由圖形的軸對稱性看角平分線

1、 專題三 由圖形的軸對稱性看角平分線、中垂線的應(yīng)用（3）一.教學(xué)目標(biāo)：1知識與技能:進(jìn)一步理解軸對稱變換,掌握用軸對稱作圖解決一類幾何極值問題的方法.2過程與方法:經(jīng)歷“實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題求解與應(yīng)用”的基本過程，體會軸對稱變換在解決問題時的轉(zhuǎn)化作用.3情感價值觀:進(jìn)一步體會軸對稱在實(shí)際中的廣泛應(yīng)用,感受數(shù)學(xué)活動充滿探索與創(chuàng)造.二教學(xué)重點(diǎn)：掌握用軸對稱作圖解決一類幾何極值問題的方法.三教學(xué)工具：幾何畫板.四教學(xué)內(nèi)容：引入：如圖，要在河邊修建一個水泵站，分別向張村、李莊送水.水泵站修在河邊什么地方，可使所用的水管最短？例1.已知：如圖1，直線a與a同側(cè)兩點(diǎn)A、B.求作：點(diǎn)C，使C在直線a上，并且AC

2、+CB最小. 圖1 圖1-1設(shè)計(jì)思想：要求學(xué)生掌握一類幾何極值問題的作圖方法.先找到A點(diǎn)關(guān)于直線a的對稱點(diǎn)A,再連接BA交直線a于C點(diǎn),這樣B,C,A三點(diǎn)在一條直線上,根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最段”可知, CA+CB最小,由于A和A點(diǎn)關(guān)于直線a對稱,則直線a是線段AA的垂直平分線,則CA=CA,所以可知AC+CB最小.作法:如圖1-1，畫出點(diǎn)A關(guān)于直線a的對稱點(diǎn)A,連結(jié)BA交直線a于C點(diǎn)，則點(diǎn)C為所求例2.如圖1,在一塊三角形區(qū)域ABC中,一只螞蟻P停留在AB邊上,它現(xiàn)在從P點(diǎn)出發(fā),先爬到BC邊上的點(diǎn)M,再從點(diǎn)M爬到AC邊上的點(diǎn)N,然后再回到P點(diǎn),請?jiān)趫D上作出M、N點(diǎn),使得螞蟻爬行的路程最短. 圖1

3、 圖1-1 設(shè)計(jì)思想：例2是例1作圖方法的引申應(yīng)用.作法：如圖1-1，畫出點(diǎn)P關(guān)于BC的對稱點(diǎn)P，再畫出點(diǎn)P關(guān)于AC的對稱點(diǎn)P，連結(jié)PP,交BC于M點(diǎn)，交AC于N點(diǎn)，則PMN的周長最小.例3（宣武）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線是第一、三象限的角平分線(1) 由圖觀察易知A（2，0）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），請?jiān)趫D中分別標(biāo)明B(5,3) 、C(-2,5) 關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)、的位置，并寫出他們的坐標(biāo)： 、 ；(2) 已知兩點(diǎn)D(1,-3)、E(-1,-4)，試在直線l上確定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出Q點(diǎn)坐標(biāo) 圖1設(shè)計(jì)思想：本題設(shè)計(jì)在網(wǎng)格中確定對稱點(diǎn)的坐標(biāo),方

4、便又精確；同時延用例1的作圖方法解決一類幾何極值問題；本題還考察了直線解析式及兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)的確定方法解：（1）圖略.B(3,5)；C(5,-2).(2)D(1,-3)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)D(-3,1),連接ED交直線l于Q點(diǎn).設(shè)直線ED的解析式為y=kx+bE(-1,-4),D(-3,1), -k+b=-4, 解得 k=-,-3k+b=1. b=-.直線ED為y=-x-.當(dāng)x=y時, x=-x-則x= -Q(-,-).例4（09宣武一模）如圖1，矩形OABC的邊OC、OA分別與軸、軸重合，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，點(diǎn)D是AB邊上一個動點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），沿OD將OAD翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處當(dāng)線段OD與PC所

5、在直線垂直時，在PC所在直線上作出一點(diǎn)M，使DM+BM最小，并求出這個最小值 圖1 圖1-1設(shè)計(jì)思想：本題繼續(xù)延用例1的作圖方法解決一類幾何極值問題同時應(yīng)用解直角三角形、線段與坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化等舊知識來解決問題解：如圖1-1，OAD沿OD翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，OD垂直平分AP.PCOD，A、P、C三點(diǎn)共線.在中，OAD=90°，OA=1，又可得：AOD=30°，AD=AO，D.作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作AB于點(diǎn)N，連結(jié)，與AC交點(diǎn)為M，此點(diǎn)為所求點(diǎn).可得：=30°，.在中，=90°，DM+BM的最小值為 五.練習(xí):1在直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)A(-1，1

6、)、B(3，3)，若M為軸上一點(diǎn)，且MA+MB最小，則M的坐標(biāo)是_.2.（06課標(biāo)）已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A（0，3），與x軸分別交于B（1，0）、C（5，0）兩點(diǎn).（1）求此拋物線的解析式；（2）若一個動點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再到達(dá)拋物線的對稱軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后運(yùn)動到點(diǎn)A.求使點(diǎn)P運(yùn)動的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個最短總路徑的長.3.（09北京中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A, B（6,0），C,延長AC到點(diǎn)D，使CD=AC，過D點(diǎn)作DEAB交BC的延長線于點(diǎn)E.（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo).（

7、2）作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)F，分別連結(jié)DF、EF，若過B點(diǎn)的直線將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式.（3）設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn).若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動的速度是它在直線GA上運(yùn)動速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時間最短.（要求：簡述確定G點(diǎn)位置的方法，但不要求證明）參考答案：1（0，0）2.解：（1）根據(jù)題意，c3 所以 解得 所以拋物線解析式為 （2）如圖，由題意，可得 點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為A'（6，3） 連結(jié)A'M'，根據(jù)

8、軸對稱性及兩點(diǎn)間線段最短可知，A'M'的長就是所求點(diǎn)P運(yùn)動的最短總路徑的長 所以A'M'與x軸的交點(diǎn)為所求E點(diǎn)，與直線x3的交點(diǎn)為所求F點(diǎn). 可求得直線A'M'的解析式為 可得E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（3，） 由勾股定理可求出所以點(diǎn)P運(yùn)動的最短總路徑（MEEFFA）的長為.3解：如圖（1）A（，0），C（0，），OA=6，OC=設(shè)DE與y軸交于點(diǎn)M由DEAB可得 DMCAOC又CD=AC，CM =，MD=3 同理可得EM=3 OM =D點(diǎn)的坐標(biāo)為 (3，) （2）由（1）可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）由DEAB，EM=MD，可得軸所在直線是線段

9、ED的垂直平分線點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)F在軸上 ED與CF互相垂直平分CD=DF=FE=EC 四邊形CDFE為菱形，且點(diǎn)M為其對稱中心作直線BM 設(shè)BM與CD、EF分別交于點(diǎn)S、點(diǎn)T可證FTM CSM FT = CS .FE = CD ，TE = SD .EC=DF ，TE+ EC + CS+ST =SD+DF+FT+TS 直線MB將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形由點(diǎn)B的坐標(biāo)（6，0），點(diǎn)M（0，）在直線上，可得直線BM的解析式為 （3）確定G點(diǎn)位置的方法：過A點(diǎn)作AHBM于點(diǎn)H，則AH與y軸的交點(diǎn)為所求的G點(diǎn) 由OB=6，OM=，可得 OBM=60°BAH=30°在RtOAG中，OG=G點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）（或G點(diǎn)的位置為線段OC中點(diǎn)）六.總結(jié):本節(jié)課讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用軸對稱的作圖解決一類幾何極值問題，在知識教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)方法和思想，幫助學(xué)生提高解決問題的能力，自覺增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)來自于實(shí)際，又反過來指導(dǎo)解決實(shí)際問題的意識七.反思:這節(jié)課的難度大，一些學(xué)困生可能會在解題過程中失去信心，而一些好的學(xué)生又覺得沒有意思失去興趣因此在教學(xué)設(shè)計(jì)上，