樣本均值的分布

1、樣本均值的分布樣本均值的分布特別地,對(duì)樣本均值 nNXnXnii21,1 則 niiniiniiiNX12211, 定理定理2.12.1：若),(,221 NXXXn 2 常用的抽樣分布常用的抽樣分布標(biāo)準(zhǔn)化： 1 ,0/NnX 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，較多的使用正態(tài)總體，其樣本在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，較多的使用正態(tài)總體，其樣本 的統(tǒng)計(jì)量的分布很重要。的統(tǒng)計(jì)量的分布很重要。),(,221 NXXXn統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.（定理一）（定理一）的概率不小于90%,則樣本容量至少取多少?例例 設(shè)(72 ,100)XN ,為使樣本均值大于70解解 設(shè)樣本容量為 n , 則)100,72(nNX故

2、)70(1)70(XPXPn1072701n2 . 0令9 . 02 . 0n得29. 12 . 0n即6025.41n所以取42n三個(gè)抽樣分布三個(gè)抽樣分布).(,)1, 0(,22222221221nnXXXNXXXnn 記為記為分布分布的的服從自由度為服從自由度為則稱統(tǒng)計(jì)量則稱統(tǒng)計(jì)量的樣本的樣本是來自總體是來自總體設(shè)設(shè) )(2卡方分布卡方分布分布分布 1.分布的概率密度為分布的概率密度為：定理定理)(2 . 22n 000 ,e)2(21)(21222xxxnxxnn .)(2圖圖分布的概率密度曲線如分布的概率密度曲線如n 例例 設(shè)總體 的樣本,26542321)()(XXXXXXY) 1

3、 , 0( NX16,XX為總體 X 試確定常數(shù) c , 使 cY 服從2分布.解解) 3 , 0 (, ) 3 , 0 (654321NXXXNXXX) 1 , 0 (31,31654321NXXXXXX265423213131XXXXXX故因此1/3.c)2(312Y性質(zhì)性質(zhì)1.2)(,)(),(2222nDnEn 則則若若證明證明),1, 0( NXi因?yàn)橐驗(yàn)? 1)()(2 iiXDXE所以所以2242)()()(iiiXEXEXD , 213 ., 2, 1ni niiXEE122)( 故故 niiXE12)(,n niiXDD122)( niiXD12)(.2n )(2分布的數(shù)學(xué)期

4、望和方差分布的數(shù)學(xué)期望和方差 分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)2 , 3d21)(2244 xexXExi ., 2, 1ni 分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)2 性質(zhì)性質(zhì)2).(,),(),(2122221222122221221nnnn 則則立立獨(dú)獨(dú)并且并且設(shè)設(shè))(2分布的可加性分布的可加性 ( 此性質(zhì)可以推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形此性質(zhì)可以推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形. ).(,), 2, 1(),(21212222mmiiiiinnnmin 則則獨(dú)立獨(dú)立相互相互并且并且設(shè)設(shè)定理定理2.3：.(2);1()1(1),),(,22222221獨(dú)獨(dú)立立與與則則有有方方差差分分別別是是樣樣本本均均值值和和樣樣本本的的樣樣本

5、本是是總總體體設(shè)設(shè)SXnSnSXNXXXn 正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布（定理二）正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布（定理二）).(, /,),(),1, 0(2ntTtnnYXTYXnYNX記為記為分布分布的的服從自由度為服從自由度為則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量獨(dú)立獨(dú)立且且設(shè)設(shè) t 分布又稱分布又稱學(xué)生氏學(xué)生氏(Student)分布分布. xnxnnnxtn,1221)(212分布的概率密度函數(shù)為分布的概率密度函數(shù)為定理：定理：)(nt分布分布t2.圖圖分布的概率密度曲線如分布的概率密度曲線如t.0對(duì)稱的對(duì)稱的顯然圖形是關(guān)于顯然圖形是關(guān)于 t當(dāng)當(dāng) n 充分大時(shí)充分大時(shí), 其其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)

6、正圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量概率密度的態(tài)變量概率密度的圖形圖形.,e21)(lim22xnxt 因因?yàn)闉?)1, 0()45(分布分布分布近似于分布近似于時(shí)時(shí)足夠大足夠大所以當(dāng)所以當(dāng)Ntnn .)1 , 0(,分布相差很大分布相差很大分布與分布與但對(duì)于較小的但對(duì)于較小的Ntn例例 設(shè)r.v. X 與Y 相互獨(dú)立，X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 與Y1, Y2 , Y16 分別是取自 X 與 Y 的簡單隨機(jī)樣本, 求統(tǒng)計(jì)量1292221216XXXZYYY所服從的分布.解解)169, 0(921NXXX)1, 0()(431921NXXX16, 2, 1,) 1

7、, 0(31iNYi)16(3122161iiY16314311612921iiYXXX)16( t2162221921YYYXXX從而).1(/,),(,2221 ntnSXSXNXXXn 則有則有方差方差分別是樣本均值和樣本分別是樣本均值和樣本樣本樣本的的是總體是總體設(shè)設(shè)證明證明),1 , 0(/NnX 因?yàn)橐驗(yàn)?,1()1(222 nSn 且兩者獨(dú)立且兩者獨(dú)立, 由由 t 分布的定義知分布的定義知)1()1(/22 nSnnX ).1( nt定理定理2.5：正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布（定理三）正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布（定理三）例例 設(shè)12(,)nXXX 是來自N ( ,

8、 2 )的簡單隨機(jī)樣本, X是樣本均值,)(111221niiXXnS,)(11222niiXXnS,)(111223niiXnS,)(11224niiXnS則服從自由度為n - 1的t 分布的隨機(jī)變量為1)A(1nSX1)B(2nSXnSX3)C(nSX4)D(則有則有設(shè)設(shè)且這兩個(gè)樣本互相獨(dú)立且這兩個(gè)樣本互相獨(dú)立的樣本的樣本相同方差的兩正態(tài)總體相同方差的兩正態(tài)總體分別是具有分別是具有與與設(shè)設(shè),)(11,)(111,1,),(, ),(,2121211222212121121122212121 niiniiniiniinnYYnSXXnSYnYXnXNNYYYXXX 定理定理2.6：正態(tài)總體的

9、樣本均值與樣本方差的分布（定理四）正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布（定理四）.,2)1()1(),2(11)()(2212222112212121 SSnnSnSnSnntnnSYX 其中其中為第二自由度。為第二自由度。為第一自由度，為第一自由度，其中其中記為記為分布分布的的服從自由度為服從自由度為變量變量則稱隨機(jī)則稱隨機(jī)獨(dú)立獨(dú)立且且設(shè)設(shè)212121212212).,(,),(/,),(),(nnnnFFFnnnYnXFYXnYnX 分布分布F3.),(/1 1212nnFnXnYF 由定義可知：隨機(jī)變量由定義可知：隨機(jī)變量分布的概率密度為分布的概率密度為：定理定理),(.7221nnF .0 ,0,0,1222)(2212112212121211xxxnnnnxnnnnnnxfnnn則有則有互相獨(dú)立互相獨(dú)立且這兩個(gè)樣本且這兩個(gè)樣本的樣本的樣本正態(tài)總體正態(tài)總體分別來自分別來自與與設(shè)設(shè),),(, ),(,222211212121 NNYYYXXXnn定理定理2.8：正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布（定理五）正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布（定理五）)1, 1(/2122212221 nnFSS .)(11 ,)(11 211222212121 niiniiYYnSXXnS其中其中證明：證明：),1()1(1221211 nSn ),1()1(2222222