第二節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法09423

1、第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法教學(xué)目的:弄清正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義；熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的常用判別法，靈活運(yùn)用判別法判斷所給級(jí)數(shù)的斂散性.重難點(diǎn): 靈活運(yùn)用判別法判斷所給級(jí)數(shù)的斂散性.教學(xué)方法:啟發(fā)式講授與指導(dǎo)練習(xí)相結(jié)合.教學(xué)過(guò)程:一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)：若級(jí)數(shù)的各項(xiàng), 則稱級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù).2.【定理1】(基本定理): 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂有界. 且此時(shí)說(shuō)明：因,于是,可見(jiàn)單調(diào)遞增. 故 收斂 收斂 有界. 此時(shí)顯然有.（注意：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列收斂）3.【定理2】(比較判別法): 設(shè)與均為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且 , , 則 (1) 收斂收斂; (2)發(fā)散發(fā)散.證明: 由條件知, 那么(1) 收斂有界有界收斂;(2

2、) 發(fā)散無(wú)界無(wú)界發(fā)散.另證：若收斂，由（1）證明知必收斂，此與題設(shè)發(fā)散矛盾，所以假設(shè)不成立，即發(fā)散.4.【推論】(1) 若級(jí)數(shù)收斂且存在,時(shí)恒有: , (為常數(shù)),則級(jí)數(shù)收斂.（2）若級(jí)數(shù)發(fā)散且存在, 時(shí)恒有: ,(為常數(shù)),則級(jí)數(shù)發(fā)散.例1 討論級(jí)數(shù)的斂散性.解: 若由于級(jí)數(shù)發(fā)散. 若 由 所以 , 那么, 可見(jiàn)有界級(jí)數(shù)收斂.綜上知：級(jí)數(shù)收斂 .（此結(jié)論當(dāng)定理使用）由級(jí)數(shù)得結(jié)論： 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 那么 若, 且, , 則收斂; 若, 則發(fā)散.例2 (1)證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的.證明: .(2) 證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的.證明：因?yàn)?，且?級(jí)數(shù)是發(fā)散的.例3（1）討論級(jí)數(shù)的斂散性.解：，而級(jí)數(shù)為收斂的級(jí)數(shù)所

3、以級(jí)數(shù) 收斂.（2）討論級(jí)數(shù)的斂散性.解：，而級(jí)數(shù)是收斂的幾何級(jí)數(shù)所以級(jí)數(shù) 收斂.(3)判斷級(jí)數(shù) 的斂散性.解 令 為正項(xiàng)級(jí)數(shù).又級(jí)數(shù)為收斂的P級(jí)數(shù)，所以收斂，由比較判別法知故級(jí)數(shù) 收斂.（4）討論級(jí)數(shù)的斂散性.提示：收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.（5）判別級(jí)數(shù)的斂散性.且收斂.例4設(shè).（1）求的值.（2）證明當(dāng)（常數(shù)）時(shí)，級(jí)數(shù)收斂.（1）解 所以（2）證明 因?yàn)?，且時(shí)，收斂，故原級(jí)數(shù)收斂.練習(xí)：用比較判別法確定下列級(jí)數(shù)的斂散性:(1)解該級(jí)數(shù)為,由,且發(fā)散,知原級(jí)發(fā)散.(2)解該級(jí)數(shù)為,由,且收斂,知原級(jí)數(shù)收斂.(3)解由于,這是一個(gè)公比為的幾何級(jí)數(shù),因而是收斂的,由比較判別法可知原級(jí)數(shù)收斂.(4)（

4、由函數(shù)單調(diào)性知所以函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)）解因?yàn)?所以,而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,由比較判別法可知原級(jí)數(shù)發(fā)散.(5)解由于,是一個(gè)公比為的收斂幾何級(jí)數(shù)，所以由比較判別法可知原級(jí)數(shù)收斂.(6)解由,收斂,知原級(jí)數(shù)收斂.例5 討論級(jí)數(shù)的斂散性.解：1）時(shí)由且收斂可得原級(jí)數(shù)收斂.2）時(shí)由且發(fā)散可得原級(jí)數(shù)發(fā)散.3）時(shí)由且發(fā)散可得原級(jí)數(shù)發(fā)散.結(jié)論：當(dāng)通項(xiàng)較容易通過(guò)不等式的放縮而找到已知斂散性的級(jí)數(shù)的通項(xiàng)時(shí)，可以選擇比較判別法.利用比較判別法需要對(duì)調(diào)和級(jí)數(shù)、幾何級(jí)數(shù)、P級(jí)數(shù)的斂散性非常熟悉.5【定理3】(比較判別法的極限形式): 設(shè)與均為正項(xiàng)級(jí)數(shù),若，則(1)當(dāng)時(shí),若收斂,則也收斂；(2)當(dāng)時(shí),若發(fā)散,則也發(fā)散.（3）)

5、當(dāng)時(shí),若與有相同的斂散性.結(jié)論的另一種敘述方法： (1)當(dāng)時(shí),與有相同的斂散性；(2)當(dāng)時(shí),若收斂,則也收斂；(3)當(dāng)時(shí),若發(fā)散,則也發(fā)散.證明:(1)由,當(dāng)時(shí)，, 或 ,若收斂,則也收斂；(2)因?yàn)?,，故，,若收斂,則也收斂,可見(jiàn),若發(fā)散,則必發(fā)散.補(bǔ)充結(jié)論證明提示（1） 當(dāng)時(shí),由得對(duì)時(shí)由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法得若收斂,且，則收斂.若收斂，且，則收斂；故原結(jié)論成立.（2）當(dāng)時(shí),由比較判別法得結(jié)論成立.（3）當(dāng)時(shí),由無(wú)窮大的概念知收斂由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法得收斂，故結(jié)論成立.【推論】(極限法): 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且,(1)當(dāng),時(shí),級(jí)數(shù)收斂;(2)當(dāng),時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.（證明方法：設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),其中，

6、利用比較判別法去證）注意：利用比較的極限形式時(shí)常需用到極限的等價(jià)無(wú)窮小概念，時(shí)例6（1）判別級(jí)數(shù)的斂散性.解: 級(jí)數(shù)發(fā)散.（2）：發(fā)散，可推出原級(jí)數(shù)發(fā)散.（3）判別級(jí)數(shù)的斂散性.解: ,且 是收斂的級(jí)數(shù)（）級(jí)數(shù)收斂. .（4）討論級(jí)數(shù)的斂散性.解：令，則 且發(fā)散正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散.(5)判別級(jí)數(shù)的斂散性.解：時(shí)，且收斂收斂.（6）：，收斂，推出收斂.(7):提示 令 ，發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散.例7判定級(jí)數(shù)的斂散性.解 （1）當(dāng)時(shí)，發(fā)散.（2）當(dāng)時(shí)，令，收斂（），所以原級(jí)數(shù)收斂.另證：令 ,收斂（），所以原級(jí)數(shù) 收斂.（3）當(dāng)時(shí)，令，收斂（），所以原級(jí)數(shù)收斂.另證：令 ,收斂（），所以 原級(jí)數(shù)收斂.綜上所述時(shí)

7、發(fā)散，時(shí)收斂.【結(jié)論】：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)的通項(xiàng)能與常用的等價(jià)無(wú)窮小掛鉤，此時(shí)考慮用比較判別法的極限形式進(jìn)行判定.但必須給出通項(xiàng)比值的極限（與無(wú)窮大比較）以及已知級(jí)數(shù)的斂散性.6【定理4】(比值判別法,達(dá)朗貝爾判別法): 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),若,則 (1)時(shí), 級(jí)數(shù)收斂；(2) 或時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)時(shí), 級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.證明: (1) 時(shí), 對(duì), 由于收斂, 故收斂. 級(jí)數(shù)收斂.(2) 時(shí), 對(duì), 可見(jiàn) 級(jí)數(shù)發(fā)散.(2)時(shí), ,或 同樣 級(jí)數(shù)發(fā)散.(3)時(shí), 級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如: 級(jí)數(shù)發(fā)散, 而級(jí)數(shù)收斂. 注意到這兩個(gè)級(jí)數(shù)均有.例8（1）(88.3) 討論級(jí)數(shù)的斂散性.解由 知原級(jí)數(shù)收

8、斂.（2）討論級(jí)數(shù)的斂散性.解 令，發(fā)散.(3)判斷級(jí)數(shù) 的斂散性.解 令，由比值判別法知故級(jí)數(shù) 收斂.(4)解 該級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，且 所以 ,故 原級(jí)數(shù)收斂.例9判別級(jí)數(shù)的斂散性.解: (1) 由于, 此時(shí)無(wú)法判斷. (2) 但 ，故得知級(jí)數(shù)收斂.（級(jí)數(shù)判別法.）另解 令，又令，因?yàn)椋沂諗?，故?jí)數(shù)收斂.例10 （1）求.解: 令 由于 , 所以 級(jí)數(shù)收斂, 于是.（2）證明 .證明：設(shè)有級(jí)數(shù)，因?yàn)?又因?yàn)?，所以 級(jí)數(shù) 收斂，于是.例11 證明級(jí)數(shù)是收斂的,并估計(jì)誤差.證明: (1) 由于, 故級(jí)數(shù)收斂.(2), .例12 證明級(jí)數(shù)是收斂的,并估計(jì)誤差.證明：(1) 令 由于, 故原級(jí)數(shù)收斂

9、.(2) .【結(jié)論】：對(duì)于不便用比較與比較的極限形式完成斂散性判別的級(jí)數(shù)，應(yīng)考慮比值判別法，它的特點(diǎn)是用自身的相鄰兩項(xiàng)的后一項(xiàng)與前相鄰一項(xiàng)比值極限判定.但注意極限與1比較大小.但必須注意：比值判別法對(duì)級(jí)數(shù)失效.練習(xí)：用比值判別法(達(dá)朗貝爾法則)研究下列各級(jí)數(shù)的斂散性:(1)解 該級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),因?yàn)?所以該級(jí)數(shù)收斂.(2)解 該級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),因?yàn)?所以原級(jí)數(shù)收斂.(3)解 該級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),因?yàn)?原級(jí)數(shù)收斂.(4)解 該級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),因?yàn)樗栽?jí)數(shù)收斂.(5)解 該級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),因?yàn)?所以原級(jí)數(shù)收斂.(6)解 該級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),因?yàn)樵?jí)數(shù)發(fā)散.（7）比值法判定：收斂，發(fā)散，（：）收斂.（8），收斂原

10、級(jí)數(shù)收斂.（9）：原級(jí)數(shù)發(fā)散.7【定理5】(根式（柯西）判別法): 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 若，則(1)時(shí), 級(jí)數(shù)收斂；(2)或時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)時(shí), 級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.證明: (1) 時(shí), 對(duì), 由于收斂, 故級(jí)數(shù)收斂.(2) 時(shí), 對(duì), 可見(jiàn) 級(jí)數(shù)發(fā)散.(2)時(shí), ,或 同樣 級(jí)數(shù)發(fā)散.(3) 時(shí), 級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如: 級(jí)數(shù)發(fā)散, 而級(jí)數(shù)收斂. 注意到這兩個(gè)級(jí)數(shù)均有.()【結(jié)論】：對(duì)通項(xiàng)的指數(shù)為與n次冪相關(guān)的級(jí)數(shù)可以考慮用根植判別法.例13判別下列級(jí)數(shù)的斂散性（1）解 令，因?yàn)?，所?級(jí)數(shù) 收斂.（2）解 令，因?yàn)?，所?級(jí)數(shù) 收斂.例14 判別級(jí)數(shù)的斂散性.解: 由于, 所以級(jí)數(shù)發(fā)散.例15設(shè)，并且級(jí)數(shù)與都收斂，證明 級(jí)數(shù) 收斂.證明 設(shè)則即級(jí)數(shù)與都是正項(xiàng)級(jí)數(shù).因?yàn)榧?jí)數(shù)與都收斂，所以級(jí)數(shù)收斂，而由知，所以由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法知級(jí)數(shù)也收斂；而，且收斂，故 級(jí)數(shù) 收斂.小結(jié)：1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)多用比較判別法與比值判別法判斷其斂散性. 2利用比較的極限形式判別時(shí)注意運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 3利用比較判別法時(shí)注意運(yùn)用已證明