高一數(shù)學例析求函數(shù)值域的方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上例析求函數(shù)值域的方法 曲靖市民族中學 張小瓊 求函數(shù)的值域常和求函數(shù)的最值問題緊密相關，是高中數(shù)學的重點和難點。注意：求值域要先求定義域。雖然沒有固定的方法和模式，但常用的方法有：一、直接法：從自變量的范圍出發(fā)，推出的取值范圍。例1：求函數(shù)的值域。解：，函數(shù)的值域為。二、圖像法：對于二次函數(shù)在給定區(qū)間求值域問題，一般采用圖像法。例2：求函數(shù)（）的值域。(開口方向；區(qū)間與對稱軸的關系)三、中間變量法：函數(shù)式中含有可以確定范圍的代數(shù)式。例3：求函數(shù)的值域。解：由函數(shù)的解析式可以知道，函數(shù)的定義域為（定義域優(yōu)先原則），對函數(shù)進行變形可得，（特殊情況優(yōu)先原則）（，），函數(shù)的值

2、域為例4：求y= （1X3）的值域。解：y Þ x1X3 13 （怎么求解？）Þ y,四、分離常數(shù)法：分子、分母是一次函數(shù)的有理函數(shù)，可用分離常數(shù)法，此類問題一般也可以利用反函數(shù)法。例5：求函數(shù)的值域。解：（此處要先求定義域），函數(shù)的值域為。五、換元法：運用代數(shù)代換，獎所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域，形如（、均為常數(shù)，且）的函數(shù)常用此法求解。例6：求函數(shù)的值域。解：(求值域先求定義域)令（）（引入新元要標注范圍），則，（）（你看：沒有標注范圍的話這里就會出錯）（再利用數(shù)形結(jié)合法）當，即時，無最小值。函數(shù)的值域為。例7：求y2x3的值域解：(求值域先

3、求定義域)令t，則t0（引入新元要標注范圍），且2x(13t2)yt2tt(t1)244（t0）（這里最好利用數(shù)形結(jié)合法）y（，4例8 求函數(shù)的值域。解：函數(shù)的定義域為(求值域先求定義域)，令，那么（引入新元要標注范圍），（t0）（這里最好利用數(shù)形結(jié)合法）當即也即時，函數(shù)有最大值；函數(shù)無最小值。函數(shù)的值域為。點評：對于形如（、為常數(shù)，）的函數(shù)，我們可以利用換元法求其值域，同時還利用了圖像法。特別注意：引入新的變量時要標注其范圍。例9 求函數(shù)的值域 分析：該題比較難處理的是根號，如果將根號看作是一個整體，那么， 則原函數(shù)就可以寫成一個二次函數(shù)的形式，用配方法就可以求出其值域。 解：(求值域先求定

4、義域)令，則 （） 于是原函數(shù)變?yōu)?（再利用數(shù)形結(jié)合法） ， 即值域為。 評注 形如 的函數(shù)均可用此法（換元、圖像）求值域。六、判別式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關于的二次方程；通過方程有實數(shù)根，判別式，從而求得原函數(shù)的值域，形如（、不同時為零且定義域為）的函數(shù)的值域，常用此方法求解。例10：求函數(shù)的值域。解：定義域為：由變形得，當時，此方程無解；（特殊情況優(yōu)先）當時，說明方程至少有解，解得，又，函數(shù)的值域為例11：求y的值域。例12： 求函數(shù)的值域。解：定義域為：說明方程至少有解可化為當即時，方程在實數(shù)范圍內(nèi)有唯一解；當即時，即解得，函數(shù)的值域為例13.求y=的值域。分析：定義域為：原函數(shù)解析式變?yōu)椋?

5、y+1)x2-x+2y+2=0,當y=-1時，x=0成立；當y-1時，此方程的判別式0解出y-1-,-1+。點評：（1）此法適用0）型的函數(shù)；（2）在解題過程中注意對二次項系數(shù)是否零的討論；（3）有兩種情況不采用此法。(一是X有限制；二是分子分母有公因式)七、函數(shù)的單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域（或某個定義域的子集）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域。例14：求函數(shù)的值域。解：(求值域先求定義域)當增大時，隨的增大而減少，隨的增大而增大，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)。，函數(shù)的值域為。八、數(shù)形結(jié)合法：函數(shù)圖像是掌握函數(shù)的重要手段，利用數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)函數(shù)圖像求得函數(shù)值域，是一種求值域的重要方法。例15：求函數(shù)

6、的值域。解： ，的圖像如圖所示，由圖像知：函數(shù)的值域為例16：求函數(shù)的值域。(還記得以上兩題的結(jié)論嗎？)九、反函數(shù)法（利用原函數(shù)與反函數(shù)的關系求解）。二次函數(shù)訓練題一、 實際應用題1、某超市為了獲取最大利潤做了一番試驗，將進貨單價為8元的商品按10元一件出售時，每天可銷售60件，現(xiàn)在采用提高售價減少進貨量的辦法來增加利潤，已知這種商品每漲1元，其銷售量就要減少10件，問該商品售價定為多少元時，才能賺得最大利潤，并求出最大利潤。2、某工廠計劃出售一種產(chǎn)品，經(jīng)銷人員并不是根據(jù)生產(chǎn)成本來確定這種產(chǎn)品的價格，而是經(jīng)過對經(jīng)營產(chǎn)品的零售商對于不同的價格情況下他們會進多少貨進行調(diào)查，通過調(diào)查確定了關系式，其

7、中是零售商進貨的數(shù)量，為零售商愿意支付的每件價格，現(xiàn)估計這種產(chǎn)品生產(chǎn)一件的材料和勞動生產(chǎn)成本費用為4元，并且工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總固定成本為7000元（固定成本是除材料和勞動費用外的其它費用）。為獲得最大利潤，工廠應對零售商每件收取多少元？ 3、（2003北京高考題）某租賃公司擁有汽車100輛，每輛車的月租金為3000元時，可全部租出，當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加1輛，租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛需要維護費50元。（1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？（2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？二、求出

8、區(qū)間上的最大值或最小值。（最值、值域問題）1、定區(qū)間動軸問題（1）求函數(shù)的最大值與最小值的表達式。（2）已知函數(shù)在時有最大值2，求的值。（3）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值3，最小值2，求得取值范圍。（4）已知若在上的最大值為最小值為，另。求的函數(shù)表達式；判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的最小值。2、動區(qū)間定軸求最大值或最小值。已知函數(shù)，求的最小值的表達式二次函數(shù)訓練題答案1、某超市為了獲取最大利潤做了一番試驗，將進貨單價為8元的商品按10元一件出售時，每天可銷售60件，現(xiàn)在采用提高售價減少進貨量的辦法來增加利潤，已知這種商品每漲1元，其銷售量就要減少10件，問該商品售價定為多少元時，才能賺得最大利潤，并求

9、出最大利潤。2、某工廠計劃出售一種產(chǎn)品，經(jīng)銷人員并不是根據(jù)生產(chǎn)成本來確定這種產(chǎn)品的價格，而是經(jīng)過對經(jīng)營產(chǎn)品的零售商對于不同的價格情況下他們會進多少貨進行調(diào)查，通過調(diào)查確定了關系式，其中是零售商進貨的數(shù)量，為零售商愿意支付的每件價格，現(xiàn)估計這種產(chǎn)品生產(chǎn)一件的材料和勞動生產(chǎn)成本費用為4元，并且工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總固定成本為7000元（固定成本是除材料和勞動費用外的其它費用）。為獲得最大利潤，工廠應對零售商每件收取多少元？ 3、（2003北京高考題）某租賃公司擁有汽車100輛，每輛車的月租金為3000元時，可全部租出，當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加1輛，租出的車每輛每月需要維護費

10、150元，未租出的車每輛需要維護費50元。（1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？（2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少解：（）當每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數(shù)為所以這時租出了88輛車. 4分 （）設每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為，8分整理得.所以，當x=4050時，最大，最大值為，11分答：當每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益為元4、已知二次函數(shù)滿足且方程有等根。（1）求的解析式；（2）求的值域；（3）是否存在實數(shù)、，使得的定義域和值域分別為，和，4. 若存在，求出、的值；若不存在，請說明理由。解：（1） 即 又 即 有等根 即 4分 （2） 函數(shù)的值域為（， 7分 （3）設有實數(shù)、使定義域為m,n，值域為4m,4n 當 10分上是增函數(shù)，則 12分由于 二、求出區(qū)間上的最大值或最小值