利用極坐標(biāo)解圓錐曲線題

1、（焦點(diǎn)）的距離和一條F作相應(yīng)準(zhǔn)線的垂線，若允許p< 0，方程當(dāng)e=1時(shí)，方程表示開口向右的拋物線利用極坐標(biāo)解題知識(shí)點(diǎn)精析：橢圓、雙曲線、拋物線可以統(tǒng)一定義為：與一個(gè)定點(diǎn) 定直線（準(zhǔn)線）的距離的比等于常數(shù) e的點(diǎn)的軌跡.以橢圓的左焦點(diǎn)（雙曲線的右焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn) ）為極點(diǎn)，過點(diǎn) 垂足為K，以FK的反向延長線為極軸建立極坐標(biāo)系.橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為：1 ecos其中 p是定點(diǎn) F到定直線的距離，p >0.當(dāng)0 v ev 1時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng)e> 1時(shí)，方程表示雙曲線，若p> 0,方程只表示雙曲線右支, 就表示整個(gè)雙曲線;引論（1 ）若1+e cos則0

2、vev 1當(dāng)時(shí)，方程表示極點(diǎn)在右焦點(diǎn)上的橢圓當(dāng)e=1時(shí)時(shí)，方程表示開口向左的拋物線當(dāng)e> 1方程表示極點(diǎn)在左焦點(diǎn)上的雙曲線(2 )若ep1-esin當(dāng)0vev 1時(shí)，方程表示極點(diǎn)在下焦點(diǎn)的橢圓當(dāng)e=1時(shí)，方程表示開口向上的拋物線當(dāng)e > 1時(shí)!方程表示極點(diǎn)在上焦點(diǎn)的雙曲線(3)ep1+es in當(dāng)0vev 1時(shí)，方程表示極點(diǎn)在上焦點(diǎn)的橢圓當(dāng)e=1時(shí)，方程表示開口向下的拋物線當(dāng)e > 1時(shí)!方程表示極點(diǎn)在下焦點(diǎn)的雙曲線 例題選編（1）二次曲線基本量之間的互求例1.（復(fù)旦自招）確定方程105 3cos表示曲線的離心率、焦距、長短軸長。解法3 cos51035_3 cos5103方

3、程表示橢圓的離心率e解法二：轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)3 15255，焦距才長軸長孑短軸長5c3325acaa558b21051015a ccc33383，p（3）2（：）2（2 ）圓錐曲線弦長問題2 .2丄“Lt亠ab1、橢圓中，pc,ccMNep1 ecos若圓錐曲線的弦MN經(jīng)過焦點(diǎn)F,2ep2ab1 ecos( ) a2 c2 co若橢圓方程為，半焦距為，焦點(diǎn)，設(shè)過的直線的傾斜角為交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦長。解：連結(jié)，設(shè)，由橢圓定義得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，則弦長J 21222 2a -c cos |二掘 +丁 =+tr - ccos ct a +c cos a同理可求得焦點(diǎn)在 y軸上

4、的過焦點(diǎn)弦長為（a為長半軸，b為短半軸，c為半焦距） 結(jié)論：橢圓過焦點(diǎn)弦長公式:2、雙曲線中，（注釋：雙曲線問題比較特殊，很多參考書上均有誤解。）若M、N在雙曲線同一支上，MNep1 ecosep2ab1 ecos()2 2 a c2 >cos若M、N在雙曲線不同支上，MNepep2ab21 ecos1 ecos222ccosa設(shè)雙曲線，其中兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過的直線的傾斜角為，交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，求弦長|AB| 。解：（1 ）當(dāng)時(shí)，（如圖2 ）直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A、B在同一交點(diǎn)上，連，設(shè)，由雙曲線定義可得，由余弦定理可得整理可得，同理，則可求得弦長|AS|=1-臚_2於223a-c

5、匚os a a-c- coss j - <7 cos a（2 ）當(dāng)或時(shí)，如圖3，直線I與雙曲線交點(diǎn) A、B在兩支上，連，設(shè)，則，由余弦定理 可得，整理可得，則護(hù) lab1c cosce - a a H-c cosa c2 cos2 a-c因此焦點(diǎn)在x軸的焦點(diǎn)弦長為2ab2 /&h(arctan < a c 龍arctan )a cos ctaa2ab2小*b _u心、(0 2- c; < arctan 我 arctan 一 < a < jtje cos ql a口a同理可得焦點(diǎn)在 y軸上的焦點(diǎn)弦長公式2 2 - 2a - c sin a2aCO <

6、cr < arctan 或莊-arctan < g < jt)hb亍(arctan <a arctan )sin a a2bb其中a為實(shí)半軸，b為虛半軸，c為半焦距，為AB的傾斜角。3、拋物線中,MNP1 cosP2p1 cos( ) sin2?(圖 4)B橫坐標(biāo)為,若拋物線與過焦點(diǎn)的直線相交于A、B兩點(diǎn)，若的傾斜角為，求弦長 |AB|解：過A、B兩點(diǎn)分別向x軸作垂線為垂足，設(shè)，則點(diǎn) A的橫坐標(biāo)為，點(diǎn) 由拋物線定義可得pp2p2p工* 二n- = = |1 coset 1 十匚 os a 1 - cos a sin a同理的焦點(diǎn)弦長為的焦點(diǎn)弦長為，所以拋物線的焦點(diǎn)弦長為

7、例2 . 已知拋物線y2=2px ( p>0 )，過其焦點(diǎn)且斜率為 k的直線交拋物線于 A , B兩點(diǎn), 求AB長.2 2練習(xí)1 :.過雙曲線 - 1的右焦點(diǎn)，引傾斜角為 一的直線，交雙曲線與 A、B兩點(diǎn),4 53求 | AB |解：根據(jù)題意，建立以雙曲線右焦點(diǎn)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系即得2 3cosAB | i 2 |A( 1,), B( 2,55_2 3cos 2 3cos(3 I3)807附錄直角坐標(biāo)系中的焦半徑公式1、若F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，貝UPF1aex,PF22、若F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線右支上時(shí)，PF1ex a,PF2exa ；當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線

8、左支上時(shí)，PRa ex,PFaex ；設(shè)P (x,y )是圓錐曲線上的點(diǎn),3、若F是拋物線的焦點(diǎn)，PF x |.a ex；利用弦長求面積例3 設(shè)過橢圓2 x2521的右焦點(diǎn)的弦AB=8，求三角形AOB的面積。16a2 匚os一：其刁0沖宜線傾斜角2ab160- c2 cos &25 -Pcos-曰得 u os 二 B =而點(diǎn)O在占月上的肓玄度730尸，sill B驥迅它j3x£=23冃斤以06廳=2x尿呂2=81的焦點(diǎn)F作一條斜率為2的直線與橢圓交于 A,2練習(xí)2 (08年卷)過橢圓5簡解：首先極坐標(biāo)方程中的焦點(diǎn)弦長公式|AB|2ep2求弦長，然后利用公式cosSaob 1|

9、 AB|OF |sin AFO 直接得出答案。21的左焦點(diǎn)過點(diǎn)F的直線l與橢X練習(xí)3 . （2005年全國高考理科）已知點(diǎn)F為橢圓、N兩點(diǎn)，求四邊形 PMQN面圓交于P、Q兩點(diǎn)，過F且與li垂直的直線12交橢圓于M 積的最小值和最大值解析：以點(diǎn)F為極點(diǎn),建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為:_-221 cos2設(shè)直線li的傾斜角，則直線12的傾斜角為90°，由極坐標(biāo)系中焦點(diǎn)弦長公式知:|PQ|1 - cos22，|MN | 21 2cos290°)1 1si n2211 1 . 2Osin 22 16用他們來表示四邊形的面積1S-|PQ|cgMN |2 1丨22 sin cc

10、os2 41即求11.2° sin 22 16的最大值與最小值由三角知識(shí)易知：當(dāng)si n21時(shí)，面積取得最小值 16 ；當(dāng)sin290時(shí)，面積取得最大利用弦長公式解決常量問題2x例4 .過橢圓a2十1(abb 0）的左焦點(diǎn)F ,作傾斜角為60的直線1交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若FA 2FB，求橢圓的離心率簡解：建立極坐標(biāo)系，然后利用等量關(guān)系,可很快求出離心率。設(shè)橢圓的極坐標(biāo)方程為e P1 ecos則FAe P1 ecos600,FBe P1 ecos2400 'e pe1 -2空，解得ee1 -練習(xí)4 .求過橢圓的左焦點(diǎn)，且傾斜角為7的弦長3 cosAB 和左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離。解

11、：先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式:231 cos3則離心率e2ep 3所以左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距為設(shè)A(AB1 , ), B( 2,5 )，代入極坐標(biāo)方程， 442則弦長3 cos42-53 cos42417(3 )定值問題例5.拋物線2px(p 0)的一條焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分為a,b的兩段，證明:解：以焦點(diǎn)為極點(diǎn)，以 FXa軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則拋物線的極坐標(biāo)方程為-定值。bp1 cos設(shè) A(a, ), B(b,將A,B兩點(diǎn)代入極坐標(biāo)方程，得1 cospcos(則丄a11 cosb點(diǎn)睛:推論:1 cos(引申到橢圓和雙曲線也是成立的。若圓錐曲線的弦 MN經(jīng)過焦點(diǎn)例6 .經(jīng)過橢圓的的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的弦(定

12、值)則有MFNFAB和弦CD,求證證明：以橢圓的左焦點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，此時(shí)橢圓的極坐標(biāo)方程為1, 1 ,B2, +,DepAB+則代入可得為定值。CDep ，又設(shè)1 ecos| AB| 1 2ep 21 e cos2ep|AB| 1 e2sin21AB12-e2CD 2ep注釋。此公式對拋物線也成立，但對雙曲線不成立。注意使用的圍。推廣1若經(jīng)過橢圓的中心做兩條相互垂直的弦，倒數(shù)和也為定值。需要以原點(diǎn)為極點(diǎn)建立 極坐標(biāo)方程。推廣2若不取倒數(shù)，可以求它們和的最值。2y271，點(diǎn)F是其左焦點(diǎn)，在橢圓上任取三2x 例7 . （2007理改編）中心在原點(diǎn)O的橢圓 一36個(gè)不同點(diǎn) RRR使/P1FP2 /

13、£FP3 / P3FP, 1200 .證明:1FP11_FP21FP3為定值，并求此定值.解析：以點(diǎn)為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為:，設(shè)點(diǎn)P1對應(yīng)的極角為，則點(diǎn)F2與Pj對應(yīng)的極角分別為1200、1200 ,就分別是|FP1|92 cos、|FP2|902 cos( 120 )與 |FPa|cosP1、P2與Pa的極徑9,2 cos( 120 )因此二FP11FP2角函數(shù)的學(xué)習(xí)中,1_1_FP1甌FP3我們知道2 cos9cos cos(|為定值2 cos(1200)91200) cos(2 cos(1200)十，而在91200)0 ,因此點(diǎn)睛：極坐標(biāo)分別表示| FP1 |、| FP2 |與|FPa|，這樣一個(gè)角度對應(yīng)一個(gè)極徑.就不會(huì)象解析幾何那樣，一個(gè)傾斜角，對應(yīng)兩個(gè)點(diǎn)，同時(shí)對應(yīng)兩條焦半徑（極徑），這就是極坐標(biāo)表示圓錐曲線的優(yōu)點(diǎn).推廣：若放在拋物線和雙曲線中是否成立呢？例8 . （2006全國聯(lián)賽）橢圓2x252y161的右焦點(diǎn)為 F, P1 , P2 ,P24為24個(gè)依逆時(shí)針順序排列在橢圓上的點(diǎn)，其中P1是橢圓的右頂點(diǎn)，并且/P1FP2= / P2FPa=