第三章行波法與積分變換法

1、第三章 行波法與積分變換法 在第二章中，討論了分離變量法，它是求解有限區(qū)域內(nèi)定解問(wèn)題的一個(gè)常用方法，只要求解的區(qū)域很規(guī)則（其邊界在某種坐標(biāo)系中的方程能用若干個(gè)只含有一個(gè)坐標(biāo)變量的方程表示），對(duì)三種典型的方程均可運(yùn)用。本章介紹另外兩個(gè)求解定解問(wèn)題的方法，一是行波法，一是積分變化法。行波法只能用于求解無(wú)界域內(nèi)波動(dòng)方程的定解問(wèn)題，積分變換法不受方程類型的限制，主要用于無(wú)界域，但對(duì)有界域也能應(yīng)用。§3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾（DAlembert）要求一個(gè)常微分方程的特解，慣用的方法是先求出它的通解，然后利用初始條件確定通解中的任意常數(shù)得到特解。對(duì)于偏微分方程能否采用類似的方法呢？一般來(lái)說(shuō)

2、是不行的，原因之一是在偏微分方程中很難定義通解的概念，原因之二是即使對(duì)某些方程能夠定義并求出它的通解，但此通解中包含有任意函數(shù)，要由定解條件確定出這些任意函數(shù)是會(huì)遇到很大困難的。但事情不是絕對(duì)得，在少數(shù)情況下不僅可以求出偏微分方程的通解（指包含有任意函數(shù)的解），而且可以由通解求出特解。本節(jié)就一維波動(dòng)方程來(lái)建立它的通解公式，然后由它得到初值問(wèn)題解的表達(dá)式。對(duì)于一維波動(dòng)方程 （3.1）作如下代換： （3.2）利用復(fù)合函數(shù)微分法則，得 （3.3）同理有 （3.4）將（3.3）及（3.4）代入（3.1）得 （3.5）將（3.5）式對(duì)積分得，（是的任意可微函數(shù)）在對(duì)此式對(duì)積分得 （3.6）其中，都是任意

3、二次連續(xù)可微函數(shù)。（3.6）式就是方程（3.1）得通解（包含兩個(gè)任意函數(shù)的解）。在各個(gè)具體問(wèn)題中，我們并不滿足于求通解，還要確定函數(shù)，的具體形式。為此，必須考慮定解條件，下面我們來(lái)討論無(wú)限長(zhǎng)先的自由橫振動(dòng)。設(shè)弦的初始狀態(tài)為已知，即已知定解條件 （3.7）將（3.6）中的函數(shù)代入（3.7）中，得在（3.9）兩端對(duì)x積分一次，得 （3.10）由（3.8）與（3.10）解出，得把這里確定出來(lái)的，代回到（3.6）中，即得方程（3.1）在條件（3.7）下的解為 （3.11）（3.11）式稱為無(wú)限長(zhǎng)弦自由振動(dòng)的達(dá)朗貝爾（DAlembert）公式。 現(xiàn)在我們來(lái)說(shuō)明達(dá)朗貝爾公式的物理意義。由于達(dá)朗貝爾公式是由

4、（3.6）得來(lái)的，所以我們只需說(shuō)明（3.6）式的物理意義。 首先，考慮的物理意義。我們來(lái)說(shuō)明這樣的函數(shù)是代表一個(gè)沿軸正方向轉(zhuǎn)播的行波，為了講清楚這一點(diǎn)，我們不妨考慮一個(gè)特例。假定的圖形如圖3.1（a）所示，在時(shí)，；在時(shí)，其圖形如圖3.1（b）所示；在時(shí)，其圖形如圖3.1（c）所示；在時(shí)，其圖形如圖3.1（d）所示。這些圖形說(shuō)明，隨著時(shí)間的推移，的圖形以速度向軸的正方向移動(dòng)。所以，表示一個(gè)以速度向軸的正方向傳播的行波，稱為右行波。同樣道理，就表示一個(gè)以速度向軸的負(fù)方向傳播的行波，稱為左行波。達(dá)朗貝爾公式表明，弦上的任意擾動(dòng)點(diǎn)總是以行波的形式分別向兩個(gè)方向傳播出去，其傳播速度正好是弦振動(dòng)方程中的常

5、數(shù)?；谏鲜鲈颍员竟?jié)所用的方法就稱為行波法。從達(dá)朗貝爾公式（3.11）還可以看出，解在點(diǎn)的數(shù)值僅依賴于軸上區(qū)間內(nèi)的初始條件，而與其他點(diǎn)的初始條件無(wú)關(guān)。區(qū)間稱為點(diǎn)的依賴區(qū)間。它是由過(guò)點(diǎn)的兩條斜率分別為的直線在軸所截得的區(qū)間（圖3.2（a）。對(duì)初始軸上的一個(gè)區(qū)間，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，它們和區(qū)間一起構(gòu)成一個(gè)三角形區(qū)域（圖3.2（b），此三角形區(qū)域中任一點(diǎn)的依賴區(qū)間都落在區(qū)間的內(nèi)部，因此解在此三角形區(qū)域中的數(shù)值完全由區(qū)間上的初始條件決定，而與此區(qū)間外的初始條件無(wú)關(guān)，這個(gè)三角形區(qū)域稱為區(qū)間的決定區(qū)域，在上給定初始條件，就可以在其決定區(qū)域中決定初值問(wèn)題的解。若過(guò)點(diǎn)分別作直線，則經(jīng)

6、過(guò)時(shí)間后受到區(qū)間上初始擾動(dòng)影響的區(qū)域?yàn)?，在此區(qū)域之外的波動(dòng)不受上初值擾動(dòng)的影響，稱平面上由上述不等式確定的區(qū)域?yàn)榈挠绊憛^(qū)域（如圖3.2（c）。 從上面的討論中我們可以看到，在平面上斜率為的兩族直線，對(duì)一維波動(dòng)方程（3.1）的研究起著重要的作用，我們稱這兩族直線為一維波動(dòng)方程（3.1）的特征線。因?yàn)樵谔卣骶€，右行波的振幅取常數(shù)值，在特征線，右行波的振幅取常數(shù)值，且這兩個(gè)數(shù)值隨特征線的移動(dòng)（即常數(shù)的改變）而改變，所以，波動(dòng)實(shí)際上是沿特征線傳播的。變換（3.2）常稱為特征變換，行波法又稱為特征線法。注 容易看出，一維波動(dòng)方程（3.1）的兩族直線，正好是常微分方程的積分曲線，這個(gè)常微分方程稱為（3.1

7、）的特征方程。對(duì)于更一般的二階線性偏微分方程 （3.12）來(lái)所，它的特征方程為 （3.13）這個(gè)常微分方程的積分曲線稱為偏微分方程（3.12）特征曲線。二階線性偏微分方程的特征線僅與該方程中的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)有關(guān)，而與其低階項(xiàng)的系數(shù)是無(wú)關(guān)的。需要注意的是，并不是任意一個(gè)二階線性偏微分方程（3.12）都有兩族實(shí)的特征線。例如，若在某一區(qū)域內(nèi)，這過(guò)此區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都不存在實(shí)的特征線；若在某區(qū)域內(nèi)，這過(guò)此區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)僅有一條實(shí)的特征線；只有在的區(qū)域內(nèi)，過(guò)其中每一點(diǎn)才有兩條相異實(shí)的特征線。若在某區(qū)域內(nèi)，則在此區(qū)域內(nèi)稱（3.12）為橢圓型方程；若在某區(qū)域內(nèi)，則在此區(qū)域內(nèi)稱（3.12）為拋物型方程；若在某區(qū)

8、域內(nèi)，則在此區(qū)域內(nèi)稱（3.12）為雙曲型方程，波動(dòng)方程屬于雙曲型。不論（3.12）為哪一種類型的方程，都可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖宰兞恐g的代換將它化簡(jiǎn)成所謂的標(biāo)準(zhǔn)形式。關(guān)于如何將二階線性偏微分方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，讀者可以參考其他書籍。下面舉一個(gè)例子，說(shuō)明如何通過(guò)將方程化簡(jiǎn)來(lái)求解它的定解問(wèn)題。例 求下列柯西問(wèn)題：解 先確定所給方程的特征線。為此，寫出它的特征方程它的兩族積分曲線為作特征變換 （3.16）容易驗(yàn)證，經(jīng)過(guò)變換原方程化成它的通解為其中是兩個(gè)任意二次連續(xù)可微的函數(shù)。原方程（3.14）的通解為 （3.17）把這個(gè)函數(shù)代入條件（3.15）得從（3.19）得 （3.20）從（3.18）與（3.20）可得即

9、代入（3.17）得到所求得解為 （3.21）§3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式上節(jié)我們討論了一維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題，獲得了達(dá)朗貝爾公式。只研究一維波動(dòng)方程還不能滿足工程技術(shù)上的要求，例如在研究交變電流時(shí)就要討論三維波動(dòng)方程，本節(jié)我們就來(lái)考慮在三維無(wú)限空間中的波動(dòng)問(wèn)題，即求解下列定解問(wèn)題：這個(gè)定解問(wèn)題仍可用行波法來(lái)解，不過(guò)由于坐標(biāo)變量有三個(gè)，不能直接利用§3.1中所得的通解公式。下面先考慮一個(gè)特例。三維波動(dòng)方程的球?qū)ΨQ解 如果將波函數(shù)用空間球坐標(biāo)來(lái)表示，所謂球?qū)ΨQ就是指與都無(wú)關(guān)。在球坐標(biāo)系中，波動(dòng)方程（3.22）為當(dāng)不依賴于時(shí)，這個(gè)方程可以簡(jiǎn)化為或但所以最后得到方程這是關(guān)于的一

10、維波動(dòng)方程，其通解為或這就是三維波動(dòng)方程的關(guān)于原點(diǎn)為球?qū)ΨQ的解，其中是兩個(gè)任意二次連續(xù)可微的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)可以用指定的初始條件來(lái)確定。3.2.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式現(xiàn)在我們來(lái)考慮一般的情況，即要求問(wèn)題（3.223.24）的解。從上面的球?qū)ΨQ情況的討論使我們產(chǎn)生這樣一個(gè)想法：既然在球?qū)ΨQ的情況，函數(shù)滿足一維波動(dòng)方程，可以求出通解，那么在不是球?qū)ΨQ的情況能否設(shè)法把方程也化成可以求通解的形式？在球?qū)ΨQ時(shí)波函數(shù)僅是的函數(shù)，在非球?qū)ΨQ情況下，不可能滿足一維波動(dòng)方程。但是，如果我們不去考慮波函數(shù)本身，而是考慮在以為球心，以為半徑的球面上的平均值，則這個(gè)平均值當(dāng)暫時(shí)固定之后就只與有關(guān)了。這就啟發(fā)我們引入

11、一個(gè)函數(shù)，它是函數(shù)在以點(diǎn)為中心，以為半徑的球面上的平均值，即其中是球面上點(diǎn)的坐標(biāo)，是以原點(diǎn)為中心的單位球面，是單位球面上的面積元素，是上的面積元素，顯然有。在球面坐標(biāo)中，。從（3.25）及的連續(xù)性可知，當(dāng)時(shí)，即，此處表示函數(shù)在點(diǎn)及時(shí)刻的值。下面來(lái)推導(dǎo)所滿足的微分方程。對(duì)方程（3.22）的兩端在所圍成的球體內(nèi)積分（為了區(qū)別內(nèi)的流動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)與球心點(diǎn)的坐標(biāo)，我們以表示內(nèi)流動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)），并應(yīng)用Gauss公式得其中是的外法向矢量。（3.26）式左端的積分也采用球面坐標(biāo)表示并交換微分運(yùn)算和積分運(yùn)算的次序，得代回（3.26）中得在此式兩端對(duì)微分一次，并利用變上限定積分對(duì)上限球?qū)?shù)的規(guī)則，得或但故得這是一個(gè)關(guān)

12、于的一維波動(dòng)方程，它的通解為 （3.27）其中是兩個(gè)二次連續(xù)可微的任意函數(shù)。下面的任務(wù)是要從（3.27）及（3.23），（3.24）來(lái)確定原柯西問(wèn)題的解。由（3.27）得到但其中、分別是與在球面上的平均值。所以，可得 （3.28） （3.29）由此可得代回到（3.27）得 （3.30）此外，還可利用將拓廣到的范圍內(nèi)，并且比較上面兩式可知令，并利用洛必達(dá)法則得到或簡(jiǎn)記成 （3.31）（3.31）式稱為三維波動(dòng)方程的泊松公式。不難驗(yàn)證，當(dāng)是三次連續(xù)可微的函數(shù)，是二次連續(xù)可微的函數(shù)時(shí)，由（3.31）所確定的函數(shù)確實(shí)是原定解問(wèn)題的解。下面舉一個(gè)例子，說(shuō)明泊松公式（3.31）的用法。例 設(shè)已知，求方程（

13、3.22）相應(yīng)柯西問(wèn)題的解。解 將給定的初始條件與代入（3.31），得到所要求的解為3.2.3泊松公式的物理意義下面我們來(lái)說(shuō)明解（3.31）的物理意義。從（3.31）式可以看出，為求出定解問(wèn)題（3.223.24）的解在處的值，只需要以為球心、以為半徑作出球面，然后將初始擾動(dòng)代入（3.31）式進(jìn)行積分。因?yàn)榉e分只在球面上進(jìn)行，所以只有與相距為的點(diǎn)上的初始擾動(dòng)能夠影響的值?；蛘?，換一種說(shuō)法，就是處的初始擾動(dòng)，在時(shí)刻只影響到以為球心，以為半徑作的球面上各點(diǎn)，這是因?yàn)橐陨先我稽c(diǎn)為球心，以為半徑所作的球面都必定經(jīng)過(guò)點(diǎn)。這就表明擾動(dòng)是以速度傳播的。為了明確起見(jiàn)，設(shè)初始擾動(dòng)只限于區(qū)域，任取一點(diǎn)，它與的最小距

14、離為，最大距離為（圖3.3），由泊松公式（3.31）可知，當(dāng)，即時(shí)，這表明擾動(dòng)的“前鋒”還未到達(dá)；當(dāng)，即時(shí)，這表明擾動(dòng)已經(jīng)到達(dá)；當(dāng)，即時(shí)，這表明擾動(dòng)的“陣尾”已經(jīng)過(guò)去并恢復(fù)了原來(lái)的狀態(tài)。因此，當(dāng)初始擾動(dòng)限制在某局部范圍內(nèi)時(shí)，擾動(dòng)有清晰的“前鋒”與“陣尾”，這種現(xiàn)在在物理學(xué)上稱為惠更斯原理或無(wú)后效現(xiàn)象。由于在點(diǎn)的初始擾動(dòng)是向各個(gè)方向傳播的，在時(shí)間它的影響是在以為中心，為半徑的一個(gè)球面上，因此解（3.31）稱為球面波。從（3.31）我們也可以得到二維波動(dòng)方程初值問(wèn)題的解。事實(shí)上，如果與無(wú)關(guān)，這，這時(shí)三維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題就變成二維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題：（3.32）要想從泊松公式（3.31）得到問(wèn)題（

15、3.32）解的表達(dá)式，就應(yīng)將（3.31）中兩個(gè)沿球面的積分轉(zhuǎn)化成沿圓域：內(nèi)的積分，下面以為例說(shuō)明這個(gè)轉(zhuǎn)化方法。先將這個(gè)積分拆成兩部分： （3.33）其中，分別表示球面上半球面與下半球面。由于被積函數(shù)不依賴于變量，所以（3.33）右端兩個(gè)積分是相等的，即把右端的積分化成二重積分可得同理有將這兩個(gè)等式代入（3.31），即得問(wèn)題（3.32）的解為 （3.34）從（3.34）可以看出，要計(jì)算這個(gè)解在處的值，只要以為中心、以為半徑作圓域，然后將初始擾動(dòng)代入（3.34）進(jìn)行積分。為清楚起見(jiàn)，設(shè)初始擾動(dòng)仍限于區(qū)域，任取一點(diǎn)，它與的最小距離為，最大距離為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由于圓域包含了區(qū)域，所以仍不為零

16、，這種現(xiàn)象稱為有后效，即在二維情形，局部范圍內(nèi)的初始擾動(dòng)，具有長(zhǎng)期得連續(xù)的后效特性，擾動(dòng)有清晰的“前鋒”，而無(wú)“陣尾”，這一點(diǎn)與球面波不同。平面上以點(diǎn)為中心的圓周的方程在空間坐標(biāo)系內(nèi)表示母線平行于軸的圓柱面，所以在過(guò)點(diǎn)平行于軸的無(wú)限長(zhǎng)直線上的初始擾動(dòng)，在時(shí)間后的影響是在以該直線為軸，為半徑的圓柱面內(nèi)，因此解（3.34）稱為柱面波。§3.3 積分變換法舉例我們知道，F(xiàn)ourier變換Laplace變換可以用來(lái)解常微分方程。通過(guò)積分變換可將未知函數(shù)的常微分方程化成象函數(shù)的代數(shù)方程，達(dá)到了消去對(duì)自變量求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的目的。基于這一事實(shí)，我們自然會(huì)想到積分變換法也能用于解偏微分方程，在偏微分方程

17、兩端對(duì)某個(gè)變量取變換就能消去未知函數(shù)對(duì)該自變量求偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，得到象函數(shù)的較為簡(jiǎn)單的微分方程。如果原來(lái)的偏微分方程中只包含有兩個(gè)自變量，通過(guò)一次變換就能得到象函數(shù)的常微分方程。下面通過(guò)立體來(lái)說(shuō)明用積分變換法解定解問(wèn)題的一般步驟。例1 無(wú)界桿上的熱傳導(dǎo)問(wèn)題設(shè)有一根無(wú)限長(zhǎng)的桿，桿上具有強(qiáng)度為的熱源，桿的初始溫度為，試求時(shí)桿上溫度的分布規(guī)律。解 這個(gè)問(wèn)題可歸結(jié)為求解下列定解問(wèn)題其中。由于方程（3.35）是非齊次的，且求解的區(qū)域又是無(wú)界的，因此用分離變量法來(lái)解將導(dǎo)致比較復(fù)雜的運(yùn)算。現(xiàn)在我們用Fourier變換來(lái)解。用記號(hào)，分別表示函數(shù)，關(guān)于變量的Fourier變換，即對(duì)方程（3.35）的兩端取關(guān)于的F

18、ourier變換，根據(jù)Fourier變換的微分性質(zhì)，得到 （3.37）這是一個(gè)含參量的常微分方程。為了導(dǎo)出方程（3.37）的定解條件，對(duì)條件（3.36）式的兩端也取Fourier變換，并且以表示的Fourier變換，得 （3.38）方程（3.37）是一階線性常微分方程，它滿足邊界條件（3.38）的解為 （3.39）為了求出原定解問(wèn)題（3.35），（3.36）的解，還需要對(duì)取Fourier逆變換。由Fourier變換表可查得再根據(jù)Fourier變換的卷積性質(zhì)得 （3.40）這樣就得到原定解問(wèn)題的解。通過(guò)這個(gè)例子可以看出，用積分變換法解定解問(wèn)題的過(guò)程大體為：一、根據(jù)自變量的變化范圍以及定解條件的具

19、體情況，選取適當(dāng)?shù)姆e分變換。然后對(duì)方程的兩端取變換，把一個(gè)含有兩個(gè)自變量的偏微分方程化為含一個(gè)產(chǎn)量的常微分方程。二、對(duì)定解條件取相應(yīng)的變換，導(dǎo)出新方程的定解條件。三、解所得的常微分方程，求得原定解問(wèn)題解的變換式（即象函數(shù)）。四、對(duì)所得的變換式取逆變換，得到原定解問(wèn)題的。當(dāng)然，在用Fourier變換（或Laplace變換）解定解問(wèn)題時(shí)，是假定所求的解及定解條件中的已知函數(shù)都是能夠取Fourier（或Laplace）變換的，即假定它們的Fourier（或Laplace）變換都存在。一個(gè)未知函數(shù)當(dāng)未求出以前是很難判斷它是否存在Fourier（或Laplace）變換的，所以，在未作綜合工作之前，用積分

20、變換法所求的解都只是形式解。例2 一條半無(wú)限長(zhǎng)的桿，端點(diǎn)溫度變化情況為已知，桿的初始溫度為，求桿上溫度的分布規(guī)律。解 這個(gè)問(wèn)題可歸結(jié)為求解下列定解問(wèn)題：這個(gè)問(wèn)題顯然不能用Fourier變換來(lái)解了，因?yàn)榈淖兓秶际?。下面我們用Laplace變換來(lái)解。從的變化范圍來(lái)看，對(duì)與都能取Laplace變換，但由于方程（3.41）中包含有，而在處未給出的值，故不能對(duì)取Laplace變換。而對(duì)來(lái)說(shuō)，由于方程（3.41）中只出現(xiàn)關(guān)于的一階偏導(dǎo)數(shù)，只要我們知道當(dāng)時(shí)的值就夠了，這個(gè)值已由（3.42）給出，故我們采用關(guān)于的Laplace變換。用，分別表示函數(shù)，關(guān)于的Laplace變換，即首先，對(duì)方程（3.41）的兩

21、端取Laplace變換，并利用條件（3.42）則得新方程 （3.44）再利用條件（3.43）取同樣變換，得 （3.45）方程（3.44）是關(guān)于得線性二階常系數(shù)的常微分方程，它的通解為 （3.46）由于當(dāng)時(shí)，應(yīng)該有界，所以也應(yīng)該有界，故，再有條件（3.45）得，從而得為了求得原定解問(wèn)題的解，需要對(duì)求Laplace逆變換，由Laplace變換表查得再根據(jù)Laplace變換的微分性質(zhì)得最后由Laplace變換的卷積性質(zhì)得 （3.47）通過(guò)上面兩個(gè)例子我們對(duì)用積分變換法解定解問(wèn)題的步驟已有所了解，掌握這些步驟并不困難，對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)，使用這個(gè)方法的主要困難在于：（1）如何選取恰當(dāng)?shù)姆e分變換。對(duì)這個(gè)問(wèn)題應(yīng)從兩方面來(lái)考慮，首先要注意自變量的變化范圍，F(xiàn)ourier變換要求作變換的自變量在內(nèi)變化，Laplace變換要求作變換的自變量在內(nèi)變化。其次要注意定解條件的形式，根據(jù)Laplace變換的微分性質(zhì)可以看出，要對(duì)某變量取Laplace變換，必須在定解條件中給出該自變量等于零時(shí)的函數(shù)值及有關(guān)導(dǎo)數(shù)值。（2）定解條件中哪些需要取變換，那些不需要取變換。這個(gè)問(wèn)題很容易解決，凡是對(duì)方程取變換時(shí)沒(méi)有用到的條件都要對(duì)它取變換，使它轉(zhuǎn)化為新方程的定解條件。（3）如何順利地求出逆變換。解決這個(gè)問(wèn)題主要依靠積分變換表，以及運(yùn)用積分變換的有關(guān)性質(zhì)，有時(shí)還要用到計(jì)算反演積分的留數(shù)定理。注 從例1中解的表達(dá)式（3.4