矢量分析與場論講義

1、矢量分析與場論矢量分析是矢量代數(shù)和微機分運算的結(jié)合和推廣，主要研究矢性函數(shù)的極限、連續(xù)、導數(shù)、微分、積分等。而場論則是借助于矢量分析這個工具，研究數(shù)量場和矢量場的有關(guān)概念和性質(zhì)。通過這一部分的學習，可使讀者掌握矢量分析和場論這兩個數(shù)學工具，并初步接觸到算子的概念及其簡單用法，為以后學習有關(guān)專業(yè)課程和解決實際問題，打下了必要的數(shù)學基礎(chǔ)。第一章 矢量分析一 內(nèi)容概要1 矢量分析是場論的基礎(chǔ)，本章主要包括以下幾個主要概念：矢性函數(shù)及其極限、連續(xù)，有關(guān)導數(shù)、微分、積分等概念。與高等數(shù)學研究過的數(shù)性函數(shù)的相應(yīng)概念完全類似，可以看成是這些概念在矢量分析中的推廣。2 本章所討論的，僅限于一個自變量的矢性函數(shù)

2、，但在后邊場論部分所涉及的矢性函數(shù)，則完全是兩個或者三個自變量的多元矢性函數(shù)或者，對于這種多元矢性函數(shù)及其極限、連續(xù)、偏導數(shù)、全微分等概念，完全可以仿照本章將高等數(shù)學中的多元函數(shù)及其有關(guān)的相應(yīng)概念加以推廣而得出。3 本章的重點是矢性函數(shù)及其微分法，特別要注意導矢的幾何意義，即是位于的矢端曲線上的一個切向矢量，其起點在曲線上對應(yīng)t值的點處，且恒指向t值增大的一方。 如果將自變量取為矢端曲線的弧長s，即矢性函數(shù)成為，則不僅是一個恒指向s增大一方的切向矢量，而且是一個單位切向矢量。這一點在幾何和力學上都很重要。4 矢量保持定長的充分必要條件是與其導矢互相垂直。因此單位矢量與其導矢互相垂直。比如圓函數(shù)

3、為單位矢量，故有，此外又由于，故。（圓函數(shù)還可以用來簡化較冗長的公式，注意靈活運用）。5 在矢性函數(shù)的積分法中，注意兩個矢性函數(shù)的數(shù)量積和兩個矢性函數(shù)的矢量積的分部積分法公式有所不同，分別為：前者與高等數(shù)學種數(shù)性函數(shù)的分部積分法公式一致，后者由兩項相減變?yōu)榱饲蠛?，這是因為矢量積服從于“負交換律”之故。6 在矢量代數(shù)中，在引進了矢量坐標之后，一個空間量就和三個數(shù)量構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系，而且有關(guān)矢量的一些運算，例如和、差以及數(shù)量與矢量的乘積都可以轉(zhuǎn)化為三個數(shù)量坐標的相應(yīng)運算。同樣，在矢量分析中，若矢性函數(shù)采用坐標表示式，則一個矢性函數(shù)就和三個數(shù)性函數(shù)構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系，而且有關(guān)矢性函數(shù)的一些運算，例如計

4、算極限、求導數(shù)、求積分等亦可以轉(zhuǎn)化為對其三個坐標函數(shù)的相應(yīng)運算。7 矢性函數(shù)極限的基本運算公式(14)、導數(shù)運算公式(p11)、不定積分的基本運算公式(p16)典型例題：教材p6例2、p10 例4、p12例6、p13例7。習題一（p1920）此外還有上課所講的例題。補充：1） 設(shè)，求2） 一質(zhì)點以常角加速度沿圓周運動，試證明其加速度 ，其中為速度的模。3） 已知矢量，計算積分。4） 已知矢量，計算積分。第二章 場論一 內(nèi)容概要1 本章按其特點可以劃分為三部分：第一部分為第一節(jié)，除介紹場的概念外，主要討論了如何從宏觀上利用等值面（線）和矢量線描述場的分布規(guī)律；第二部分為第二、三、四節(jié)，內(nèi)容主要是

5、從微觀方面揭示場的一些重要特性；第三部分為第五節(jié)，主要介紹三種具有某種特性而又常見的矢量場。其中第二部分又為本章之重點。2 空間數(shù)量場的等值面和平面數(shù)量場的等值線以及矢量場的矢量線等，都是為了能夠形象直觀地體現(xiàn)所考察的數(shù)量或矢量在場中的宏觀分布情況而引入的概念。 比如溫度場中的等溫面，電位場中的等位面，都是空間數(shù)量場中等值面的例子；而地形圖上的等高線即為平面數(shù)量場中等值線的例子。 在矢量場中，矢量線可以體現(xiàn)場矢量的分布狀況，又能體現(xiàn)場矢量的走向。例如流場中的流線，體現(xiàn)了流速的分布狀況和它們的走向。此外，由于矢量場中的每一點都有一條矢量線通過，因此對于場中的任一條曲線C（非矢量線），在其上的每一

6、點也皆有一條矢量線通過，這些矢量線的全體，就構(gòu)成一曲面，稱為矢量面，特別的，當曲線C為封閉曲線時，矢量面就成為一管形曲面，稱之為矢量管。3 有一種空間場（矢量場或者數(shù)量場）具有這樣的一種幾何特點：就是在場中存在一族充滿場所在空間的平行平面，場在其中每一個平面上的分布，都是完全相同的（若是矢量場，其場矢量同時也平行于這些平面）。對于這種場，只要知道場在其中任一平面的中的特性，則場在整個空間里的特性就知道了，因此，可以將這種場簡化到這族平面中的任意一個平面上來研究，因而，也把這種場稱為平行平面場。在平行平面場中，通常為了研究方便，通常取所研究的這一個平面為xoy平面。此時，在平行平面場中，場矢量就

7、可以表示成為平面矢量，在平行平面數(shù)量場中，其數(shù)量就可以表示成為二元函數(shù)，并且這樣的研究結(jié)果適用于任何一塊與xoy面平行的平面。典型例題：習題2（最好能全部做一下）（1）求數(shù)量場通過點M(1,2,1)的等值面。（2）求矢量場通過點M(2,1,1)的矢量線方程。4 數(shù)量場中函數(shù)的方向?qū)?shù)是一個數(shù)量。它表示在場中的一個點處函數(shù)沿某一方向的變化率。詳細點說：其絕對值的大小，表示沿該方向函數(shù)變化的快慢程度，其符號的正負，則表示沿該方向函數(shù)的變化是增加還是減小的。 若在點M處，函數(shù)可微，則函數(shù)u沿l方向的方向?qū)?shù)在迪卡爾坐標下的計算公式為：5 數(shù)量場的梯度是一個矢量，場中的每一點都對應(yīng)著一個梯度矢量。梯度

8、矢量有兩個重要性質(zhì)：（1）梯度在任一方向上的投影，正好等于函數(shù)在該方向上的方向?qū)?shù)，。據(jù)此可以推出：梯度自身的方向就是方向?qū)?shù)最大的方向，其模就是這個最大方向?qū)?shù)的數(shù)值。（2）數(shù)量場中每一點處的梯度都垂直于此數(shù)量場過該點的等值面，且指向函數(shù)值增大的一方。 梯度在直角坐標系中的表達式為：。此外，從梯度的基本運算公式可以看出，他與一元函數(shù)中導數(shù)運算的公式完全類似，這一點可以幫助大家掌握梯度的基本運算(p39)。典型例題 p34例2，p37例3，例4，p38例5，6，習題3。（1）求函數(shù)在點M(1,2,3)處沿矢量方向的方向?qū)?shù)。（2）求函數(shù)在曲面在點M(2,3,3)處沿曲面下側(cè)法線方向的方向?qū)?shù)。

9、（3）求函數(shù)在點M(2,3)處沿曲線朝x增大一方的方向?qū)?shù)。（4）設(shè)R是從點到任意一點的距離，求證是在方向上的單位矢量。（5）已知一可微的數(shù)量場在點處，朝點方向的方向?qū)?shù)是4，朝點方向的方向?qū)?shù)為-2，朝點方向的方向?qū)?shù)為1，試確定在處的梯度，并求出朝點方向的方向?qū)?shù)。（6）求數(shù)量場在點處沿過點M的等值面的外法線方向的方向?qū)?shù)，其中r為矢徑的模。6矢量場穿過某一曲面的通量是從某些物理量，諸如流速場中的流量、電場中的電通量、磁場中的磁通量以及熱流場中的熱量等等概念中抽象出來形成的一個數(shù)學概念。因此通量是具有若干物理意義的。 如果是一個封閉曲面，則矢量場穿出的總通量為，（1） 當時，則S內(nèi)必有產(chǎn)生

10、通量的源頭；（2） 當時，則S內(nèi)必有吸收通量的漏洞；這兩種情況，合稱為S內(nèi)有源（源頭為正源，漏洞為負源）。（3） 當時，不能斷言S內(nèi)無源，因為這時，在S內(nèi)正源和負源互相抵消，也可能恰好出現(xiàn)總通量為零的情況。由此可見，從穿出某個封閉曲面的總通量，可以初步了解在S內(nèi)通量產(chǎn)生的情況，當然這僅僅是一種整體性的粗略了解，這由此引出了矢量場中散度的概念。7 矢量場的散度div，是指在場中的一點處，矢量場穿出一個包含該點在內(nèi)的微小區(qū)域的邊界曲面的通量對的體積變化率，即它是一個數(shù)量，表示此矢量場在這個點處散發(fā)通量或者吸收通量的強度。具體來說，散度以絕對值表示在該點處源的強度大小。當其不為零時，以正負號表示該點

11、處的源為正源或者負源；當其為零時，則表示該點無源，從而將散度恒為零的矢量場稱為無源場。與散度相對應(yīng)的場稱為散度場。由于散度場為數(shù)量場，故亦可通過其等值面、方向?qū)?shù)和梯度等來揭示其分布規(guī)律和變化情況。 在直角坐標系中，矢量場在點M處的散度表示式為：由此可以得出奧氏公式（高斯定理）的矢量形式為：此式表明了通量和散度之間的一種關(guān)系：穿出封閉曲面S的通量，等于S所包圍的區(qū)域上的散度在上的三重積分。P52散度的基本運算公式。典型例題 p44例1，p52例4，例5，習題4。（1）設(shè)S為由圓柱面及平面和所圍成的封閉曲面，求穿出S的柱面部分的通量。（2）已知，試確定阿a，b，c使得A是一個無源場。（3）求矢量

12、場所產(chǎn)生的散度場通過點的等值面及其在點M處沿Ox軸正向的變化率。(4) 已知，其中，求。8 矢量場沿有向閉曲線l的環(huán)量也是從某些物理量，如力場中的功、流場中的環(huán)流以及磁場中的電流強度等概念抽象形成的一個數(shù)學概念，和通量概念的形成極為類似，通量是一個曲面積分，環(huán)量是一個曲線積分。二者在矢量場中都是一種整體性的概念，為了研究矢量場的局部性質(zhì)，前面從通量引入了散度，這里又可以從環(huán)量引入環(huán)量面密度的概念： 在矢量場中的一點M處，取定一個方向為，再經(jīng)過點M處以為法矢作一微小曲面，同時以表示其面積，其邊界之正向與法矢構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，則場沿之正向的環(huán)量與面積之比，當沿其自身縮向M點時，其極限就稱為矢量場在

13、點M處沿方向的環(huán)量面密度（就是環(huán)量對面積的變化率），即：可見，環(huán)量面密度概念與散度概念（通量的體密度）的構(gòu)成是非常類似的，二者都是一種局部性的概念。 設(shè)矢量場，則場在點M處沿方向的環(huán)量面密度在直角坐標系下的計算公式為：9 環(huán)量面密度與散度這兩個概念的構(gòu)成雖然很相似，且都是一種變化率，但二者有著重要的差別，這就是：散度和矢量場中之點能構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系，二環(huán)量面密度不僅與場中的點位置有關(guān)，而且還與從該點出發(fā)的方向有關(guān)，從一個點出發(fā)的方向有無窮多個方向，對應(yīng)的也有無窮多個環(huán)量面密度的值，所以，換輛面密度與矢量中的點不能構(gòu)成一一對應(yīng)的關(guān)系。環(huán)量面密度和散度的上述差別正是環(huán)量面密度和方向?qū)?shù)相一致的地方

14、。這就誘導我們?nèi)ふ乙环N矢量，使它在一個點處和環(huán)量面密度之間的關(guān)系恰如梯度和方向?qū)?shù)之間的關(guān)系一樣，循此探索，就得出了旋度的概念。10 矢量場在M點處的旋度，是這樣一個矢量，它在任一方向上的投影，就等于場沿該方向的環(huán)量面密度，即有：由此可知：旋度的方向就是環(huán)量面密度最大的方向，其模也就是這個最大環(huán)量面密度的數(shù)值。如果把旋度與矢量場中的點一一對應(yīng)起來，又得到一個矢量場，叫做有矢量場產(chǎn)生的旋度場。對于那種恒有的矢量場，叫做無旋場。 矢量場的旋度，在直角坐標系下的計算公式為：或者寫為：據(jù)此可以將斯托克斯公式寫成矢量形式：此式表明了環(huán)量和旋度之間的一種關(guān)系：即沿有向封閉曲線l的環(huán)量，等于旋度沿與l的方

15、向構(gòu)成右手螺旋的方向穿過以l為邊界的曲面S的通量。旋度之所以得名是因為在流場中速度的旋度恰好是流場中該點旋轉(zhuǎn)角速度矢量乘上一個常數(shù)2，即。P65旋度的基本運算公式。典型例題：p58例1，p60例2，p63例3，p65例6，習題5。（1）設(shè)，求和。11 三種特殊的矢量場。即有勢場、管形場和調(diào)和場。其中以有勢場為重點。 設(shè)矢量場為有勢場，是指在場中存在單值函數(shù)滿足：，稱函數(shù)為這個場的勢函數(shù)。從而矢量與其勢函數(shù)之間存在下列關(guān)系：，但在流體力學中，也直接把定義為矢量場的勢函數(shù)。12 具有曲線積分與路徑無關(guān)性質(zhì)的矢量場稱為保守場。如靜電場、引力場、重力場都是保守場。根據(jù)第五節(jié)定理1及其證明，可知：在線單

16、連域內(nèi)，“場有勢”，“場無旋”，“場保守”以及“表達式為某個函數(shù)的全微分（這個函數(shù)叫做表達式的原函數(shù)）”這四者是等價的。一般通過考察場是否無旋，即是否有來判斷其余三者是否成立。 由此知：若有，則存在原函數(shù)，且此原函數(shù)就是滿足的函數(shù)，它可以用如下公式來計算出：其中為場中任意一點，為了計算簡便通常取為坐標原點；C為任意常數(shù)。容易看出，在求得u后，有勢場的勢函數(shù)就隨之得到了。 此外，若為保守場，則曲線積分其中u(M)為的一個原函數(shù)，可用上面公式求出。計算曲線積分的這個公式與計算定積分的牛頓萊布尼茨公式完全相似，都是通過原函數(shù)來計算，用起來很方便。13 矢量場為管形場，是指它恒有散度，即為無源場。管形

17、場中存在矢量滿足，矢量叫做管形場的矢勢量。教材為了說明它的存在，直接給出了從已知管形場矢量計算其矢勢量的如下計算公式：簡要給出其推證：由，有，為簡便起見，我們?nèi)。–為常數(shù)），然后在（1）與（2）式兩邊對z積分，得：，這里，都是，x，y的任意函數(shù)，將此兩式帶入（3）可得： （4）再由條件即帶入上式得： （5）或者，即 （6）為簡單起見，再在其中取 （7）即得：其中為x的任意函數(shù)，再取，就得到： （8）將（7），（8）依次帶入（5）與（6）即可得出U，V，再由W=0既可得出所推證的矢勢量的計算公式。 從上面的推證過程也可以看出，如果不取，而將之取為別的合于條件的函數(shù)，則計算矢勢量的公式隨之變化，這

18、表明同一個管形場，存在著無窮多的矢勢量，而不限于有這里所推證的公式計算出來的。14 若矢量場恒有和，則稱為調(diào)和場。簡而言之調(diào)和場是一個既無源又無旋的矢量場。在調(diào)和場中，由于有，故調(diào)和場也是有勢場，因此存在函數(shù)u滿足，又由于有，既有：或者寫為：這是一個二階偏微分方程，叫做拉普拉斯方程，對于滿足拉普拉斯方程且有二階連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)，叫做調(diào)和函數(shù)，可見上述函數(shù)u以及勢函數(shù)v=-u都是調(diào)和函數(shù)。15 特別應(yīng)注意的是平面調(diào)和場，就是既無源又無旋的平面矢量場，它與空間調(diào)和場相比，有其特殊性。 設(shè)為平面調(diào)和場，則有，故存在勢函數(shù)v滿足，又因其有，由此可以推出滿足的函數(shù)u，這個函數(shù)u叫做的力函數(shù)。函數(shù)u和v可

19、用下面公式來求出：函數(shù)u和v還滿足如下的關(guān)系式：由此可以得到：這說明函數(shù)u和v均為滿足二維拉普拉斯方程的調(diào)和函數(shù)，故又稱二者為共軛調(diào)和函數(shù)。應(yīng)用這個共軛條件，便可以從u和v中的一個求出另一個。 此外，力函數(shù)和勢函數(shù)的等值線依次叫做平面調(diào)和場的力線和等勢線，其中力線就是矢量場的矢量線，而勢線就是與矢量線相互正交的一族曲線。典型例題：p71-73例1，2，3，4，p76例5，p78例6，p80例7，習題6。（1） 證明為有勢場，并求其勢函數(shù)。（2） 解微分方程 。（3） 證明為保守場，并計算曲線積分，其中l(wèi)是從點到點的任意路徑。（4） 證明為調(diào)和場，并求出場的調(diào)和函數(shù)和矢勢量各一個。（5） 已知，其中函數(shù)R適合，且當時，求R使矢量場A存在函數(shù)u滿足，并判斷A是否為管形場。（6） 矢量場是否為平面調(diào)和場？若是，求其力函數(shù)u和勢函數(shù)v。第三章 哈密頓算子1 哈密頓算子 是一個矢性