近十份大學微積分下期末試題匯總含答案

1、浙江大學2007-2008學年春季學期微積分n»課程期末考試試卷、填空題(每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上)1 .點M (1,-1,2)到平面x 2y2z10的距離d =.r rr r rr2 .已知 a2, b3, a b 3,貝(Jab.3 .設(shè) f(u,v)可微，z f (xy, yx),則 dz=.4 .設(shè)f(x)在0 ,1上連續(xù)，且f(x) > 0 , a與b為常數(shù).D x,y 0 x 1,0 y 1 ,則 af(x) bf(y)d =. d f(x) f(y)2xs1 x21/x x2 ( C ) dx f (x, y)dy( D ) dx f (x, y

2、)dy 0000 2x5 .設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，交換二次積分次序°dx° f (x, y)dy _二、選擇題(每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題 目要求的，把所選字母填入題后的括號內(nèi))6 .直線1i：人口二我與直線l2: x y 6的夾角為1212y z 3(A )- .(B).(C)I7 .設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，極坐標系中的二次積分2 d f (r cos ,r sin )rdr可以寫成直角坐標中的二次積分為 001 Jy y211 y2(A)0dy 0 f (x, y)dx ( B 0dy 0 f (x, y)dxx, 0 x8 .

3、設(shè)f(x)2 S(x)為f(x)的以2為周期的余弦級數(shù)，則S( 3)122 2x,- x 12(A) - .( B)1 .(C)3.( D)-.2244xy.(x, v) (0.0).9 .設(shè) f (x, y)辰y(tǒng)4則 f(x,y)在點 O(0,0)處0,(x,V) (0,0),(A)偏導數(shù)存在，函數(shù)不連續(xù)(B)偏導數(shù)不存在，函數(shù)連續(xù)(C)偏導數(shù)存在，函數(shù)連續(xù)(D)偏導數(shù)不存在，函數(shù)不連續(xù)三、解答題C 2 c 22 c10 .(本題滿分10分)求曲線L:2x 3y Z9在其上點M (1，1, 2)z 3x y處的切線方程與法平面方程.11 .(本題滿分10分)設(shè)F可微，z是由F( x y, y

4、 z,z x) 0確定的可微函數(shù)，并設(shè)F2F3，求-z .x y12 .(本題滿分10分)設(shè)D是由曲線y x3與直線y x圍成的兩塊有界 閉區(qū)域的并集，求ex2 sin(x y)d .D 22213 .(本題滿分10分)求空間曲線L： x 9y 2z 0上的點到xOy平面的距 x 3y 3z 5離最大值與最小值14 .(本題滿分10分)設(shè)平面區(qū)域D= (x,y) 0 x 1,0 y 1，計算二重積分x2 y2 1 d .15 .（本題滿分5分）設(shè)當y>0時u（x,y）可微，且已知du(x,y) ( 2 y 2 xy2)dx (2 x 2 x2 y 2y)dy . 求 u(x, y).x

5、yx y浙江大學2007 2008學年春季學期微積分II »課程期末考試試卷答案一、填空題（每小題5分，共25分）1. d 12412.3cvv rv-v_vv- V2V2 vv, L2. abJ(a b) (a b)|a| b2abv496 V19.3. dzf1 yxy 2I a b dD2x2 2x01 1 y0dx 0 f x，y dy 1dy 1 =f x，ydx011 y111 y1dy 1 1 y f x，y dx0 dy 1 1 y f二、選擇題（每小題5分，共20分）l 1的方向向量1，2,1 , l 2的方向向量 1，1,2 ,f2 yx lnydxf1 xy i

6、n xf2xyx 1 dy4. Iaf x bf y , dd f x f yaf y bf x , dd f yf x5.x, y dx.cos1，2,11，1,23 1.6.6627 .選(D).積分區(qū)域D x，y x2y2 x，y 0 ,化成直角坐標后故知選(D).8 .選(C).S( 2s( 2) s(1)t(fg0)嗎 0)為1).9 .選(A).fx 0,0 lim00 0，fy 0,00,偏導數(shù)存在.x 0 x取 y kx , lim f x，kxx 0lxm0隨k而異，所以不連續(xù).三、解答題（1014每題10分，15題5分，共55分）10 .由L,視x為自變量，有以x,y,z

7、1, 1,2代入并解出dy,生，得dxdxdy 5 dzdx 4, dx所以切線方程為z 2 T8法平面方程為0,即 8x 10y7z1212.zFxxFzF1F3FyF1F2F3F2F2F3,F2F3F2D在第一象限中的一塊記為D, D在第三象限中的一塊記為2x2sin x yd e dDiD2X2e d sin x yd sin xDiD2所以,原式 e 2.13.用拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)Fx, y,z,222 o 2z x 9y 2zx 3y 3z 5 ,L上的點到平面xoy的距離為|z,它的最大值點，最小值點與 z2的一致,求偏導數(shù)，并令其為零有:F x F z2z 4x 3y解之得兩組解

8、0,0,3z 5x,y,z 118 y0,9y2 2z 0 ,1(1,-,1)；3x,y,z 2 (5, 5,5).所以當3x 1, y ,時，z 13題序一二三四五六七總分得分評卷人考生姓名:學號:專業(yè):填空題（每小題5分，滿分30分）最??；當x 5, y 5時,z 5最大.14.將分成如圖的兩塊,1d1x2Di1的圓記為42y d +D215.由dux, y(_22x yxy2)dx從而知x,y,x arctan 一y12 2x2y22D,另一塊記為D又由y 2y)dy ,有-u x2xy ，推知xy1 (-)2y2y，所以，u x, y,xarctan 一 yC.注：若用湊的辦法亦可:所

9、以，u x, y,x arctan y12 2 x y2y2浙江大學20062007學年春季學期微積分口 »課程期末考試試卷開課學院： 理學院 考試形式：閉卷 考試時間:年 月日所需時間：120分鐘1.直線x y z3在平面2x y 2z 5 0上的投影直線方程為 2362.數(shù)量場 g (x, y, z)yex z2在P(1, J3, 0)點的梯度為U函數(shù) f(x, y,z) ln(xJy2 z2）在P點沿U的方向?qū)?shù)為3.f (x, u), u（3x, x 2y）, f,具有二階連續(xù)偏導數(shù)，則4.5.6.( x, y) | 1 x 1, x3y已知曲面xyz21與橢球面x2-y-3

10、,公共切平面方程為設(shè)函數(shù)f （x）x,1an 2 0 f (x)cosnx dx,（滿分10分）求直線2z2x y z1（滿分10分）計算 dx0221,貝U (x xy ex y )dxdyD21在第一卦限內(nèi)相切，則切點坐標為 9S(x)0,1,2,1222y2o e dy.a0an cosn x2 n 1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程四、（滿分15分）已知z z（x, y）由方程yz3 xez 10確定，試求2z2x五、2 x（滿分15分）設(shè)平面 ：x y 1, d （x, y, z）為曲線x2 z T01-上的點（x, y, z）到平面 的距離，求d （x, y, z）的最大，最小值.

11、六、（滿分15分）如圖是一塊密度為（常數(shù)）的薄板的平面圖形（在一個半徑為R的半圓直一個矩形，矩形的另一邊為 h）,已知平面圖形的形心位于原點2.薄板繞x軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量.(0, 0). 試求：1.徑上拼上長度h;（滿分5分）求證：當t 1, s 0時，成立不等式 ts tint t es.參考解答:3x2x4y zy 2z2. , 3e, e, 0,3.2 f12(312( 2)2)2f2(31222)；4.2-;35.-i", 1, v'3 , V3x ,33 0;6.二.直線:t, yt, z四.五.曲面上點P(x, y,z)則旋轉(zhuǎn)曲面方程:1dx0z(Ql)直線上點(x

12、0, y0, z0), y01x0,Zo1x02(1x)2-2y2e dy1, y102 dy14y22y2dx12e02y2(14y2)dy3z2 xzxe0,13e一 、1 d(x, y, z) 2 |x y1|最小距離:d(J3，W，-23)d(_L 2)3 , 3)”J63六.形心:0, xxdxdyDxdxdy0dx hRRxdyRrcosr dr七.設(shè)F(t,s)t In t tests,F(1, 0) 0且對固定的t 1,lnt, Fs(t,s)0,當s lnt, Fs(t,s) 0,所以,s ln t取得最小值且為0,則 F(t,s) 0,即f (x1、已知y、22y,-) x

13、 yx,則 f (x, y)2、已知，則01x 2e xdxe(1 p)xdx0(A) p 1(B) p4x 2_22， xf (x,y)xy7 數(shù)0, x是因為該函數(shù)(b(A)在原點無定義(B)無定義(D)在原點二重極限/c ).在原點有二重極限，但2 23、函數(shù)Mx，£ xxy y y e dx與1 xlnp 1x均收斂，則常數(shù)p的取值范圍是( (C)1 p 2(D) py2 0y2 0在原點間斷，).在原點二重極限不存在(C)E，但不等于函數(shù)值在點取得極值.4、已知 f (x，y) x (x arctan y)arctan y ，則 fx(1,0) 3x5、以y (C1 C2x

14、)e (C1，C2為任意常數(shù))為通解的微分方程是11小x2 y2 dxdy 128、若x2 y2 1,31 x2 y2dxdy222 x2 y2 4則下列關(guān)系式成立的是(a).(A) I1 I2 I3 (B) I2 I1 I3 (C)I 1 I 2 I3(D)3x9、方程y 6y 9y 5(x 1)e具有特解(d ).(A) y ax b (B)y (ax b)e3x(C)/23xy (ax bx)e(D)32、_ 3xy (ax bx )e_ 2n _an( 1) an10、設(shè)n1 收斂，則n 1( d ).(A)絕對收斂(B)條件收斂(C) 發(fā)散 (D) 不定一、填空題(每小題3分，共15

15、分)x2(1 y)_1 21、1 y . 2、1 3、( 3,3). 4、1. 5、y" 6y' y 0.3 3211、求由y x , x 4, y 0所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積.解：y x的函數(shù)為4y3dy80)0(3分)(422y")2dy16 (82y3,y 。且x 4時，y8。于是（6分）12、2lim 2xx 02求二重極限y °，x2_yy2 1 1解:limx 0原式 y 0(x2y2)( x2 y2 1 1)13、1285127(3lim( . x2x 0y 0y2 11)(6z z(x,y)由 zxy確定，求解：設(shè) F（x，y，z）

16、y,FzFyFzy1 ezFyFzx r-ezy1ez(1 ez)211ez(1ze xyez)214、用拉格朗日乘數(shù)法求1在條件x解：z(1x)2 12x22x4xx0,得11dy15、計算2xeydx3 7 7y分）(3(61下的極值.12為極小值點.(3128分）分）（一,1）一1x下的極小值點為2 2，極小值為2 （6分）7面0)I解：ydy y2exy.3ydx -e8(66、計算二重積分(x2D2、y ）dxdy，其中d是由y軸及圓周x2y1所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域.解:22(x y )dxdyD1 3r dr0(6分）17、解微分方程y解：令p y,yp，方程化為x,于是ex

17、(xx1)eCi(x 1)Gex(3y pdx(x1) Gexdx2(x1)2Ciex C2(6分)（n318、判別級數(shù)n 1.n3 1）的斂散性.n3 1,n3 1解：,n3(3分）因為19、解:20、limn一 n、nlim n.n3 1,n3 1將函數(shù)3 x展開成x的幕級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間.由于1那么3 x13n3 ,已知1 nQn 1 xn 0 3(3分)3x3(6某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告分.根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入R （萬元）與電臺廣告費用x1（萬元）的及報紙廣告費用為（萬元）之間的關(guān)系有如下的 經(jīng)驗公式：22R 15 14x1 32x2 8x1x2 2x

18、1 10x2求最優(yōu)廣告策略解：公司利潤為X2 15 13xi2231x2 8x1x2 2x1 10x2Lxi令Lx213318x2 4x18x1 20x20,Q即4x1 8x28x1 20x213,31,得駐點3 5(x1,x2)(4,4)(0.75,1.25),而(3ALx1x14 0 B Lg 8 CLx2x220D AC B2 80 64 0 ,所以最優(yōu)廣告策略為：四、電臺廣告費用0.75（萬元），報紙廣告費用證明題（每小題5分，共10分）1.25(萬元).(621、設(shè)z1ln(x31y3z x- ），證明：x證:22、證:1、2、3、4、1 x3 xx31 , y33yx31y32Un

19、由于0 (Un并由題設(shè)知(Un從而n 1f(x設(shè)已（2）2Vn1都收斂，則n(Un1Vn)2收斂.2Vn)2Un n 1Vn2unVn2(u2 v2)(32Vn1都收斂，則n 1_222(Un Vn)收斂,Vn）2收斂。(6y,y) x、 C 2設(shè)函數(shù)f(x,y) 2x，則 f （ x，y）5(-)2 =2 cax xy 2 y 在點(1,1）取得極值，則常數(shù)已知 f(x, y) x y(x 4 arctan y),則 fx(1,0)x3x5、以yC1eC2e （C1，C2為任意常數(shù)）為通解的微分方程是e dX e pxdx. -p6、已知0 與1 xln x均收斂,則常數(shù)p的取值范圍是（）.

20、(A) p 0(B) p 0(C) p 1(D)0 p 1227、對于函數(shù) f（x，y） x y ,點（0，0）（）.（A）不是駐點（B）是駐點而非極值點2Il (x y) d8、已知 d().(A) I1 I2(B)（C）是極大值點 （D）是極小值I2 (x y)3d22d，其中 d 為(x 2) (y 1)1,則11 I 2(C)11 I 2(D)11 I 22x .一9、方程y 5y 6y xe具有特解（）.(A) y ax b (B)y (ax b)e2x(C) y(ax2 bx)e2x(D)/ 3(ax,2 2xbx )e（1）n2n%an10、級數(shù)n 1收斂，則級數(shù)n 1（）.（A

21、）條件收斂（B）絕對收斂（C）發(fā)散 （D）斂散性不定311、求y x,y 0, x 2所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積12、求二重極限網(wǎng)(xsin y 0 y1 y sin-) xz arctan士13、設(shè)1 xy,求 x14、用拉格朗日乘數(shù)法求f（x,y） xy在滿足條件x y 1下的極值.15、計算1dx010 xexydy16、計算二重積分： x2 y2dxdy22，其中D是由y軸及圓周x （y 1）1所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域.17、解微分方程xy18、n!判別級數(shù)n1的斂散性.19、f（x） 將函數(shù)x展開成（x 3）的幕級數(shù).20、某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，單位售價分別為40元和60

22、元，若生產(chǎn)x單位甲22、產(chǎn)品，生產(chǎn)y單位乙產(chǎn)品的總費用為20x 30y 0.1（2x2xy 3y）100,試求出甲、乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時該工廠取得最大利潤21、設(shè) u ln . x22z，證明22uu22xy2 u2z22、a2b2若n 1 與n 1都收斂，則n 1anbn收斂.（可能會有錯誤大家一定要自己核對） 一、填空題（每小題3分，共15分）1、設(shè) z x y f(x y)，且當 y 0時，z x2,則 z 022(x 2xy 2y y)dx12、計算廣義積分1 /=o (2)3、設(shè) z exy,則 d'。o (e(dx dy)2 x22x4、微分方程y 5y 6y xe具有

23、形式的特解.(ax bx)e),11、run4Un 1。（1）5、設(shè) n 1 ，則 n 1 22 二、選擇題（每小題3分，共15分）1、-223sin(x y ) lim x 0x2y2y 0的值為D.不存在2、fx（x。，y。）和fy（x0，y。）存在是函數(shù)f（x，y）在點（沏，y。）可微的（aA.必要非充分的條件；B.充分非必要的條件;C.充分且必要的條件；D.即非充分又非必要的條件。3、由曲面z22寸4 x y和z220及柱面x y1所圍的體積是(D2dA. 02or .4 r dr0 ；B.4 02 d.4 r2dr0 ；2dC、0.4 r2 dr0 ；D.4 2d04、設(shè)二階常系數(shù)非

24、齊次線性方程pyqyf（x）有三個特解yixy2e ，y32x e，則其通解為（C）。A.xC1 e2xC?eB.C1xC2exC3e2x ；C.Ci(e2xX、e ) C2(x e )；D.Ci(e2xe )2 x 、C2 (ex)5、無窮級數(shù)(D)A、收斂 B、絕對收斂 C 、發(fā)散、無法判斷三、計算題（每小題6分，共60分）xylim0 -1、求下列極限：；0 Jxy n 1p1 n （p為任意實數(shù)） 1。1M一limxy(-xy 1 1)（3分）解：y °° xy 1 1 x 0 (xy D 1lim( . xy 1 1) 1 1y 0分）2、求由解：Vxy隊與直線x

25、 1、x ：（、,x）2dx4、y 0所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。(4分）7.5(6分)3、求由ez xyz所確定的隱函數(shù)zz z(x,yq偏導數(shù)x解：方程兩邊對x求導得:z zzz yze yz xy x ' x,有 x exyzx(z 1)（3分）方程兩邊對y求導得:z xz xy z xzy,有yxyzy(z 1)（6分）一 、324、求函數(shù) f(x,y) x 4x2xy2y的極值。3, 2-解：f (x, y) x 4x 2xyfx(x, y) 3x28x2y,fy(x, y) 2x 2yfxx(x,y) 6x8,fxy(x, y) 2fyy(x, y) 2,求駐點，解方

26、程組3x22x8x 2y 0,2y 0，得(0,0)和(2,2).（2分）對(0,0)有 fxx(0,0)8 0fxy(0,0)2 fyy(0,0)（4分）于是B2 AC 12 0,所以（0，0）是函數(shù)的極大值點，且f（0，0）)對(2,2)有 fxx(2,2)4, fxy(2,2) 2, fyy(2,2)2 于是B2 AC 12 0, （2,2）不是函數(shù)的極值點。-d6、計算積分d x ，其中D是由直線y x,y 2x及x 1,x 2所圍成的閉區(qū)域;4解：d x2dxi2x-dy x(4分）29xdx 一14(6分)7、已知連續(xù)函數(shù)xf(x)滿足 0 f dt 2xf(x) x,且 fd)

27、0,求 f(x)0解：關(guān)系式兩端關(guān)于x求導得: /、1-、f(x) 2f(x) 2xf (x) 1 即 X 元(X12x（2分）這是關(guān)于f （x）的一階線性微分方程，其通解為:1 c(x c) 1 二 x' x（5分）又 f（1） 0,即 cf(x)1 0,故c 1,所以（6分）y8、求解微分方程2 y21 y =0 o解：令yp,則dpp ；一、八，dy ,于是原方程可化為:dpp - dy（3分）dp 即dy,其通解為p Ge.Ady1y G(y 1)2（5分）dy G(y i)2 dx-dy2 c1dx 即(y 1)故原方程通解為:分）1 L.Gx c2(x 2)n9、求級數(shù)n

28、1赤的收斂區(qū)間。解：令tx 2,募級數(shù)變形為tnn 1 3 nRtlim nanan 1（3分）分）st那么（1）1時，級數(shù)為n 01斷收斂;11時，級數(shù)為口1沛發(fā)散.tn13 n的收斂區(qū)間是It 1,1）(x 2)nn 1標的收斂區(qū)間為Ix 1,3）10、判定級數(shù)n 1sin（2n x）n!是否收斂，如果是收斂級數(shù),件收斂。解：因為分）（6分）指出其是絕對收斂還是條sin(2n x)n!工n!(2lim n由比值判別法知n1n!收斂（Q1(n 1)!1n!),(4分）從而由比較判別法知n1分）sin(2n!四、證明題（每小題5分，共10分）x)收斂,所以級數(shù)sin(2n x)1 n! 絕對收

29、斂.(61、設(shè)正項級數(shù)n1un unun 1收斂，證明級數(shù)n 1也收斂。、十unun 1證：1, 2(unun 1 )分）而由已知1 2(unun 1） 一收斂，故由比較原則,Junun1也收斂。分）z2、設(shè)y f(x2證明：因為 x(2分)分）2、y），其中f（u）為可導函數(shù)，證明2xyfff 2y2ff21 z 2yf f 2y2fyf21yfz2 y(4（5分）、填空題（每小題3分，共15分）1、設(shè) z x y f (yx），且當x0時,22x 2xy 2x y2、計算廣義積分dx2 x。（1）3、設(shè)z 1n(1x2y2),則 dz(1,2)1 一 dx(32一 dy 33x4、微分方程

30、y 6y 9y 5（x 1）e具有形式的特解.（ax3,2 3xbx )e )3n 15、級數(shù)n 1 9 n的和為5(8)A、0 B 、3 C 、2 D、不存在二、選擇題（每小題3分，共15分）-223sin(x y )lim 1、的值為x 0x2p _、. 5、無窮級數(shù)n1 n （ P為任意實數(shù)）y2y 02、fx（x, 6和fy（x,y）在（x0,y"存在且連續(xù)是函數(shù)f（x, y）在點（x0,y"可微的A.必要非充分的條件;B.充分非必要的條件;C.充分且必要的條件;D.即非充分又非必要的條件。3、由曲面z4 x2 y2和z220及柱面x y4所圍的體積是2A. 0r

31、.4 r2dr0B.02dr，4 r2dr0 ；2C、002.4 r2drD.02do'4 r2dr4、設(shè)二階常系數(shù)非齊次微分方程pyqyf（x）有三個特解y1X2y2ex2xy3e,則其通解為（D）C1(ex e2x)C2 (e2xx2)；C1x2C2exC3e2x ；2x2xxCeC?e .CKexe2x) C2(x2xe )(A)A、無法判斷 B 、絕對收斂C收斂D 、發(fā)散三、計算題（每小題6分，共60分）.2 ,xy 4 lim1、求下列極限：；0 xy（3分）lim2 xy 4解0 xy黑0x5 (xyxy*)（6分）iilim xy 02 xy 42 22、求由在區(qū)間0,-

32、 t. 一 I x2上，曲線y s1nx與直線0所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：Vx3訪2xdx（4分）分）3、求由zexyz xy所確定的隱函數(shù)zz（x, y）的偏導數(shù)解：（一）令 F（x,y,z）ze xyz xyyzxz xF ez xy利用公式,yzze xyyz yz e xy（3分）xz xz e xyxz xz e xy（6分）（二）在方程兩邊同時對 x求導，得解出（4分）z yz y同理解出Vxz xz e xy（6分）4、求函數(shù)f（x，y）33x 12xy 8y的極值。33解：f(x,y) x 1(2x y)d解：D 21191(2y1和d5xy 8y ,則fx(x,

33、y) 3x2212yfy(x, y) 24y 12xfxx(x,y) 6xfxy(x,y)12fyy(x, y) 48y,求駐點，解方程組23x2 12y 0,一 .224y12x 0,得(0,0)和(2,1).（2分）對(0,0)有 fxx(0,0)0fxy(0,0)12 fyy(0,0)0（4分）對(2,1)有 fxx(2,1)12fxy(2,1)12fyy(2,1) 482于是B AC1441212所以函數(shù)在MG點取得極小值，f(2,1) 23128 138（6分）于是B2 AC 144 0 ,所以（0,0）點不是函數(shù)的極值點.（5分）(2xy)d6、計算二重積分，其中D是由1x, yx

34、及y 2所圍成的閉區(qū)域;（4分）ydy ”2x y)dxy（6分）7、已知連續(xù)函數(shù)xf(x)滿足 0f(t)dt 2f(x)x °,求 f(x)0解：關(guān)系式兩端關(guān)于x求導得:（2分）f (x) 1f (x)1f(x) 2f (x) i 0即() 2 ( )2這是關(guān)于f （x）的一階線性微分方程，其通解為:x xx（5分）e 2 (e2 c) i ce 2x（6分）又 f（°）。，即 01 c,故c 1 ,所以 f（x） 12、8、求微分方程（i x）y 2xy 0的通解。解 這是一個不明顯含有未知函數(shù) y的方程作變換令dy pdx,2.d y dp2,則dx dx ,于是原

35、方程降階為-2、dp(1 x )2 px 0dx（3分）dp分離變量p-2x2 dx1 x ,積分得ln p ln(1 x2)In Ci_2p Ci(1 x )dy2dx Ci(1 x)（5分）再積分一次得原方程的通解（6分）3 x Ci(x ) C 3n（x 3）9、求級數(shù)n 1 7n的收斂區(qū)間。解：令ttnx 3,募級數(shù)變形為n i Vnlimn（3分）i時，級數(shù)為no（i）n2n收斂;i1時，級數(shù)為niU：發(fā)散.tniJn的收斂區(qū)間是It i,i）,分）(x 3)n那么n 1 忑 的收斂區(qū)間為 卜2,4）（6分）10、判定級數(shù)n 1cos（n x）n!是否收斂，如果是收斂級數(shù)，指出其是絕

36、對收斂還是條件收斂:解：因為cos(n x)n!(2分）limn由比值判別法知n i n!收斂（Q1(n 1)!1n!),(4分）從而由比較判別法知n1cos(n x)n!收斂,所以級數(shù)cos(n x)i n!絕對收斂.（6分）四、證明題（每小題5分，共10分）2an1、設(shè)級數(shù)n 1 收斂，證明n*n 0)也收斂。證:由于I an I 12二1 2(an分）2an1n2都收斂,122 (an為收斂，由比較原則知ann收斂.o（5分）z2、設(shè)2cos2(x -)2 ,證明:2z-0x t 0證明：因為2 2cos(x ；)sin(xt 12) ( 2) sin(2x t)（2分）cos(2xt)

37、22zz2cos(2x t)2 t xt（4分）(5分)中南民族大學06、07微積分（下）試卷及06年砥評 分閱卷 人2y,則 f(x，y)y2f (x y,2) x1、已知x2、已知，則1x 2e xdx03、函數(shù) f(x，y) x2 xy2y y 1在點取得極值.4、已知 f（x，y）、選擇題（每小題3分，共15分）評 分閱卷 人(1 p)xde dx7知0 e x與1 x1npi均收斂,則常數(shù)p的取值范圍是（).(A) p 1(B)p 1(C)1 p 2(D) p 2f (x, y)8數(shù)4x22x y0,2 x2 x2 y2 y00在原點間斷,是因為該函數(shù)().(A)在原點無定義(B)在

38、原點二重極限不存在(C)在原點有二重極限，但無定義(D)在原點二重極限存在，但不等于函數(shù)值I18、若3 1 x2 y2dxdy 1213 1 x2 y2dxdy1 x2 y2 2).(A) y ax b (B)3xy (ax b)e23x(C) y (ax bx)e (D)/ 3(ax,2 3xbx )e1331 x2 y2dxdy).2 x2 y2 4，則下列關(guān)系式成立的是(A) I1 I2 I3(B)(C) I1 I2 I3(D)3x9、方程y 6y 9y 5(x 1)e具有特解(_ 2n _an( 1) an10、設(shè)n 1 收斂，則n 1().(A)絕對收斂 (B)條件收斂(C)發(fā)散 (

39、D)不定三、計算題(每小題6分，共60分)x 4,y 0所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積評閱人lim22x y22-y 1 1zi dy22z x yy2eydxxy確定，求1在條件x y 1下的極值.y2)dxdy22,其中D是由y軸及圓周x y1所圍成的在第一象16、計算二重積分x.n3 1)(x2D18、判別級數(shù)n 1的斂散性.19、將函數(shù)3 x展開成x的幕級數(shù),并求展開式成立的區(qū)間20、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告.根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入R（萬元）與電臺廣告費用x1（萬元）的及報紙廣告費用 經(jīng)驗公式：x2（萬元）之間的關(guān)系有如下的求最優(yōu)廣告策略.R 15 14x13

40、2x28x1x22x1210x2四、證明題（每小題5分，共10分）評 分1y3)2Vn22、若n 1 與n 1者瞰斂，則n 1(Unvn)2收斂.答案一、填空題（每小題3分，共15分）x2（1 y）1、1y. 2、1 3、(1 2)3,3). 4、1.y" 6y' y 0二、選擇題（每小題3分，共15分）6、（C ）. 7、（B）. 8、（A ） . 9、（D）. 10 、（D）.三、計算題（每小題6分，共60分）11、32求由y x , x0所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積.解:3yx2的反函數(shù)為2y3，y 0。且x4時，y8。于是12、lim x 0求二重極限y 0 2

41、x-2 x2_yy2 1 1解:limx 0原式 y 0(x2y2)( x2 y21 1)1(313、網(wǎng)(x2y oy2 11)(6分）z z(x,y)由 zxy確定，求解：設(shè) F（x，y，z）Fxy,FyFzFxFzy1 ezFyFz_x_1 ezxze (3 分)y1 ez(1 ez)211 ezze xy(1z、2 e )(6分)14、用拉格朗日乘數(shù)法求1在條件x1下的極值.解：z(1x)2 12x22x4x0,得12為極小值點.(3 分)（,）x下的極小值點為2 2，極小值為2 （6分）11dy15、計算2xeydxI 解：1dy2y2eydx-e22(6分）,22、，（x y ）dxdy2216、計算二重積分d，其中d是由y軸及圓周x y 1所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域.22.(6分)解：d(X y)dXdy=：d Yd” 17、解微分方程y y x.解：令p y,y p，方程化為p p x,于是xx _ xe (x 1)eCi(x 1) Ge(3分)v1