空間向量與垂直關(guān)系練習(xí)題

1、課時作業(yè)(十九)一、選擇題1已知平面的法向量為a(1,2，2)，平面的法向量為b(2，4，k)，若，則k()A4 B4 C5 D5【解析】，ab，a·b282k0.k5.【答案】D2在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，則以下等式中可能不成立的是()A. B.C. D.【解析】由題意知PA平面ABCD，所以PA與平面上的線AB、CD都垂直，A、B正確；又因為菱形的對角線互相垂直，可推得對角線BD平面PAC，故PCBD，C選項正確【答案】D3已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y3)，且BP平面ABC，則實數(shù)x，y，z分別為()A.，4 B.，4C.，2,4 D4，1

2、5【解析】，·0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，則解得【答案】B4已知點(diǎn)A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，點(diǎn)D滿足條件：DBAC，DCAB，ADBC，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A(1,1,1)B(1，1，1)或C.D(1,1,1)或【解析】設(shè)D(x，y，z)，則(x，y1，z)，(x，y，z1)，(x1，y，z)，(1,0,1)，(1,1,0)，(0，1,1)又DBACxz0，DCABxy0，ADBC(x1)2y2z22，聯(lián)立得xyz1或xyz，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,1,1)或.故選D.【答案】D二、填空題5已知直線l與平面垂直，直線l的一個方向向量u(1，3，

3、z)，向量v(3，2,1)與平面平行，則z_.【解析】由題意知uv，u·v36z0，z9.【答案】96已知a(x,2，4)，b(1，y,3)，c(1，2，z)，且a，b，c兩兩垂直，則(x，y，z)_.【解析】由題意，知解得x64，y26，z17.【答案】(64，26，17)7已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)對于結(jié)論：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正確的是_【解析】·0，·0，ABAP，ADAP，則正確又與不平行，是平面ABCD的法向量，則正確由于(2,3,4)，(1,2，1)，與

4、不平行，故錯誤【答案】三、解答題8. 如圖3­2­16，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是線段EF的中點(diǎn)圖3­2­16求證：AM平面BDF.【證明】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(，0)，B(0，0)，D(，0,0)，F(xiàn)(，1)，M.所以，(0，1)，(，0)設(shè)n(x，y，z)是平面BDF的法向量，則n，n，所以取y1，得x1，z.則n(1,1，)因為.所以n ，得n與共線所以AM平面BDF.9. 如圖3­2­17，底面ABCD是正方形，AS平面ABCD，且ASAB，E是SC的中

5、點(diǎn)求證：平面BDE平面ABCD.圖3­2­17【證明】法一設(shè)ABBCCDDAAS1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E.連接AC，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連接OE，則點(diǎn)O的坐標(biāo)為.因為(0,0,1)，所以.所以O(shè)EAS.又因為AS平面ABCD，所以O(shè)E平面ABCD.又因為OE平面BDE，所以平面BDE平面ABCD.法二設(shè)平面BDE的法向量為n1(x，y，z)，因為(1,1,0)，所以即令x1，可得平面BDE的一個法向量為n1(1,1,0)因為AS平面ABCD，所以平面ABCD的一個法向量為n2(

6、0,0,1)因為n1·n20，所以平面BDE平面ABCD.1如圖3­2­18，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，E為BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn)，則下列圖3­2­18向量中，能作為平面AEF的法向量的是()A(1，2,4)B(4,1，2)C(2，2,1)D(1,2，2)【解析】設(shè)平面AEF的一個法向量為n(x，y，z)，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則A(1,0,0)，E，F(xiàn).故，.所以即所以當(dāng)z2時，n(4,1，2)，故選B.【答案】B2(2014·遵義高二檢測)如圖3&#

7、173;2­19，在三棱柱ABC­A1B1C1中，側(cè)棱AA1底面A1B1C1，BAC90°，ABACAA11，D是棱CC1的中點(diǎn)，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn)若點(diǎn)Q在線段B1P上，則下列結(jié)論正確的是()圖3­2­19A當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的中點(diǎn)時，DQ平面A1BDB當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的三等分點(diǎn)時，DQ平面A1BDC在線段B1P的延長線上，存在一點(diǎn)Q，使得DQ平面A1BDD不存在DQ與平面A1BD垂直【解析】以A1為原點(diǎn)，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由已知得A1(0,0,0)，B1(1,

8、0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，D，P(0,2,0)，(1,0,1)，(1,2,0)，.設(shè)平面A1BD的法向量為n(x，y，z)，則取z2，則x2，y1，所以平面A1BD的一個法向量為n(2,1，2)假設(shè)DQ平面A1BD，且(1,2,0)(，2，0)，則，因為也是平面A1BD的法向量，所以n(2,1，2)與共線，于是有成立，但此方程關(guān)于無解故不存在DQ與平面A1BD垂直，故選D.【答案】D3. 如圖3­2­20，四棱錐P­ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD底面ABCD，且PD1，若E，F(xiàn)分別為PB，AD中點(diǎn)，則直線EF與平面PBC的位置

9、關(guān)系_圖3­2­20【解析】以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則E，F(xiàn)，平面PBC的一個法向量n(0,1,1)，n，n，EF平面PBC.【答案】垂直4(2014·廣州高二檢測)如圖3­2­21，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且ADBC，ABCPAD90°，側(cè)面PAD底面ABCD.若PAABBCAD.圖3­2­21(1)求證：CD平面PAC；(2)側(cè)棱PA上是否存在點(diǎn)E，使得BE平面PCD？若存在，指出點(diǎn)E的位置并證明，若不存在，請說明理由【解】因為PAD90°，所以PAAD.又因為側(cè)面PAD底面ABCD，且側(cè)面PAD底面ABCDAD，所以PA底面ABCD.又因為BAD90°，所以AB，AD，AP兩兩垂直分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)AD2，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)(1)(0,0,1)，(1,1,0)，(1,1,0)，可得·0，·0，所以APCD，ACCD.又因為AP