查了 等比數(shù)列前 n項和公式 的運用和分 類討論的思 想.因不知q的 值，故對q進 行討論.本題考查了 等比數(shù)列連 續(xù)等段和成 等比的性 質(zhì).利用等比數(shù) 列分段和成 等比.考慮是否兩 解都滿足條 件.建議：已知 Sn,S3n 求 S2n 時，盡量列(一) 題型分類全析1 .等比數(shù)列前n項和公式的

9、基本運算例1 :在等比數(shù)列的an中：a3 ai 8烏 a4216§ 40,求公比q, 國 及n .思路直現(xiàn)：由已知兩個條件，可建立關(guān)于ai,q的方程組，分別解出 ai,q的值，代入Sn即可求出n .解:由已知可得總結(jié)：在求數(shù)列的基本量問題時，把條件轉(zhuǎn)化成基本量解方程是解決數(shù)列問題的基本方法.例2已知數(shù)列an是等比數(shù)列，其前n項和& ,若S3 S6 2s9 ,求該數(shù)列的公比q.思路直現(xiàn)：由已知兩個條件，可建立關(guān)于ai,q的方程組，分別解出ai,q的值,代入&即可求出n.解:若q 1 ,則& na,S386 3a16 al 9ai,249632q q q 0,即

10、2q6 q3 1 0,即(q3 1)(2q3 1) 0故 2q3 1 0q3- q2筆記：在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，一定要注意公式的條件 若題目中不明確，應(yīng)對q進行討論.2 .利用等差數(shù)列的性質(zhì)求和例3:等比數(shù)列aj中，S2 7£ 91,求S4思路直現(xiàn)：注意到，下標(biāo)的關(guān)系，可考慮利用等比數(shù)列的性質(zhì)解決.解:Q4是等比數(shù)列，Q S2,S4 S2,S6 S4 成等比7(91 S4) (S4 7)2,故 S2 7s4 588 0故 S4 28 或 S421注意到由 a1 a2 a3 a4 a1 a2 q2(a1 比)1 q20,S2a a?a a2S4,S2 同號，S4 28筆記：遇

11、到類似下標(biāo)成倍數(shù)關(guān)系的前n項和問題，一般可考慮用等比 數(shù)列中依次k項和&,S2k Sk,S3k S2k,L成等比數(shù)列來解決，可簡化計 算量.在已知Sn,S3n,利用這一性質(zhì)求S2n時，要考慮是否會出現(xiàn)增根的 問題.例4已知一個項數(shù)為偶數(shù)，首項為1的等比數(shù)列，其奇數(shù)項的和為85, 偶數(shù)項的和為170，求這個數(shù)列的公比及項數(shù).思路:本題涉及到項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，且奇數(shù)項和與偶數(shù)項和都 已知，由此利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出公比，進而求其通項.解：Q該數(shù)列是一項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列q 匹 170 2 ,又 Q 0 % S偶 85 170 255S奇85故n 8閱題筆記：利用等比數(shù)列奇、偶項數(shù)和

12、的性質(zhì)簡單明了，運算量較 低.方程求解， 若用性質(zhì)應(yīng) 考慮是否會 出現(xiàn)增根.本題考查了 等比數(shù)列的 性質(zhì).* S偶 迷思-qS這個性質(zhì)是 在項數(shù)為偶 數(shù)這一前提 下成立的.建議：巧用 特例，熟記 等差等比數(shù) 列奇偶項的 一些性質(zhì).3.某些特殊數(shù)列的求和例5:(1)已知數(shù)列an的通項公式an 2n n ,求該數(shù)列的前n項和Sn ；已知數(shù)列an的通項公式an 2n 3n,求該數(shù)列的前n項和S.解：(1) Q Sn a a2 a3 L % Q Sn ai a2 a3 L anOn 17= 2n1 3 722筆記:分組求和法適用于某些特殊數(shù)列的求和，這些特殊數(shù)列的通項 是可寫成幾個等比數(shù)列或等差數(shù)列的

13、和的形式.例6:已知數(shù)列an的通項公式an n 2n ,求該數(shù)列的前n項和Sn ; 思路:寫出數(shù)列的前n項和注意其與等比數(shù)列形式類似，考慮用推導(dǎo) 等比數(shù)列求和的方法來求其前n項和.解：Q Sn 2 2 22 3 23 L n 2n考查數(shù)列的 分組求和問 題.等差等比數(shù) 列各自分組 求和.不同公比的 等比數(shù)列按 公比各自分 組求和建議：熟記 幾種常見的 數(shù)列求和類型及其對應(yīng) 方法.筆記:錯位相減法適用與求一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積組成 的新數(shù)列的前n項和.(二)重點突破例 7： (2007天津)在數(shù)列 an 中，ai 2 , a01 4% 3n 1 , n N* .(I)證明數(shù)列an n是等

14、比數(shù)列；(n )求數(shù)列an的前n項和Sn ；(m)證明不等式Sn 1 < 4Sn ,對任意n N皆成立.思路直現(xiàn)：(1)由遞推關(guān)系式構(gòu)造出數(shù)列an n,并證明其是等比數(shù)列.利用分組求和法求出an的前n項和.考慮用作差法證明.(I )證明：由題設(shè)an 1 4an 3n 1 ,得an 1 (n 1) 4(an n) , n N .所以數(shù)列an n是首項為劣1 1,且公比為4的等比數(shù)列.(H)解：由(I )可知 an n 4n 2、 c -(3n n 4)< 0 .所以不等式Sn 1 W 4Sn ,對任意n N皆成立.筆記:本題實際上第一步的證明起到一個提示的作用，即應(yīng)從遞推關(guān) 系出發(fā)構(gòu)

15、造出an n的形式，并證明其為等比數(shù)列.例8: (2007遼寧)已知數(shù)列an, bn滿足a1 2 , b1 1,且1bn 114, n> 2 bn 11 ,an 4n 1 n .(田)證明：對任意的n N , j 1nS41 (n 1)(n 2) 4 4 1 n(n 1)Sn 1 4Sn(I)令Cnan bn,求數(shù)列g(shù)的通項公式;(II)求數(shù)列an的通項公式及前n項和公式Sn.思路:(1)由于要構(gòu)造Cn,故把已知兩式相加，即可得出規(guī)律.考查數(shù)列的 錯位相減法 求和的問題。建議：錯位 相減法是高 !考的一個常 考點，平時 訓(xùn)練給予重 視.本小題考查 等比數(shù)列的 概念、等比 數(shù)列的通項 公式

16、及前n 項和公式、 不等式的證 明利用遞推關(guān) 系式證明數(shù) 列成等比.利用分組求 和法求和 利用作差比 較法證明不3an -an 141bn an 14建議：學(xué)會 解題的技 巧，有時候 題目的提示 往往在問題 當(dāng)中.本小題主要3232(2)由(I)提示，可考慮兩式相減.(I )解：由題設(shè)可得a, 即 Cn g 12 ( n > 2 )易知品是首項為a bicn 2n 1 .bn(an 1 bn 1)2(n > 2),3 ,公差為2的等差數(shù)列(II)解：由題設(shè)得an1人bn(an 1bn 1 )(n > 2) , d dnan2bn,則1 dn d2易知dn是首項為a1 b11,

17、公比為2的等比數(shù)列dn -2an由anbnbn閱題:這是2n 1,1 解得2n1道創(chuàng)新題，題目較為新穎，遇見題目不要慌亂，其實(1)問考查等差數(shù) 列、等比數(shù) 列等基礎(chǔ)知 識，考查基 本運算能力 兩式相加構(gòu) 造 an bn 兩式相減構(gòu) 造 an bn列方程組求an分組求和求已經(jīng)提示解答本題的方法，應(yīng)整體考慮.Sn建議：在學(xué) 習(xí)中重視整 體思想的訓(xùn) 練.四、習(xí)題一、選擇題1. (2008福建)設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,若a 1,a5 16,則數(shù)列an前7項的和為A.63B.642.3.(2008浙江)已知an是等比數(shù)列，a2A.16(1 4n)B.16(1 2 n)C.32(1 4n)D.32

18、(1 2n) 33(2008海南)設(shè)等比數(shù)列an的公比q一_ 15A.2B.4C.-2C.12712, a5 -,貝 1 Qa2 a2a3 L42 ,前n項和為S ,則&a2D.128anan 1 =4.(2007陜西)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項和為Sn ,若Sn2,S3n 14則S4n等于A.80B.30C.26D.165. (2006遼寧)在等比數(shù)列an中,& 2,前n項和為&,若數(shù)列a01也是等比 數(shù)列，則Sn等于A. 2n 1 2B.3nC.2nD. 3n 1121C.2(n n 2) 了iiD n(n 1) 2(1)223234 n. 2了 L 2T，

19、工B X A.2n 12n* 2n二、填空題二2D工.一n 1 八 n. n2228.等比數(shù)列an共2n項，其和為240,且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大n80,則公6.數(shù)列引4，31，45的前n項和為()1211a. 2m n 2)2，B.2n(n 1) 19 . (2007全國I )等比數(shù)列an的前n項和為&,已知G , 23, 30成等差數(shù)列, 則an的公比為10 .若等比數(shù)列an的前n項和為&滿足包31,則此數(shù)列的公比q為S532三、解答題11 .( 2007全國H)設(shè)等比數(shù)列an的公比q 1,前n項和為Sn .已知a32,S45S2,求an的通項公式.12 .(2008全國

20、 I ).在數(shù)列 an 中，a1 1, % 1 2a02n.(I)設(shè)bn碧.證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列;2(n )求數(shù)列an的前n項和Sn .13.已知數(shù)列an, bn滿足：01心3a 一8,且 n13bn17an2anbn , n 28bn,(1)令Cn an bn ,求 Cn的通項公式；(2)求數(shù)列an, bn的通項公式；(3)求數(shù)列an的前n項和Sn習(xí)題答案1.C.分析：由a1 1,a5 16及an是公比為正數(shù)得公比q 2 ,所以S72c分析：Qan為等比數(shù)列,a5請，1 2q3 q 11 271 2127設(shè)bn anan1 ,。是首項為8,公比為1的等比數(shù)列.4aa2a2a33c分析：t

21、1 n81 (-)n 32anan1 b1 b2 Lbn 1 32(1 4n),1 -4國(1 q4)1 q 1 24 15aq224.B分析：Qan為等比數(shù)列,Sn，S2nSn，S3nS2n，S4n S3n 成等比Sn(S3nS2n)(&nSn)2 即 2(14&n)(&n 2)2S2n6 或&n4Q4各項均為正數(shù)，故 S2n Sn,故S2n 6,2,4,8,S4n S3n 成等比，所以 S4n S3n 16,S4n 305 .D分析:解：依題意，f(n)為首項為2,公比為23 8的前n4項和，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得D6 . C分析：因數(shù)列an為等比，則a

22、n2qn1,因數(shù)列an 1也是等比數(shù)列，則2(an 1 1) (an 1)(a22 1)an 12an 1anan 2 an an 2an an 2 2an 1an(1 q2 2q) 0 q 1 ,即 an 2 ,所以 Sn7 .A 分析：Sn112-314L (n 二)2481628 .B分析:設(shè)S工芻g L二，則S 2 222222n ,故選擇答案Co1 1(1 2 3 L n)(2 421 n 1 nL2221下)(1 )兩式相減得1S 1L二3 22nrS 22二22 222n 2. 12n 122nI -29. 2分析:由題意可知240,80,80,160,因為等比數(shù)列共2n項,21

23、0.3分析：假設(shè)塔每層有an盞，塔尖有0盞,由題意知道數(shù)列an為公比為2的等比數(shù)列，a1(1 27)一S7 127a1 381 , a1 31 21八11. -分析：4s2Si3s3,即 4(a1a2)a13(a1a2 a3)a23a3.3解得an的公比q曳1a2312. 1分析Q數(shù)列an為等比數(shù)列，故S5,S10 S5,S15 S10成公比為q5的等比數(shù) 2列,故有5§0 S531,11q 111,q一S53232213 .分析：Qa1 S,a2 S2 S1, q確定，等比數(shù)列an唯一確定.由 S3a1a2a3也a2a2q得 q 1 0 即 q2(1 包)q1 0qqa2a2不能唯一確定q,從而該數(shù)列不能唯一確定qn1曳，n為奇數(shù)時，n 1為偶數(shù)，q不唯一，而該數(shù)列不能唯一確定 a1a1粵1唯一確定，等比數(shù)列an唯一確定 q故滿足題意.14 .分析：由條件列出關(guān)于arq的方程組求解ahq進而得出結(jié)論.解：由題設(shè)知 ai 0,q 1, & a1(1 q ) , 1 q2 aiq2,則 ai(1 q4)ai(1 q2) 5 1 q1 q由得 1 q4 5(1 q2), (q2 4)(q2 1) 0 , (q 2)(q 2)(q 1)(q 1) 0, 因為q 1