第38講 導(dǎo)數(shù)、定積分

1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué) 人教版高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座38）導(dǎo)數(shù)、定積分一課標(biāo)要求：1導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（1）導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義通過(guò)對(duì)大量實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；通過(guò)函數(shù)圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的導(dǎo)數(shù)；能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如f（ax+b）的導(dǎo)數(shù)；會(huì)使用導(dǎo)數(shù)公式表。（3）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用結(jié)合實(shí)例，借助幾何直

2、觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；結(jié)合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值；體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性。（4）生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例例如，使利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問(wèn)題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。（5）定積分與微積分基本定理通過(guò)實(shí)例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問(wèn)題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想，初步了解定積分的概念；通過(guò)實(shí)例（如變速運(yùn)動(dòng)物

3、體在某段時(shí)間內(nèi)的速度與路程的關(guān)系），直觀了解微積分基本定理的含義。（6）數(shù)學(xué)文化收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時(shí)代背景和有關(guān)人物的資料，并進(jìn)行交流；體會(huì)微積分的建立在人類(lèi)文化發(fā)展中的意義和價(jià)值。具體要求見(jiàn)本標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)文化的要求。二命題走向?qū)?shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容，是解決實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，研究函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、極值和最值是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題。在高考中考察形式多種多樣，以選擇題、填空題等主觀題目的形式考察基本概念、運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，也經(jīng)常以解答題形式和其它數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合起來(lái)，綜合考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，估計(jì)2007年高考繼續(xù)以上面的幾種形式考察不會(huì)有大的變化：（

4、1）考查形式為：選擇題、填空題、解答題各種題型都會(huì)考察，選擇題、填空題一般難度不大，屬于高考題中的中低檔題，解答題有一定難度，一般與函數(shù)及解析幾何結(jié)合，屬于高考的中低檔題；（2）07年高考可能涉及導(dǎo)數(shù)綜合題，以導(dǎo)數(shù)為數(shù)學(xué)工具考察：導(dǎo)數(shù)的物理意義及幾何意義，復(fù)合函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識(shí)。定積分是新課標(biāo)教材新增的內(nèi)容，主要包括定積分的概念、微積分基本定理、定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由于定積分在實(shí)際問(wèn)題中非常廣泛，因而07年的高考預(yù)測(cè)會(huì)在這方面考察，預(yù)測(cè)07年高考呈現(xiàn)以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）新課標(biāo)第1年考察，難度不會(huì)很大，注意基本概念、基本性質(zhì)、基本公式的考察及簡(jiǎn)單的應(yīng)用；高考中本講的題目一般為選擇題、填空題，

5、考查定積分的基本概念及簡(jiǎn)單運(yùn)算，屬于中低檔題；（2）定積分的應(yīng)用主要是計(jì)算面積，諸如計(jì)算曲邊梯形的面積、變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)等實(shí)際問(wèn)題要很好的轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。三要點(diǎn)精講1導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x處有增量，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函數(shù)y=f（x）在x到x+之間的平均變化率，即=。如果當(dāng)時(shí)，有極限，我們就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)，記作f（x）或y|。即f（x）=。說(shuō)明：（1）函數(shù)f（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，是指時(shí)，有極限。如果不存在極限，就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)x處不可導(dǎo)，或說(shuō)無(wú)導(dǎo)數(shù)。（2）是自變量x在x處的改變量，時(shí)，而是函數(shù)值

6、的改變量，可以是零。由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的步驟（可由學(xué)生來(lái)歸納）：（1）求函數(shù)的增量=f（x+）f（x）；（2）求平均變化率=；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)f(x)=。2導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)p（x，f（x）處的切線(xiàn)的斜率。也就是說(shuō)，曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)p（x，f（x）處的切線(xiàn)的斜率是f（x）。相應(yīng)地，切線(xiàn)方程為yy=f/（x）（xx）。3常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)出公式（）（C為常數(shù)）（）（）（）4兩個(gè)函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則法則1：兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即： (法則2：兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)

7、,等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：若C為常數(shù),則.即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：法則3兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函數(shù)稱(chēng)為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解求導(dǎo)回代。法則：y|= y|u|5導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（1）一般地，設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)；（2）曲線(xiàn)在極值點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0；曲線(xiàn)在極大值點(diǎn)左側(cè)切線(xiàn)的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線(xiàn)在極小值點(diǎn)左側(cè)切線(xiàn)的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；（3）一般

8、地，在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f在a，b上必有最大值與最小值。求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值； 求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的值(a)、(b)； 將函數(shù)的各極值與(a)、(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。6定積分（1）概念設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)ax0x1xi1xixnb把區(qū)間a，b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間xi1，xi上取任一點(diǎn)i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x為小區(qū)間長(zhǎng)度），把n即x0時(shí)，和式In的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作：，即(i)x。這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分

9、變量，f(x)dx叫做被積式?；镜姆e分公式：C；C（mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均為常數(shù)）。（2）定積分的性質(zhì)（k為常數(shù)）；（其中acb。（3）定積分求曲邊梯形面積由三條直線(xiàn)xa，xb（ab），x軸及一條曲線(xiàn)yf（x）(f(x)0)圍成的曲邊梯的面積。如果圖形由曲線(xiàn)y1f1(x)，y2f2(x)（不妨設(shè)f1(x)f2(x)0），及直線(xiàn)xa，xb（ab）圍成，那么所求圖形的面積SS曲邊梯形AMNBS曲邊梯形DMNC。四典例解析題型1：導(dǎo)數(shù)的概念例1已知s=，（1）計(jì)算t從3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒.各段內(nèi)平均速度；（2）求t=3秒是

10、瞬時(shí)速度。解析：（1）指時(shí)間改變量；指時(shí)間改變量。其余各段時(shí)間內(nèi)的平均速度，事先刻在光盤(pán)上，待學(xué)生回答完第一時(shí)間內(nèi)的平均速度后，即用多媒體出示，讓學(xué)生思考在各段時(shí)間內(nèi)的平均速度的變化情況。（2）從（1）可見(jiàn)某段時(shí)間內(nèi)的平均速度隨變化而變化，越小，越接近于一個(gè)定值，由極限定義可知，這個(gè)值就是時(shí)，的極限，V=（6+=3g=29.4(米/秒)。例2求函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)。解析：，=-。點(diǎn)評(píng)：掌握切的斜率、瞬時(shí)速度，它門(mén)都是一種特殊的極限，為學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義奠定基礎(chǔ)。題型2：導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算例3（1）求的導(dǎo)數(shù)；（2）求的導(dǎo)數(shù)；（3）求的導(dǎo)數(shù)；（4）求y=的導(dǎo)數(shù)；（5）求y的導(dǎo)數(shù)。解析：（1）,（2）先化簡(jiǎn),（3

11、）先使用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn).（4）y=；（5）yxy*（x）x）*（）。點(diǎn)評(píng)：（1）求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)；（2）有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡(jiǎn)，然后進(jìn)行求導(dǎo)有時(shí)可以避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量。例4寫(xiě)出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)：（1）y=cosu,u=1+（2）y=lnu, u=lnx解析：（1）y=cos(1+)；（2）y=ln(lnx)。點(diǎn)評(píng)：通過(guò)對(duì)y=（3x-2展開(kāi)求導(dǎo)及按復(fù)合關(guān)系求導(dǎo)，直觀的得到=.給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并指導(dǎo)學(xué)生閱讀法則的證明。

12、題型3：導(dǎo)數(shù)的幾何意義例5（1）（06安徽卷）若曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則的方程為（ ）A BC D（2）（06全國(guó)II）過(guò)點(diǎn)（1，0）作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，則其中一條切線(xiàn)為（ ）（A）（B）（C）（D）解析：（1）與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)為，即在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線(xiàn)為，故選A；（2），設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線(xiàn)的斜率為2，且，于是切線(xiàn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)（1，0）在切線(xiàn)上，可解得0或4，代入可驗(yàn)正D正確，選D。點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)值對(duì)應(yīng)函數(shù)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率。例6（1）（06湖北卷）半徑為r的圓的面積S(r)r2,周長(zhǎng)C(r)=2r，若將r看作(0，)上的變量，則(r2)2r ，式可以

13、用語(yǔ)言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)。對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0，)上的變量，請(qǐng)你寫(xiě)出類(lèi)似于的式子：；式可以用語(yǔ)言敘述為：。（2）（06湖南卷）曲線(xiàn)和在它們交點(diǎn)處的兩條切線(xiàn)與軸所圍成的三角形面積是。解析：（1）V球，又 故式可填，用語(yǔ)言敘述為“球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)?！保唬?）曲線(xiàn)和在它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1，1)，兩條切線(xiàn)方程分別是y=x+2和y=2x1，它們與軸所圍成的三角形的面積是。點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可以和幾何圖形的切線(xiàn)、面積聯(lián)系在一起，對(duì)于較復(fù)雜問(wèn)題有很好的效果。題型4：借助導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性、極值和最值例7（1）（06江西卷）對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿(mǎn)

14、足（x1）0，則必有（）Af（0）f（2）2f（1）（2）（06天津卷）函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（）A1個(gè)B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)（3）（06全國(guó)卷I）已知函數(shù)。（）設(shè)，討論的單調(diào)性；（）若對(duì)任意恒有，求的取值范圍。解析：（1）依題意，當(dāng)x1時(shí)，f（x）0，函數(shù)f（x）在（1，）上是增函數(shù)；當(dāng)x1時(shí)，f（x）0，f（x）在（，1）上是減函數(shù)，故f（x）當(dāng)x1時(shí)取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），故選C；（2）函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有極小值的點(diǎn)即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點(diǎn)，其導(dǎo)數(shù)值為由負(fù)到正的

15、點(diǎn)，只有1個(gè)，選A。（3）：()f(x)的定義域?yàn)?,1)(1,+).對(duì)f(x)求導(dǎo)數(shù)得 f (x)= eax。()當(dāng)a=2時(shí), f (x)= e2x, f (x)在(,0), (0,1)和(1,+ )均大于0, 所以f(x)在(,1), (1,+).為增函數(shù)；()當(dāng)0a0, f(x)在(,1), (1,+)為增函數(shù).；()當(dāng)a2時(shí), 01, 令f (x)=0 ,解得x1= , x2= ；當(dāng)x變化時(shí), f (x)和f(x)的變化情況如下表: x(, )(,)(,1)(1,+)f (x)f(x)f(x)在(, ), (,1), (1,+)為增函數(shù), f(x)在(,)為減函數(shù)。()()當(dāng)0f(0)

16、=1；()當(dāng)a2時(shí), 取x0= (0,1),則由()知 f(x0)1且eax1，得：f(x)= eax 1. 綜上當(dāng)且僅當(dāng)a(,2時(shí),對(duì)任意x(0,1)恒有f(x)1。點(diǎn)評(píng)：注意求函數(shù)的單調(diào)性之前，一定要考慮函數(shù)的定義域。導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)原函數(shù)增減。例8（1）（06浙江卷）在區(qū)間上的最大值是（ ）(A)2 (B)0 (C)2 (D)4（2）（06山東卷）設(shè)函數(shù)f(x)= （）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）討論f(x)的極值。解析：（1），令可得x0或2（2舍去），當(dāng)1x0，當(dāng)0x1時(shí)，0，所以當(dāng)x0時(shí)，f（x）取得最大值為2。選C；（2）由已知得，令，解得。（）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，隨的變化情

17、況如下表：0+00極大值極小值從上表可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增。（）由（）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。題型5：導(dǎo)數(shù)綜合題例9（06廣東卷）設(shè)函數(shù)分別在處取得極小值、極大值.平面上點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，該平面上動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足,點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).求(I)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(II)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解析：()令解得；當(dāng)時(shí),， 當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，。所以,函數(shù)在處取得極小值,在取得極大值,故,。所以, 點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為。（） 設(shè)，所以。又PQ的中點(diǎn)在上，所以

18、，消去得。點(diǎn)評(píng)：該題是導(dǎo)數(shù)與平面向量結(jié)合的綜合題。例10（06湖南卷）已知函數(shù),數(shù)列滿(mǎn)足:證明:()；()。證明: （I）先用數(shù)學(xué)歸納法證明，1,2,3, (i).當(dāng)n=1時(shí),由已知顯然結(jié)論成立。(ii).假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立,即。因?yàn)?x0成立。于是故。點(diǎn)評(píng)：該題是數(shù)列知識(shí)和導(dǎo)數(shù)結(jié)合到一塊。題型6：導(dǎo)數(shù)實(shí)際應(yīng)用題例11（06江蘇卷）請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。解析：設(shè)OO1為x m,則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為（單位：m）。于是底面正六邊形的面積為（單位：m2）：。帳篷的體積為（單位：m3）：求導(dǎo)數(shù)，得；令解得x=-2(不合題意，舍去),x=2。當(dāng)1x2時(shí)，,V(x)為增函數(shù)；當(dāng)2x0。當(dāng)x=0時(shí)，t=0；當(dāng)x=a時(shí)，又ds=vdt，故阻力所作的功為：（2）依題設(shè)可知拋物線(xiàn)為凸形，它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1=0，x2=b/a，所以(1)又直線(xiàn)xy=4與拋物線(xiàn)y=ax2b