復(fù)變函數(shù)1112次作業(yè)答案

1、華 東 理 工 大 學(xué)變 換 作 業(yè) （第 6 冊）復(fù) 變 函 數(shù) 與班級學(xué)號姓名任課教師 第十一次作業(yè)教學(xué)內(nèi)容：5.3 利用留數(shù)計算實7.1Fourier公式7.2 Fourier 變換1 計算下列：q d2pò,0 < b < a ;(1)a + b cosq0z 2 + 1解：設(shè) z = e ， cosq =iq2z原式11 dzòz =1=z 2 + 1 iza + b2z2p- a +a 2 - b2= 1221òpdz = 2 =iRe s,ibz + 2az + bbz + 2az + b22z =1iba 2 - b22+¥(

2、2) ò-¥z2 - z + 2則z 4 +10z2 + 9令f (z) =f ( z) 在上半平面有兩個一級極點 z1 = i, z2 = 3iz2 - z + 21Re s f (z), z1 = (z4 +10z2 + 9)¢= -(1+ i) 16z =i1z2 - z + 23 - 7iRe s f (z), z1 = (z4 +10z2 + 9)¢=z =3i48= 2p i- 1 (1+ i) + 3 - 7i = 5 p2+¥ò164812-¥1dx+¥(3) ò01 + x 41f (

3、z) 在上半平面上有兩個一級極點 z =2 (1 + i) z =2 (-1 + i)2解：令 f (z) =121 + z 421(1 + z 4 )¢= -2 (1 + i)8Re s f (z), z =1z = 2 (1+i )121(1+ z4 )¢2 (1- i)8Re s f (z), z =2z = 2 (-1+i )12dx1 ò+¥dx2 (1 + i) +82 (1- i) =82 p+¥ò0= 2p i -=-¥ 1 + x 41 + x 424+¥ x sin ax(4)dx,(a >

4、; 0, b > 0) ;òx2 + b20zeiaz解：令 f (z) =z 2 + b2xeiaxzeiaz+¥ò-¥ x2 + b2dx = 2pi f (z),bi = 2pi(z 2 + b2 )¢= pie-abz=bixeiax1+¥所以 ò0dx =pe2-abx2 + b2cos xdx+¥（5） ò-¥(x 2 + 4x + 5)2eix+¥= ò-¥ (x 2 + 4x + 5)2是Idx 的實部所求的eiz而 I = 2pi Re s,

5、-2 + i(z 2 + 4z + 5)2eiz= 2p¢i(z + 2 + i)2z=i-2= pe-1-2iò+¥cos xdx = p cos 2所以-¥ (x 2 + 4x + 5)2e*2證明方程 z7 - z3 + 12 = 0 的根都在圓環(huán)域1 ££ 2 內(nèi)。z2< 2 時，取 f (z) = z7 ， g(z) = 12 - z3 ，當(dāng)= 2 時，證明：當(dāng)zz= 12 - z3£ 12 + z3z7£ 20 <=g(z)f (z)所以 ，z7 - z3 + 12 = 0 的根與 z7 的

6、根的個數(shù)相同，因此，z7 - z3 + 12 = 0 的根全部在= 2 內(nèi)z部< 1時，取 f (z) =12 ， g(z) = z7 - z3當(dāng)zz7z3z7 - z3= 1時，>+³=zf (z)g(z)當(dāng)故 z7 - z3 + 12 = 0 的根與 12 的根個數(shù)相同，即在= 1內(nèi)無根。z綜上所述， z7 - z3 + 12 = 0 的根都在圓環(huán)域1 ££ 2 內(nèi)z3、 求下列函數(shù)的 Fourier變換ì-1-1 < t < 0 0 < t < 1其它ï（1） f (t) = í 1ï

7、; 0î解： f(t) 1+¥01òòò-iwt-it-it=f (t)edt=- edt + edt-¥-10=(1- eiw - e-iw +1) = -2i (1- cosw)1iw1=× e-iwt-× e-iwt0-110iwiwwìett £ 0t > 0（2） f (t) = í0î解： f(t) =+¥00òòò-iwtt -iwtw)t=f (t)edt =e edt =e(1-idt-¥-¥

8、1-¥11- iw× e(1-iw )t0-¥=1- iw4求下列函數(shù)的 Fourier 變換，并證明所列的等式+¥ w 2 + 2p- t證明 ò0w 4 + 4 cos wtdw = 2 ecos t- t（1） f (t) = ecos t,解：eit + e-it f (t)=+¥-¥+¥ò- rcostedt = ò-¥ e- rw) =-iwt-iwtF (eedt212+¥+¥00dt òòòò1+i(1-w )

9、t1-i (1+w )t-1+i(1-w )t-1-i(1+w )t=dt +dt +edt +eee-¥-¥00ìe1+i(1-w )t0e1-i(1+w )t0e-1+i(1-w )t+¥0e-1-i(1+w )t+¥0= 1 ï-¥-¥+í2 ïî 1 + i(1 - w)1 - i(1 + w)-1 + i(1 - w)-1 - i(1 + w)3= 1 ì= 2w 2 + 4111+í2 î1 + i(1 - w)1 - i(1 + w)1 -

10、i(1 - w)1 + i(1 + w)w + 441+¥ 2w 2 + 41 +¥ 2w 2 + 41+¥為 f (t) =ò-¥ F(w)edw =ò-¥2p2pedw = p ò0iwtiwtcoswtdwf (t) 的表w 4 + 4w 4 + 4+¥ 2w 2 + 4pp因此有 ò0- rcoswtdw =f (t) =e2costw 4 + 42wp cos t +¥（2） f (t) = e -b t (b > 0) ，證明òb 2e -b tw =d+

11、w 22b0ewit + e-iwtw) = f (t)=eedt = 2ò0 ecoswtdt = 2ò0+¥+¥+¥ò-b r-iwt-bt-bt解： F (edt2-¥e-( b -iw )t+¥0e-( b -iw )t+¥0+¥= òe-( b -iw )t +e-( b +iw )t dt =+- (b - iw)- (b + iw)02b11=+=b - iwb + iwb 2 + w 22b2bb 2 + w 21212+¥F (w)eiwt dw =+

12、65;+¥ò2p ò-¥ b 2 + w 2p ò0eiwt dw =cos wtdw為 f (t) =f (t) 的表p-¥ cos wp t +¥òb 2e -b tw =d即：+ w 22b0第十二次作業(yè)教學(xué)內(nèi)容 ：7.3 d 函數(shù)及其 Fourier 變換；7.4Fourier 變換的性質(zhì)1填空（1） f (t) = 1 d (t + a) + d (t - a) Fourier 變換為coswa2(2) 函數(shù) F(w) = p d (w + w0 ) + d (w - w0 )的 Fourier 逆變換為

13、cosw0t（3） f (t) = sin t cos t Fourier 變換為 p i d (w + 2) - d (w - 2)22 若 F (w) = f (t)，證明 f (t) cosw t = 1 F(w - w ) + F(w + w );00024 f (t)sinw t = 1 F(w - w ) - F(w + w ).0002ieiw0t + e-iw0t f (t) cosw t =f (t)+¥ò-iwtedt證：0-¥21+¥+¥òòi(w -w )ti (w +w )t=f (t)edt +f

14、 (t)edt002-¥-¥= 1 F (w - w ) + F (w + w )002eiw0t - e-iw0t f (t) sinw0t =+¥ò-iwt f (t) edt2i-¥ 1+¥+¥òò-i (w -w )tf (t)e-i (w +w0 )tdt=f (t)edt -02i-¥-¥= 1 F (w - w ) - F (w + w )002i3求下列函數(shù)的 Fourier 變換（1） f (t) = e2it sin t解：因為 sint = ipd (w + 1)

15、 - d (w -1) ，由位移性質(zhì)得e2it sin t = ip d (w - 1) - d (w - 3)（2） f (t) = sin 2 t解：sin2t = 1 (1 - cos2t) = 1 1 -cos2t1222= pd (w) - p d (w + 2) + d (w - 2)2（3） f (t) = eiw0t u(t)1解：由像函數(shù)的位移性質(zhì)及 u(t) =+ pd (w) 得iw1eiw0t u(t) =+ pd (w - w )i(w - w )00f (t) = e-bt u(t) × cosw t0（4）e-iw0t + eiw0t+¥+&#

16、165;+¥解： (w) = ò-¥ f (t)edt = ò-¥ eu(t) cosw0tedt = ò0 e-iwt-bt-iwt-bt-iwtedt212- b +i(w -w )t + e- b +i (w +w )t0 )dt = 1 (1+1)+¥ò=(e02 b + i(w - w0 )b + i(w + w0 )05=b + iw(b + iw)2 + w 204 設(shè) f (t) = F (w) ， a 為非零常數(shù)，試證明- wF (w )e a（1） f (at - t )= 1i t0a0a-

17、wF (- w )ea（2） f (t - at)= 1i t0a0a證明：（1）由定義有+¥ f (at - t ) =ò-¥)e-iwt dtf (at - t00-iw u +t0a1a+¥(令at - t0 = u, 且a > 0) = òf (u)edu-¥-i w t0-i w t1+¥ò（u 換為 t） =eaf (t)edtaa-¥- w= 1wi t0 aF ()eaa- w- 1w當(dāng) a<0 時， f (at - t0 ) =F ()ei t0 aaa- wF (w )e

18、a因此 f (at - t )= 1i t0a0a注：也可以由位移性質(zhì)和相似性質(zhì)加以證明。例如令g（t) = f (at) 由位移性質(zhì)得é-iw t0 ùa úûétùétù f (at - t ) = f a(t - 0 )= g(t - 0 ) = êg(t)eêëúûêëúû0atëé-iw t0 ù-i w t1wa 0= ê f (at)eë=F ()e（相似性質(zhì)）aaúû（2）在結(jié)論（1）中取a, t0 分別為- a,-t0 即得。注; 此題也可由定義出發(fā)證明，或利用位移性質(zhì)和相似性質(zhì)證明。5 已知 F (w) = f (t)，利用 Fourier 變換的性質(zhì)求下列函數(shù)的 Fourier 變換（1） tf (t)6a解：由像函數(shù)的微分性質(zhì)，有 tf (t) = - 1 F ¢(w)i（2） (t - 2) f (t)解：由線性性質(zhì)及像函數(shù)的微分性