理想白噪聲和帶限白噪聲的產(chǎn)生與分析

1、理想白噪聲和帶限白噪聲的產(chǎn)生與分析摘要 利用Matlab仿真分析產(chǎn)生的高斯白噪聲和均勻白噪聲通過低通濾波器和帶通濾波器后的時(shí)域及頻域波形，以便更好地理解白噪聲。背景 在實(shí)際應(yīng)用中，通信設(shè)備的各種電子器件、傳輸線、天線等都會(huì)產(chǎn)生噪聲，伴隨著信號(hào)的產(chǎn)生、傳輸和處理的全過程。噪聲也是一種隨機(jī)過程，而白噪聲具有均勻功率譜密度，在數(shù)學(xué)處理上具有方便、簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)。電子設(shè)備中的起伏過程如電阻熱噪聲、散彈噪聲等，在相當(dāng)寬的頻率范圍內(nèi)具有均勻的功率譜密度，可以當(dāng)做白噪聲處理，因而研究白噪聲的特性顯得非常重要。實(shí)驗(yàn)特點(diǎn)與原理 （1）隨機(jī)信號(hào)的分析方法 在信號(hào)系統(tǒng)中，把信號(hào)分為確知信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)兩類。在工程技術(shù)中，

2、一般用概率密度、均值、均方值、方差、自相關(guān)函數(shù)、頻譜、功率譜密度等描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性。均值均值Ex(t)()表示集合平均值或數(shù)學(xué)期望值?；陔S機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性，可用時(shí)間間隔T內(nèi)的幅值平均值表示： 均值表達(dá)了信號(hào)變化的中心趨勢(shì)，或稱之為直流分量。 均方值均方值Ex2(t)()，或稱為平均功率：均方值表達(dá)了信號(hào)的強(qiáng)度，其正平方根值，又稱為有效值，也是信號(hào)的平均能量的一種表達(dá)。方差 定義： 可以證明，=+。其中：描述了信號(hào)的波動(dòng)量； 描述了信號(hào)的靜態(tài)量。 自相關(guān)函數(shù)信號(hào)的相關(guān)性是指客觀事物變化量之間的相依關(guān)系。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程x(t)和y(t)在兩個(gè)不同時(shí)刻t和t+的起伏值的關(guān)聯(lián)程度，可以用相

3、關(guān)函數(shù)表示。在離散情況下，信號(hào)x(n)和y(n)的相關(guān)函數(shù)定義為： ,t=0,1，2,N-1隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)表示波形自身不同時(shí)刻的相似程度。與波形分析、頻譜分析相比，它具有能夠在強(qiáng)噪聲干擾情況下準(zhǔn)確地識(shí)別信號(hào)周期的特點(diǎn)。頻譜信號(hào)頻譜分析是采用傅立葉變換將時(shí)域信號(hào)x(t)變換為頻域信號(hào)，從另一個(gè)角度來了解信號(hào)的特征。時(shí)域信號(hào)x(t)的傅氏變換為：功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度是隨機(jī)信號(hào)的各個(gè)樣本在單位頻帶內(nèi)的頻譜分量消耗在一歐姆電阻上的平均功率的統(tǒng)計(jì)均值，是從頻域描述隨機(jī)信號(hào)的平均統(tǒng)計(jì)參量，表示x(t)的平均功率在頻域上的分布。它只反映隨機(jī)信號(hào)的振幅信息，而沒有反映相位信息。隨機(jī)過程的功率譜

4、密度為： （2）白噪聲 理想白噪聲均值為零而功率譜密度為非零常數(shù)，即的平穩(wěn)隨機(jī)過程稱為白噪聲。利用維納辛欽公式，不難得到白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為若一個(gè)具有零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程，其功率譜密度在某一個(gè)有限頻率范圍內(nèi)均勻分布，而在此范圍外為零，則稱這個(gè)過程為帶限白噪聲。帶限白噪聲又可分為低通型的和帶通型的。低通型帶限白噪聲的功率譜密度滿足自相關(guān)函數(shù)為帶通型帶限白噪聲的功率譜密度滿足自相關(guān)函數(shù)為（3）Matlab相關(guān)函數(shù)rand(m,n) 產(chǎn)生m行n列的均勻分布randn(m,n) 產(chǎn)生m行n列的高斯分布c,lags =xcorr(x,maxlags,'option') 自相關(guān)函數(shù)，

5、9;option'選擇'unbiased'無偏估計(jì)，時(shí)域區(qū)間-maxlags:maxlags ，序列長(zhǎng)度2*maxlags+1Pxx,f = periodogram(x,window,nfft,fs) 功率譜密度，偶數(shù)點(diǎn)時(shí)，Pxx長(zhǎng)度(nfft/2 + 1)，w范圍0,pif,xi = ksdensity(x) 一維概率密度fft(X) 傅里葉變換n,Wn = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') 巴特沃斯濾波器，Wp為通帶邊界頻率,Ws為阻帶邊界頻率,Rp通帶最大衰減,Rs為阻帶最小衰減，n為階數(shù)，Wn為歸一化頻率z,p,k = butta

6、p(n) 巴特沃斯模擬低通濾波器模型h,w = freqz(hd,n) 離散時(shí)域?yàn)V波器的頻率響應(yīng)，h、w長(zhǎng)度為n，w范圍0,pifilter(b,a,X) 濾波器b,a=ellip(n, Rp, Rs, Wn，'option') 橢圓濾波器實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)（1）用 Matlab編寫和仿真程序。系統(tǒng)框圖如圖所示： （2）輸入信號(hào)x(t)：x(t)分別為高斯白噪聲信號(hào)和均勻白噪聲信號(hào)，測(cè)試白噪聲的均值、均方值、方差，自相關(guān)函數(shù)、概率密度、頻譜及功率譜密度并繪圖，分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果。（3）設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器和一個(gè)帶通濾波器。 要求低通濾波器的通帶為0KHz-2KHz、通帶衰減小于 1db、阻

7、帶衰減大于 35db。帶通濾波器的通帶為10KHz-20KHz、通帶衰減小于1db、阻帶衰減大于35db。（4）分別計(jì)算高斯白噪聲、均勻白噪聲經(jīng)低通濾波、帶通濾波器后的均值、均方值、方差、概率密度、自相關(guān)函數(shù)、頻譜及功率譜密度，并加以分析。（5） 所有結(jié)果均用圖示法來表示。仿真程序：h1.m%高斯白噪聲通過低通濾波器Fs=10000;Ns=1024; x=randn(Ns,1);%產(chǎn)生高斯白噪聲 t=0:Ns-1; figure(1) plot(t,x); grid on title('高斯白噪聲波形') xlabel('t') x_mean=mean(x) %

8、均值 figure(2)plot（t,x_mean）grid onx_std=std(x) ; %標(biāo)準(zhǔn)差 x_var=x_std.2 %方差 x_msv=x_var+x_mean.2 %均方值 figure(3)plot（t,x_mean）grid on%計(jì)算高斯白噪聲的相關(guān)函數(shù) x_c,lags=xcorr(x,200,'unbiased');%相關(guān)函數(shù) figure(2) plot(lags,x_c);%畫出相關(guān)函數(shù)的圖形 title('白噪聲的自相關(guān)函數(shù)') grid on % 利用periodogram函數(shù)計(jì)算功率譜 nfft=1024; index=0

9、:round(nfft/2-1); k=index.*Fs./nfft; window=boxcar(length(x_c); Pxx,f=periodogram(x_c,window,nfft,Fs); x_Px=Pxx(index+1); figure(3) plot(k,x_Px); grid on title('白噪聲的功率譜') Xlabel('Frequency/Hz') %求高斯白噪聲的一維概率密度 x_pdf,x1=ksdensity(x); figure(4) plot(x1,x_pdf);%畫出高斯白噪聲的一維概率密度 grid on tit

10、le('白噪聲的一維概率密度') %求高斯白噪聲的頻譜 f=(0:Ns-1)/Ns*Fs; X=fft(x);%對(duì)高斯白噪聲進(jìn)行傅里葉變換 mag=abs(X); %取信號(hào)X的幅度 figure(5) plot(f(1:Ns/2),mag(1:Ns/2);%畫出白噪聲的頻譜 grid on title('白噪聲頻譜'); xlabel('Frequency/Hz'); % 利用雙極性Z變換設(shè)計(jì)0-2kHz低通濾波器 fp=2000;fs=2200; rp=0.5;rs=50; wp=2*pi*fp/Fs; ws=2*pi*fs/Fs; wap=t

11、an(wp/2); was=tan(ws/2); Fs=1; N,Wn=buttord(wap,was,rp,rs,'s');%估計(jì)所需濾波器的階數(shù) z,p,k=buttap(N); bp,ap=zp2tf(z,p,k); bs,as=lp2lp(bp,ap,wap); bz,az=bilinear(bs,as,Fs/2); H,w=freqz(bz,az,512,Fs*10000);%計(jì)算數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng) figure(6) plot(w,abs(H);%低通濾波器的頻譜 title('0-2kHz的低通濾波器的頻譜') xlabel('Frequ

12、ency/Hz') ylabel('Mag of frequency response') grid on %白噪聲通過濾波器以及通過后y相關(guān)參數(shù) y=filter(bz,az,x);%白噪聲通過濾波器 y_mean=mean(y) %y的均值 y_std=std(y); %標(biāo)準(zhǔn)差 y_var=y_std.2 %方差 y_msv=y_var+y_mean.2 y_pdf,y1=ksdensity(y); figure(7) plot(y1,y_pdf);%y的一維概率密度 grid on title('y的一維概率密度函數(shù)圖像'); y_c,lags1=

13、xcorr(y,200,'unbiased');%計(jì)算y的相關(guān)函數(shù) figure(8) plot(lags1,y_c);%畫出y的相關(guān)函數(shù)的圖形 axis(-50,50, -0.1,0.5 ); title('y的自相關(guān)函數(shù)') grid on %計(jì)算y的頻譜 Y=fft(y);%對(duì)y進(jìn)行傅里葉變換 magY=abs(Y); figure(9) plot(f(1:Ns/2),magY(1:Ns/2);%畫出y的頻譜 grid on title('白噪聲通過低通濾波器的頻譜'); xlabel('Frequency/Hz'); %y

14、的功率譜 nfft=1024;Fs=10000; index=0:round(nfft/2-1); ky=index.*Fs./nfft; window=boxcar(length(y_c); Pyy,fy=periodogram(y_c,window,nfft,Fs); y_Py=Pyy(index+1); figure(10) plot(ky,y_Py); grid on title('白噪聲通過低通濾波器后的功率譜') xlabel('Frequency/Hz') 仿真波形： h2.m%高斯白噪聲通過帶通濾波器Fs=100000;Ns=1024; x=ra

15、ndn(Ns,1);%產(chǎn)生白噪聲 t=0:Ns-1; figure(1) plot(t,x); grid on title('高斯白噪聲波形') xlabel('t') x_mean=mean(x) %均值 x_std=std(x) ; %標(biāo)準(zhǔn)差 x_var=x_std.2 %方差 x_msv=x_var+x_mean.2 %均方值 %計(jì)算高斯白噪聲的相關(guān)函數(shù)% x_c,lags=xcorr(x,200,'unbiased');%相關(guān)函數(shù) figure(2) plot(lags,x_c);%畫出相關(guān)函數(shù)的圖形 title('白噪聲的自相關(guān)

16、函數(shù)') grid on % 利用periodogram函數(shù)計(jì)算功率譜% nfft=1024; index=0:round(nfft/2-1); k=index.*Fs./nfft; window=boxcar(length(x_c); Pxx,f=periodogram(x_c,window,nfft,Fs); x_Px=Pxx(index+1); figure(3) plot(k,x_Px); grid on title('白噪聲的功率譜') Xlabel('Frequency/Hz') %求白噪聲的一維概率密度 x_pdf,x1=ksdensity

17、(x); figure(4) plot(x1,x_pdf);%畫出白噪聲的一維概率密度 grid on title('白噪聲的一維概率密度') %求高斯白噪聲的頻譜 f=(0:Ns-1)/Ns*Fs; X=fft(x);%對(duì)白噪聲進(jìn)行傅里葉變換 mag=abs(X); %取信號(hào)X的幅度 figure(5) plot(f(1:Ns/2),mag(1:Ns/2);%畫出白噪聲的頻譜 grid on title('白噪聲頻譜'); xlabel('Frequency/Hz'); %產(chǎn)生一個(gè)十階IIR帶通濾波器 %通帶為10KHz-20KHz，并得到其幅

18、頻響應(yīng) Fs=100000 b,a=ellip(10,0.5,50,10000,20000*2/Fs); H,w=freqz(b,a,512); figure(6) plot(w*Fs/(2*pi),abs(H); title('帶通濾波幅頻響應(yīng)'); set(gcf,'color','white') xlabel('Frequency Hz'); ylabel('Mag of frequency response'); grid on %白噪聲通過帶通濾波器以及通過后y相關(guān)參數(shù) y=filter(b,a,x);%

19、白噪聲通過帶通濾波器 y_mean=mean(y) %y的均值 y_std=std(y); %標(biāo)準(zhǔn)差 y_var=y_std.2 %方差 y_msv=y_var+y_mean.2 y_pdf,y1=ksdensity(y); figure(7) plot(y1,y_pdf);%y的一維概率密度 grid on title('y的一維概率密度函數(shù)圖像'); y_c,lags1=xcorr(y,200,'unbiased');%計(jì)算y的相關(guān)函數(shù) figure(8) plot(lags1,y_c);%畫出y的相關(guān)函數(shù)的圖形 title('y的自相關(guān)函數(shù)') grid on %計(jì)算y的頻譜 Y=fft(y);%對(duì)y進(jìn)行傅里葉變換 magY=abs(Y); figure(9) plot(f(1:Ns/2),magY(1:Ns