現(xiàn)代控制理論5系統(tǒng)綜合

1、5.線性定常系統(tǒng)的綜合51 反饋系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)（1）狀態(tài)反饋系統(tǒng) B,C X,uD=0 時 ， C 狀態(tài)反饋的控制律為 ，v 是參考輸入，K為狀態(tài)反饋矩陣。狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)為 D=0時閉環(huán)輸出矩陣為 狀態(tài)反饋的改變了系統(tǒng)的動態(tài)特性，開環(huán)為A，閉環(huán)為A+BK。BK為 若系統(tǒng)能控，可改變所有狀態(tài)的特征根。結(jié)構(gòu)圖為(2) 輸出反饋取 H= 于是原系統(tǒng)為 = = = = D=0時 傳函矩陣為W(s)=(3) 閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)能控性與能觀性。定理： 狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性，但不保證系統(tǒng)的能觀性不變。證明 原系統(tǒng)的能控判別陣為 Q狀態(tài)反饋系統(tǒng)的能控判別陣 中第2 塊 可由B，AB的線性組合表示，第3塊

2、=可由 的線性組合表示?？捎蓪M(jìn)行線性變換得到，可以證明變換矩陣是滿秩的故有：rankrank另一方面，狀態(tài)反饋只改變系統(tǒng)極點(diǎn)，不改變零點(diǎn)，若出現(xiàn)零極對消的情況時，系統(tǒng)傳函降階，破壞了系統(tǒng)的能觀性。定理：輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性和能觀性證明： 增加輸出反饋后 HC相當(dāng)于狀態(tài)反饋陣的K，類似地可知不改變能控性能觀性判據(jù)為 仿照狀態(tài)反饋不改變能控性方法可證明 rank輸出反饋不改變系的能觀性52 極點(diǎn)配置一、狀態(tài)反饋定理 采用狀態(tài)反饋對系統(tǒng)（A，B，C）任意配置極點(diǎn)的充要條件是原系統(tǒng)完全能控。證明 （只證充分性）若系統(tǒng)是能控的，則由狀態(tài)反饋可得：而 期望多項(xiàng)式 期望的閉環(huán)極點(diǎn)（1） 若系統(tǒng)能控，

3、必存在非奇異變換將系統(tǒng)化成能控標(biāo)準(zhǔn)I型 傳函為 (2) 加入狀態(tài)反饋 , 其中閉環(huán)系統(tǒng)為 目標(biāo)閉環(huán)特征多項(xiàng)式為)閉環(huán)傳函為 =的選擇是閉環(huán)特征方程的極點(diǎn)位于期望位置 于是 （4）求對應(yīng)x的K （由對應(yīng)的去求） 所以 狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置算法問題：對已經(jīng)給定的系統(tǒng)（A，B，C）。及狀態(tài)反饋后的期望極點(diǎn)，設(shè)計(jì)控制律 確定矩陣K1） 期望極點(diǎn)情況下的特征多項(xiàng)式2） 求引入狀態(tài)反饋后的待定參數(shù)的特征多項(xiàng)式3）令兩個多項(xiàng)式相等確定K例： ， ，設(shè)狀態(tài)反饋控制 將極點(diǎn)配置在 2，。解：期望特征多項(xiàng)式為 引入狀態(tài)反饋后的特征多項(xiàng)式為： 與期望的特征多項(xiàng)式比較系數(shù)可以得方法2：如果A不是能控標(biāo)準(zhǔn)型而且階數(shù)較高則1

4、） 求 2） 求期望特征多項(xiàng)式3） 計(jì)算 4） 是按能控標(biāo)準(zhǔn)型形式計(jì)算的，如果A不是能控標(biāo)準(zhǔn)型，則：通過，需先求出變換矩陣,再求。二、 輸出反饋定理：單輸入單輸出能控系統(tǒng)（A，b，c）通過線性輸出反饋不能實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)任意配置。證明略53 系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題定義：若系統(tǒng)（A，B，C）通過狀態(tài)反饋能使其漸近穩(wěn)定，則稱該系統(tǒng)是可鎮(zhèn)定的。定理：系統(tǒng)（A，B，C）采用狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的充要條件為其不能控子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。證明：設(shè)系統(tǒng)（A，B，C）不完全能控，則按能控性分解可得：， ，其中 為能控子系統(tǒng) 為不能控子系統(tǒng)系統(tǒng)的特征方程為: =det引入狀態(tài)反饋后： 特征方程 通過適當(dāng)選擇K1可以使能控子空間

5、實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置，而不能控子空間不受K的影響。若不能控部分是漸進(jìn)穩(wěn)定的，則系統(tǒng)可通過狀態(tài)反饋使整體漸進(jìn)穩(wěn)定。5.5 狀態(tài)觀測器 （1）狀態(tài)反饋是實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)的主要手段，在不能直接檢測狀態(tài)信號時需要通過采用狀態(tài)觀測器重構(gòu)的辦法來獲得代替的狀態(tài)信號。（2） 設(shè)系統(tǒng)（A，B，C）的狀態(tài)向量x不能直接測量，若利用u，y作為信號源產(chǎn)生，使得： 則稱產(chǎn)生 的環(huán)節(jié)為系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器。（3） 存在性定理：系統(tǒng)（A，B，C）狀態(tài)觀測器存在的充要條件是其不能觀測子系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。證明：系統(tǒng)（A，B，C）不全能觀，則經(jīng)結(jié)構(gòu)分解可得：子系統(tǒng)（A11，B，C）為能觀子系統(tǒng)。設(shè)為x的估計(jì)值，為反饋矩陣構(gòu)造 = 定義估計(jì)誤差

6、，則誤差的狀態(tài)方程為： =  可通過適當(dāng)選擇 G1使其漸近穩(wěn)定除選擇G2外還要A22是漸近穩(wěn)定的， 即不能觀子空間是漸近穩(wěn)定的。（4） 狀態(tài)觀測器的實(shí)現(xiàn)狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)如圖 516（a）如果初始條件，則利用（A，B，C）構(gòu)造一個完全相同的系統(tǒng)是可能的，但嚴(yán)格保持一致的是不可能的，因此得到：如果引進(jìn)輸出反饋期望獲得漸近效果，由圖 516（a）可知： 結(jié)構(gòu)圖可以簡化為 圖516（b）估計(jì)誤差為 于是： 顯然，若使的特征根全部位于s平面的左半平面則有：當(dāng)（A，B，C）系統(tǒng)不完全能觀，但不能觀子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，則仍可以構(gòu)造狀態(tài)觀測器，但e的衰減速度將不完全通過G任意選擇，而要受到不能觀子空間子系統(tǒng)極點(diǎn)的位置限制。 例：， 設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器使其極點(diǎn)位于（-10, -10）。解法一： 比較后可得 解法二：如果階數(shù)過高，可采用能觀標(biāo)準(zhǔn)型的方法： ， ， 此例 ， ， 反饋矩陣 目標(biāo)特征式為比較可得：由