第九章空間解析幾何

1、第九章 空間解析幾何一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要（一）學(xué)習(xí)要求1理解空間直角坐標(biāo)系的概念,掌握兩點(diǎn)間的距離公式. 2理解向量的概念、向量的模、單位向量、零向量與向量的方向角、方向余弦概念. 3理解向量的加法、數(shù)乘、數(shù)量積與向量積的概念. 4理解基本單位向量，熟練掌握向量的坐標(biāo)表示，熟練掌握用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量的加法、數(shù)乘、數(shù)量積與向量積的運(yùn)算. 5理解平面的點(diǎn)法式方程和空間直線的點(diǎn)向式方程（標(biāo)準(zhǔn)方程）、參數(shù)方程，了解平面和空間直線的一般式方程. 6理解曲面及其方程的關(guān)系，知道球面、柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的概念，掌握球面、以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸、準(zhǔn)線在坐標(biāo)面上的旋轉(zhuǎn)曲面及以坐標(biāo)軸為軸的圓柱面和圓錐面的方程及

2、其圖形. 7了解空間曲線及其方程，會(huì)求空間曲線在坐標(biāo)面內(nèi)的投影. 8了解橢球面、橢圓拋物面等二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖形. 重點(diǎn) 向量的概念，向量的加法、數(shù)乘、數(shù)量積與向量積的概念，用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量的加法、數(shù)乘、數(shù)量積與向量積的運(yùn)算，平面的點(diǎn)法式方程，空間直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程和參數(shù)方程，球面、以坐標(biāo)軸為軸的圓柱面和圓錐面方程及其圖形，空間曲線在坐標(biāo)面內(nèi)的投影. 難點(diǎn) 向量的概念，向量的數(shù)量積與向量積的概念與計(jì)算，利用向量的數(shù)量積與向量積去建立平面方程與空間直線方程的方法，利用曲面的方程畫(huà)出空間圖形. （二）內(nèi)容提要 1. 空間直角坐標(biāo)系 在空間,使三條數(shù)軸相互垂直且相交于一點(diǎn)，這三條數(shù)軸分別

3、稱為軸、軸和軸，一般是把放置在水平面上，軸垂直于水平面.軸的正向按下述法則規(guī)定如下：伸出右手，讓四指與大拇指垂直，并使四指先指向軸的正向，然后讓四指沿握拳方向旋轉(zhuǎn)900指向軸的正向，這時(shí)大拇指所指的方向就是軸的正向(該法則稱為右手法則).這樣就組成了右手空間直角坐標(biāo)系.在此空間直角坐標(biāo)系中，軸稱為橫軸，軸稱為縱軸，軸稱為豎軸，稱為坐標(biāo)原點(diǎn);每?jī)奢S所確定的平面稱為坐標(biāo)平面，簡(jiǎn)稱坐標(biāo)面.軸與軸所確定的坐標(biāo)面稱為坐標(biāo)面，類似地有坐標(biāo)面，坐標(biāo)面。這些坐標(biāo)面把空間分為八個(gè)部分，每一部分稱為一個(gè)卦限.在空間直角坐標(biāo)系中建立了空間的一點(diǎn)與一組有序數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。有序數(shù)組稱為點(diǎn)的坐標(biāo)；分別稱為坐標(biāo)，坐標(biāo)

4、，坐標(biāo).2. 向量的基本概念向量的定義既有大小，又有方向的量，稱為向量或矢量向量的模向量的大小稱為向量的模，用或表示向量的模單位向量模為1的向量稱為單位向量零向量模為的向量稱為零向量，零向量的方向是任意的.向量的相等 大小相等且方向相同的向量稱為相等的向量.自由向量 在空間任意地平行移動(dòng)后不變的向量,稱為自由向量.向徑終點(diǎn)為的向量稱為點(diǎn)的向徑,記為.3. 向量的線性運(yùn)算 向量的加法 三角形法則若將向量的終點(diǎn)與向量的起點(diǎn)放在一起，則以的起點(diǎn)為起點(diǎn)，以的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量稱為向量與的和向量，記為.這種求向量和的方法稱為向量加法的三角形法則. 平行四邊形法則將兩個(gè)向量和的起點(diǎn)放在一起，并以和為鄰邊作平

5、行四邊形，則從起點(diǎn)到對(duì)角頂點(diǎn)的向量稱為.這種求向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則.向量的加法滿足下列運(yùn)算律.交換律：=；結(jié)合律：（）+=+（+）.2 向量與數(shù)的乘法運(yùn)算實(shí)數(shù)與向量的乘積是一個(gè)向量，稱為向量與數(shù)的乘積，記作，并且規(guī)定： ； 當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，與的方向相反； 當(dāng)時(shí)，是零向量. 設(shè)都是實(shí)數(shù)，向量與數(shù)的乘法滿足下列運(yùn)算律： 結(jié)合律：； 分配律： , (+)=+. 向量的加法運(yùn)算和向量與數(shù)的乘法運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算. 求與同向的單位向量的方法 設(shè)向量是一個(gè)非零向量，則與同向的單位向量 . 負(fù)向量 當(dāng)時(shí)，記(-1)=-，則-與的方向相反，模相等，-稱為向量的負(fù)向量. 向量

6、的減法 兩向量的減法（即向量的差）規(guī)定為 -= +(-1) . 向量的減法也可按三角形法則進(jìn)行，只要把與的起點(diǎn)放在一起，-即是以的終點(diǎn)為起點(diǎn)，以的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量. 4. 向量的坐標(biāo)表示 基本單位向量 ,分別為與軸,軸,軸同向的單位向量. 向徑的坐標(biāo)表示 點(diǎn)的向徑的坐標(biāo)表達(dá)式為=或簡(jiǎn)記為 =.的坐標(biāo)表示設(shè)以為起點(diǎn),以為終點(diǎn)的向的坐標(biāo)表達(dá)式為 =. 向量的模 =.5. 坐標(biāo)表示下的向量的線性運(yùn)算設(shè)，則有（1）；（2）；（3）.6. 向量的數(shù)量積定義 設(shè)向量之間的夾角為，則稱為向量的數(shù)量積，記作·，即 ·=.向量的數(shù)量積又稱“點(diǎn)積”或“內(nèi)積”.向量的數(shù)量積還滿足下列運(yùn)算律:交換

7、律：·= ·；分配律：(+)·= ·+·；結(jié)合律：(·)=()· .2 數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)，,則·=.向量與的夾角余弦設(shè)，,則 = . 向量的方向余弦設(shè) 向 量 與 軸 , 軸 , 軸 的 正 向 夾 角 分 別 為 ,稱其為向量的三個(gè)方向角，并稱 ,為的方向余弦，向量的方向余弦的坐標(biāo)表示為，且.7向量的向量積定義 兩個(gè)向量與的向量積是一個(gè)向量，記作×，它的模和方向分別規(guī)定如下：×= ； ×的方向?yàn)榧却怪庇谟执怪庇?，并且按順?×符合右手法則.向量的向量積滿足如下運(yùn)算律.反交

8、換律：×=-×；分配律：(+)×=×+×；結(jié)合律：(×)=()×=×().向量積的坐標(biāo)表示設(shè)，則 ×=.可將×表示成一個(gè)三階行列式的形式，計(jì)算時(shí)，只需將其按第一行展開(kāi)即可.即×=.8.三個(gè)重要結(jié)論;0;=.其中，“”表示“充分必要條件” .平面方程平面的點(diǎn)法式方程如果一非零向量垂直于平面，則稱此向量為該平面的法向量.過(guò)點(diǎn)，以=為法向量的點(diǎn)法式平面方程為至少有一個(gè)不為零）.平面的一般式方程以=為法向量的一般式平面方程為 至少有一個(gè)不為零）.兩個(gè)平面的位置關(guān)系設(shè)兩個(gè)平面的方程分別為 其法向

9、量分別為=，=，有如下結(jié)論： ；. （4）平面的夾角，即為兩個(gè)平面法向量夾角，其公式為 =.（5）點(diǎn)到平面的距離公式為 .10. 直線方程如果一個(gè)非零向量平行于直線,則稱為直線的方向向量. 直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程 設(shè)直線過(guò)點(diǎn)且以為方向向量,則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程(也稱為點(diǎn)向式方程)為 . 直線的參數(shù)方程 設(shè)直線過(guò)點(diǎn)且以為方向向量,則直線的參數(shù)方程為 其中為參數(shù). 直線的一般式方程 若直線作為平面和平面的交線，則該直線的一般式方程為其中與不成比例. 兩條直線的位置關(guān)系設(shè)直線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為 其方向向量分別為則有 ；.11直線與平面的位置關(guān)系直線與它在平面上的投影線間的夾角，稱為直線與平面的夾角.設(shè)直線的方

10、程分別為 則直線的方向向量為，平面的法向量為，向量與向量間的夾角為，于是,所以 = . 由此可知：. ; ; .12. 曲面方程如果曲面上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，而不在曲面上的每一點(diǎn)坐標(biāo)都不滿足方程，則稱方程為曲面方程，稱曲面為的圖形.13. 柱面直線沿定曲線平行移動(dòng)所形成的曲面稱為柱面.定曲線稱為柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線稱為柱面的母線.如果柱面的準(zhǔn)線在坐標(biāo)面上的方程為,那么以為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面方程就是；同樣地，方程表示母線平行于軸的柱面方程；方程表示母線平行于軸的柱面方程.一般地，在空間直角坐標(biāo)系中，含有兩個(gè)變量的方程就是柱面方程，且在其方程中缺哪個(gè)變量，此柱面的母線就平行于哪一個(gè)坐標(biāo)軸.

11、例如，方程分別表示母線平行于軸的橢圓柱面、雙曲柱面和拋物柱面.14. 旋轉(zhuǎn)曲面定義 一平面曲線繞與其在同一平面上的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面，曲線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，直線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的軸.母線在坐標(biāo)面上，繞某個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)曲面設(shè)在坐標(biāo)面上有一條已知曲線，它在坐標(biāo)面上的方程是，母線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為.由此可見(jiàn)，只要在坐標(biāo)面上曲線的方程中把換成，就可得到曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程.同理，曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為.對(duì)于其他坐標(biāo)面上的曲線，用上述方法可得到繞此坐標(biāo)平面上任何一條坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)曲面.15. 二次曲面在空間直角坐標(biāo)系中,如果是二次方程,則它

12、的圖形稱為二次曲面.下面給出幾種常見(jiàn)的曲面方程： 球面方程以為球心，為球半徑的球面方程為 . 圓柱面方程設(shè)一個(gè)圓柱面的母線平行于軸，準(zhǔn)線是在坐標(biāo)面上的以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，即準(zhǔn)線在坐標(biāo)面上的方程為，其圓柱面方程為. 錐面方程頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸的圓錐面方程為. 橢圓拋物面方程橢圓拋物面方程為 ,當(dāng)時(shí)，原方程化為，它由拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)而成，稱為旋轉(zhuǎn)拋物面. 橢球面方程橢球面方程為 ,其中稱為橢球面的半軸. 16.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 設(shè)空間曲線的方程為過(guò)曲線上的每一點(diǎn)作坐標(biāo)面的垂線,這些垂線形成了一個(gè)母線平行于軸的柱面,稱為曲線關(guān)于坐標(biāo)面的投影柱面.這個(gè)柱面與坐標(biāo)面的交線稱為曲線在坐標(biāo)面

13、的投影曲線，簡(jiǎn)稱為投影.在方程組中消去變量，得 ，方程就是曲線關(guān)于坐標(biāo)面的投影柱面方程.它與坐標(biāo)面的交線就是曲線在坐標(biāo)面的投影曲線方程. 二、主要解題方法1向量的運(yùn)算例1 設(shè)向量=4-4+7的終點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1,7).求 (1)始點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)向量的模；(3)向量的方向余弦；(4)與向量方向一致的單位向量.解 （1）設(shè)始點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，則有 ， ,，得 =2 , =3 , =0 ;(2) =9;(3) cos= , cos , cos ;(4) o=(44+7).例2 已知向量與向量=及軸垂直，且，求出向量.解 因?yàn)椋ù怪庇谳S），故與向量平行.由兩向量平行的充要條件，可寫(xiě)成，即=.由題設(shè)，

14、得=2 ， ，,從而得 =，或 =.2 建立平面方程與直線方程的方法例3 求平行于軸，且過(guò)點(diǎn)與的平面方程.解一 利用向量運(yùn)算的方法。關(guān)鍵是求出平面的法向量.因?yàn)槠矫嫫叫杏谳S，所以.又因?yàn)槠矫孢^(guò)點(diǎn)與，所以必有.于是，取=, 而=2，7，-4 ，所以 =，因此，由平面的點(diǎn)法式方程，得，即 .解二 利用平面的一般式方程。設(shè)所求的平面方程為 ,由于平面平行于軸，所以 ，原方程變?yōu)?，又所求平面過(guò)點(diǎn)(1, -5, 1)與(3 , 2, -3)，將的坐標(biāo)代入上述方程，得 解之得 , ,代入所設(shè)方程，故所求平面方程為 .例4 求通過(guò)點(diǎn)(3 , 0 , 0)和點(diǎn)(0 , 0 , 1)且與平面成角的平面的方程.解

15、 設(shè)所求平面方程為 ，平面過(guò)點(diǎn)(3, 0, 0)，有 , 即 ， 平面過(guò)點(diǎn)(0, 0, 1), 有 , 即 ， 又,平面與面成角，有 =， 即 ，解 得 =,故所求平面為 ，即 .例5 求過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的平面方程.解 已知直線的方向向量為=,由于平面與該直線垂直，故可取平面的法向量為該方向向量，即=，由點(diǎn)法式得平面方程 ，即 .例6 求通過(guò)點(diǎn)且與直線垂直相交的直線方程.解 利用向量運(yùn)算的方法。在已知點(diǎn)的條件下，關(guān)鍵是求出直線的方向向量.為此先求出過(guò)點(diǎn)且垂直于已知直線的平面方程，再求出已知直線與此平面的交點(diǎn)，利用交點(diǎn)與已知點(diǎn)找出所求直線的方向向量，即可得到所求的直線方程.其步驟如下：(i)過(guò)點(diǎn)

16、垂直于已知直線的平面方程為 ，即 .(ii)求上述平面與直線的交點(diǎn)，為此令 =， , , ，將上述參數(shù)方程代入平面中，有 ，得 = , 所以 , , =，即 , 所以 ,(iii)寫(xiě)出所求直線方程。由于直線過(guò)點(diǎn)，故所求直線方程為 ， 即.例7 求過(guò)點(diǎn)且與兩平面：和：平行的直線方程.解 設(shè)所求直線的方向向量為， 因?yàn)樗笾本€與,平行，所以,取=,故所求直線的方程為 .小結(jié) 求平面方程和直線方程，在已知一給定點(diǎn)的條件下，關(guān)鍵是求出平面的法線向量和直線的方向向量.這要以兩向量的點(diǎn)積和叉積的運(yùn)算為基礎(chǔ).另外，求平面方程和直線方程的方法往往不是一種，讀者可靈活運(yùn)用已給的條件，選擇一種比較簡(jiǎn)單的方法，求出平面方程或直線方程.3 求旋轉(zhuǎn)曲面方程及空間曲線在坐標(biāo)面上的投影的方法例8 求由橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解 在方程中把換成，得所求方程為 ，這是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球面.例9 求空間曲線在面上的投影曲線方程.解 將所給曲線方程組中消去，就得到包含曲線的投影柱面方程.由于此方程組中的第二個(gè)方程不包含有，所以包含曲線的投影柱面方程就是 .因此，投影柱面與面的交線為故曲線在面的投影曲線方程為例10 求曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程.解 消去得, 這是圓柱面的方程，所以在面上的投影曲線的方程為 ，它是中心在原點(diǎn)，半徑為的圓周.三 、學(xué)法建議1 本章