用分離變量法解常微分方程

1、用分離變量法解常微分方程 . 直接可分離變量的微分方程1.1形如 = (1.1)的方程，稱為變量分離方程，這里，分別是的連續(xù)函數(shù).如果(y)0，我們可將（1.1）改寫成= ,這樣，變量就“分離”開來(lái)了.兩邊積分，得到 通解：= + c. (1.2)其中，c表示該常數(shù)，分別理解為，的原函數(shù).常數(shù)c的取值必須保證（1.2）有意義.使的是方程(1.1)的解.例1 求解方程的通解.解：(1)變形且分離變量：(2)兩邊積分： ，得.可以驗(yàn)證也是原方程的解，若視和是平等的，則也是原方程的解.我們可以用這個(gè)方法來(lái)解決中學(xué)常見的一些幾何問題.例2 曲線上的點(diǎn)處的法線與軸的交點(diǎn)為，且線段被軸平分.求曲線的方程.

2、分析:這是一個(gè)利用幾何條件來(lái)建立微分方程的例子.先建立法線的方程，用大寫的表示法線上的動(dòng)點(diǎn)，用小寫的表示曲線上的點(diǎn)，為過點(diǎn)的法線的斜率.解：由題意得.從而法線的方程為.又被軸平分，與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入上式，得.整理后，得，圖1分離變量，解得，其中c為任意正數(shù)，如圖1. 變量可替換的微分方程通過上面的介紹，我們已經(jīng)知道了什么方程是變量分離方程.下面，我們?cè)俳榻B幾種可化為變量分離方程的類型:2.1齊次方程形如 (1.3)的微分方程，稱為齊次微分方程.這里是的連續(xù)函數(shù).對(duì)方程(1.3)做變量變換 ， (1.4)即，于是 . (1.5)將(1.4),(1.5)代入（1.3），則原方程變?yōu)?，整理后，

3、得到 . (1.6)方程（1.6）是一個(gè)變量分離方程.可按前面(1.1)的方法求解，然后代回原來(lái)的變量，便得到（1.3）的解.例3 求微分方程的通解.解：原方程化為 ，即，于是，令，即，將代入該方程，得，整理，即有，分離變量，得 ，兩邊積分，得，將代回來(lái)，得， ，即，其中為任意常數(shù).另,即也是原方程的解，但此解課包含于通解之中.故,方程的通解為.2.2形如 (1.7)的方程，這里均為常數(shù). 此方程經(jīng)變量變換可化為變量分離方程.我們分三種情形來(lái)討論：2.2.1 的情形.這時(shí)方程化為有通解，其中.2.2.2 的情形.令，這時(shí)有是變量分離方程.2.2.3 的情形.如果方程中不全為零，方程右端分子、分

4、母都是的一次多項(xiàng)式，因此， . （1.8）代表平面上兩條相交直線，設(shè)交點(diǎn).若令，.則（2.2）化為，.從而（2.1）變?yōu)?. (1.9)因此，求解上述變量分離方程，最后代回原變量即可得原方程（2.1）的解.如果方程（2.1）中可不必求解（2.2），直接取變換即可.上述解題的方法也適用于比方程（2.1）更一般的方程類型.例4 求解方程 （2.0）解： 解方程組 , ,得.于是，令,代入方程（2.4），則有 . 再令,即 ，則化為，兩邊積分，得，因此，代回原變量，得，即.因此，方程（2.3）的通解為，其中，為任意常數(shù).通過上述的求解，我們發(fā)現(xiàn)以上的方法是非常的準(zhǔn)確的，但是對(duì)于像例5這種形式的的方程

5、，我們發(fā)現(xiàn)還可以用另一種方法湊微分進(jìn)行求解.湊微分當(dāng)方程滿足： （2.2）時(shí)，方程會(huì)有更簡(jiǎn)便的求解方法（全微分的知識(shí)的運(yùn)用）.即：將代入方程中，有即展開，得 （2.3）有條件（2.6）可知， （2.4）將（2.8）代入（2.7）中，得.很顯然，這是一個(gè)全微分方程，從而原方程的通解為，其中為任意常數(shù).例5 求解方程.解法一：該方程屬于（2.2.2）的情形.于是，令.則所以，原方程可化為.這是一個(gè)分離變量方程.整理可得.將代入，可得即，通解為.其中c為任意常數(shù).觀察例6可以發(fā)現(xiàn)，方程也滿足條件(2.6)，于是用湊微分的方法同樣可以求解.解法二：原方程變形為.整理得.所以.兩邊積分，得原方程的通解為

6、=C，其中C為任意常數(shù).以上的兩種方法都是求解微分方程的常用方法,下面再介紹幾種比較常見的課分離變量的方程.2.3形如 的方程也可以經(jīng)變量變換化為變量分離方程，這里的均為常數(shù).做變量變換，這時(shí)有，即.是變量分離方程.而當(dāng)時(shí)，為其特殊形式.例7 求解方程.解：因?yàn)?， (2.5)可以化為.于是，令 . (2.6)則 , (2.7)將(2.9)代入(2.11)可以知道，這是一個(gè)分離變量方程.即.兩邊同時(shí)積分，得 . (2.8)再將(2.10)代入(2.12)，得.所以整理得，其中C為任意常數(shù). 2.4其他幾種變量能分離的方程類型2.4.1形如 , (2.9)的方程同樣可已經(jīng)變量替換化為變量分離方程.將(2.13)變形為 (3.0)做變量替換 . 這時(shí)有 ， (3.1)將(2.15)代入(2.14)中，得.是變量分離方程.2.4.2形如 ， (3.2)的方程是變量分離方程.做變量替換，則 ， (3.3)代入原方程，得.是變量分離方程.2.4.3形如 ， (3.4)的方程是變量分離方程.做變量替換，則，有 ， (3.5)將(2.19)代入(2.18)中，得，所以，原方程同樣是變量可替換方程.2.4.4形如 (3.6)（其中、滿足）的方程.可令，方程(2.20)化為齊次方程，事實(shí)上，由于，所以，即，再，設(shè)，可化為變量分離變量.除此之外，還有一