積分中值定理的應用

1、略談積分中值定理及其應用 白永麗 張建中 (平頂山工業(yè)職業(yè)技術學院)積分中值定理是定積分的一個重要性質，它建立了定積分與被積函數(shù)之間的關系，從而使我們可以通過被積函數(shù)的性質來研究積分的性質，有較高的理論價值和廣泛的應用。本文就其在解題中的應用進行討論。一、積分中值定理的內(nèi)容：定理1（積分第一中值定理） 若在上連續(xù)，則在上至少存在一點使得 （1）定理2（推廣的積分第一中值定理） 若在閉區(qū)間上連續(xù)，且在上不變號，則在至少存在一點，使得 （2）證明：（推廣的積分第一中值定理）不妨設在上則在有其中m,M分別為在上的最小值與最大值，則有：若，則由上式知，從而對上任何一點，定理都成立。若則由上式得： 則在

2、上至少有一點，使得即：顯然，當時，（2）式即為（1）式二、積分中值定理的應用由于該定理可以使積分號去掉，從而使問題簡化，對于證明包含函數(shù)積分和某個函數(shù)值之間關系的等式或不等式，?？梢钥紤]使用積分中值定理，在應用積分中值定理時應注意以下幾點：（1）在應用中要注意被積函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)這一條件，否則，結論不一定成立。例如：顯然在處間斷。由于但在上，所以，對任何都不能使.（2）定理中的在上不變號這個條件也不能去掉.例如：令：所以，不存在，使(3) 定理中所指出的并不一定是唯一的，也不一定必須是的內(nèi)點。都有：這也說明了未必是區(qū)間的內(nèi)點。下面就其應用進行討論。1、估計定積分的值例1、估計的值解：由推廣的積

3、分第一中值定理：，其中 即：2、求含有定積分的極限例2、求解：若直接用中值定理 因為而不能嚴格斷定。其癥結在于沒有排除，故采取下列措施：，其中為任意小的正數(shù)。對第一個積分使用推廣的積分第一中值定理，有：而第二個積分：由于的任意性知其可任意小。注：求解此類問題的關鍵是使用積分中值定理去掉積分符號。在應用該定理時，要注意中值不僅依賴于積分區(qū)間，而且還依賴于限式中自變量的趨近方式。3、證明中值的存在性命題例3、設函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且證明：由積分中值定理得： 注：在證明有關題設中含有抽象函數(shù)的定積分等式時，一般應用按積分中值定理。4、證明積分不等式例4、求證證明: 其中,于是由即可獲證.注：由于積分具有許多特殊的運算性質,故積分不等式的證明往往富有很強的技巧性.在證明含有定積分的不等式時，也?？紤]用積分中值定理，以便去掉積分符號，若被積函數(shù)是兩個函數(shù)之積時，可考慮用廣義積分中值定理。5證明函數(shù)的單調(diào)性例5、設函數(shù)在上連續(xù)， ,試證：在內(nèi),若為非減函數(shù)，則為非增函數(shù).證明：對上式求導，得： 利用積分中值定理，得：若為非減函數(shù)，則，故為非增函數(shù)。參考文獻：1、數(shù)學分析劉玉璉,傅沛仁編，高等教育出版社，上海 1988年出版。2、高等數(shù)學解題方法指導，馬玲主編，大連理工大學出版社，大連 1996年出版。3、高等數(shù)學題庫精編，薛嘉慶主編，東北大