直線中的對(duì)稱問(wèn)題

1、例談直線中的對(duì)稱問(wèn)題直線的對(duì)稱問(wèn)題是我們學(xué)習(xí)平面解析幾何過(guò)程中的不可忽視的問(wèn)題，我們可以把它主要?dú)w納為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱，線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，線關(guān)于線對(duì)稱問(wèn)題，下面我們來(lái)一一探討：一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題解決點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題的關(guān)鍵是利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，同時(shí)也是其它對(duì)稱問(wèn)題的基礎(chǔ).例1.求點(diǎn)（1）關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo),（2）， 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求點(diǎn)坐標(biāo).解：由題意知點(diǎn)是線段的中點(diǎn), 所以易求（1） （2）.因此，平面內(nèi)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為 平面內(nèi)點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱二、點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱問(wèn)題求定點(diǎn)關(guān)于定直線的對(duì)稱問(wèn)題時(shí)，根據(jù)軸對(duì)稱定義利用兩直線斜率互為負(fù)倒數(shù),中點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)求得.例2已知點(diǎn)直線：，求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的

2、坐標(biāo)解:法（一）解：設(shè)，則中點(diǎn)坐標(biāo)為且滿足直線的方程 又與垂直，且斜率都存在 即有 由解得 ， 法（二）求點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱問(wèn)題，其實(shí)我們可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的問(wèn)題，可先求出的直線方程進(jìn)而求與的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程求坐標(biāo).三、線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題求直線關(guān)于某一點(diǎn)的對(duì)稱直線的問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題.例3求直線：關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線的方程.解:法（一）直線：與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為， 點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn) 點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn) 過(guò)的直線方程為 故所求直線方程為.法（二）由兩直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，易知兩直線平行，則對(duì)稱點(diǎn)到兩直線的距離相等，可以建立等式，求出直線方程.四、線關(guān)于線的對(duì)稱問(wèn)題求直線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題：即在已知直線上任取兩不同點(diǎn)，求出這兩點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)再求出直線方程.例4求已知直線：關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程.解：在：上任取一點(diǎn) 直線的斜率為3過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線斜率為，方程為 得 所以點(diǎn)為直線與的交點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為又直線與的交點(diǎn)也在所求直線上由 得 所以交點(diǎn)坐標(biāo)為.過(guò)和的直線方程為，故所求直線方程.練習(xí)1.求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為；2.已知直線與點(diǎn)，則直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線方程為；3.直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的方程為；4.兩點(diǎn)，關(guān)于