電動(dòng)力學(xué)郭碩鴻第三版

1、第二章 靜 電 場(chǎng)靜電場(chǎng)：靜止電荷或電荷分布不隨時(shí)間變化產(chǎn)生的電場(chǎng)一主要內(nèi)容：應(yīng)用電磁場(chǎng)基本理論解決最簡(jiǎn)單的問題：電荷靜止或電荷分布不隨時(shí)間變化，產(chǎn)生的場(chǎng)不隨時(shí)間變化的靜電場(chǎng)問題。本章研究的主要問題是：在給定自由電荷分布及介質(zhì)和導(dǎo)體分布的情況下如何求解靜電場(chǎng)。由于靜電場(chǎng)的基本方程是矢量方程，求解很難，并不直接求解靜電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)，而是通過靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)來求解。首先根據(jù)靜電場(chǎng)滿足的麥克斯韋方程，引入標(biāo)勢(shì)，討論其滿足的微分方程和邊值關(guān)系。在后面幾節(jié)中陸續(xù)研究求解：分離變量法、鏡像法和格林函數(shù)法。最后討論局部范圍內(nèi)的電荷分布所激發(fā)的電勢(shì)在遠(yuǎn)處的展開式。知 識(shí) 體 系：引入電勢(shì)：1.靜電場(chǎng)的微分方程： 邊值

2、關(guān)系： 靜電場(chǎng)的能量： 微分方程2.靜電邊值問題的構(gòu)成：邊界條件(由唯一性定理給出)邊值關(guān)系 3靜電邊值問題的基本解法：（1）鏡像法（2）分離變量法條件：電勢(shì)滿足拉普拉斯方程：（3）電多極矩(4) 格林函數(shù)法二內(nèi)容提要：1靜電場(chǎng)的電勢(shì)及其微分方程：（1）電勢(shì)和電勢(shì)梯度因?yàn)殪o電場(chǎng)為無旋場(chǎng),即，所以可以引入標(biāo)量函數(shù)，引入后 電勢(shì)差：空間某點(diǎn)電勢(shì)無物理意義，但兩點(diǎn)間電勢(shì)差有意義選空間有限兩點(diǎn) 參考點(diǎn)：（1）電荷分布在有限區(qū)域，通常選無窮遠(yuǎn)為電勢(shì)參考點(diǎn) （2）電荷分布在無限區(qū)域不能選無窮遠(yuǎn)點(diǎn)作參考點(diǎn)，否則積分將無窮大。電荷分布在有限區(qū)域時(shí)的幾種情況的電勢(shì)（1） 真空中點(diǎn)電荷 無限大均勻線性介質(zhì)中點(diǎn)電荷

3、 ： （2） 電荷組 ： （3） 連續(xù)分布電荷：無窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn) （2）電勢(shì)滿足的微分方程和邊值關(guān)系泊松方程： 其中僅為自由電荷分布，適用于均勻各向同性線性介質(zhì)。對(duì)的區(qū)域：電勢(shì)滿足拉普拉斯方程：邊值關(guān)系A(chǔ).兩介質(zhì)界面上邊值關(guān)系 （S為分界面）（ 由12） B.導(dǎo)體與介質(zhì)界面上的邊值關(guān)系C.導(dǎo)體與導(dǎo)體界面上的邊值關(guān)系其中是導(dǎo)體的電導(dǎo)率（3）靜電場(chǎng)的能量用電勢(shì)表示： 注意：不是靜電場(chǎng)的能量密度; 是自由電荷密度,而則是空間所有電荷的電勢(shì) 只適用于靜電場(chǎng)。2唯一性定理：A均勻單一介質(zhì)當(dāng)區(qū)域V內(nèi)自由電荷分布已知，滿足，若V邊界上已知，或V邊界上已知，則V內(nèi)場(chǎng)（靜電場(chǎng)）唯一確定。B. 均勻單一介質(zhì)中有導(dǎo)

4、體當(dāng)區(qū)域V內(nèi)有導(dǎo)體存在，給定導(dǎo)體之外的電荷分布，當(dāng)或已知，每個(gè)導(dǎo)體電勢(shì)或帶電量，則內(nèi)電場(chǎng)唯一確定。微分方程靜電邊值問題的構(gòu)成：邊值關(guān)系邊界條件 3靜電邊值問題的基本解法：（1）鏡像法： 理論依據(jù)：唯一性定理，采用試探解的方法。1 鏡像法概念、條件l 鏡像法：用假想點(diǎn)電荷來等效地代替導(dǎo)體或介質(zhì)邊界面上的面電荷分布，然后用空間點(diǎn)電荷和等效點(diǎn)電荷迭加給出空間電勢(shì)分布。l 條件：所求區(qū)域內(nèi)只能有少許幾個(gè)點(diǎn)電荷（只有點(diǎn)電荷產(chǎn)生的感應(yīng)電荷才能用點(diǎn)電荷代替。）或是簡(jiǎn)單的連續(xù)分布。導(dǎo)體邊界面形狀規(guī)則，具有一定對(duì)稱性。給定邊界條件。l 要求：做替代時(shí)，不能改變?cè)须姾煞植迹醋杂牲c(diǎn)電荷位置、Q大小不能變）。泊松

5、方程不能改變。所以假想電荷必須放在所求區(qū)域之外。不能改變?cè)羞吔鐥l件，通過邊界條件確定假想電荷的大小和位置。一旦用了假想等效電荷，不能再考慮邊界面上的電荷分布。坐標(biāo)系根據(jù)邊界形狀來選擇。（2）分離變量法：l 條件：電勢(shì)滿足拉普拉斯方程：A.空間處處，自由電荷只分布在某些介質(zhì)（如導(dǎo)體）表面上，將這些表面視為區(qū)域邊界，可以用拉普拉斯方程。B.在所求區(qū)域介質(zhì)中有自由電荷分布，若這個(gè)自由電荷分布在真空中，產(chǎn)生的勢(shì)為已知，則區(qū)域V中電勢(shì)可表示為兩部分的和 不滿足，但表面上的電荷產(chǎn)生的電勢(shì)使?jié)M足，仍可用拉普拉斯方程求解。注意：邊值關(guān)系還要用而不能用。l 拉普拉斯方程的通解：軸對(duì)稱通解： 為勒讓德函數(shù)， 球

6、對(duì)稱通解：若與均無關(guān)，即具有球?qū)ΨQ性，則通解為：l 解題步驟1 選擇坐標(biāo)系和電勢(shì)參考點(diǎn)坐標(biāo)系選擇主要根據(jù)區(qū)域中分界面形狀參考點(diǎn)主要根據(jù)電荷分布是有限還是無限2 分析對(duì)稱性，分區(qū)域?qū)懗隼绽狗匠淘谒x坐標(biāo)系中的通解3 根據(jù)具體條件確定常數(shù)（1） 外邊界條件： 電荷分布有限 導(dǎo)體邊界可視為外邊界，給定，或給定總電荷Q，或給定（接地 ）電荷分布無限，一般在均勻場(chǎng)中， （直角坐標(biāo)或柱坐標(biāo)）（2） 內(nèi)部邊值關(guān)系：介質(zhì)分界面上 表面無自由電荷4 電多極矩討論電荷分布在小區(qū)域內(nèi),而場(chǎng)點(diǎn)又距電荷分布區(qū)較遠(yuǎn),即 l<<r電（1）電勢(shì)的多極展開：（2）小區(qū)域電荷體系在外電場(chǎng)中的相互作用能其中是點(diǎn)電荷在外電場(chǎng)中的相互作用能是電偶極子在外電場(chǎng)中的相互作用能是電四極子