知識講解空間點線面的位置關系基礎

1、空間點線面的位置關系【考綱要求】（1）理解空間直線、平面位置關系的定義；（2）了解可以作為推理依據的公理和定理；（3）能運用公理、定理和已經獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題?！局R網絡】空間點線面位置關系三個公理、三個推論平面平行直線異面直線相交直線公理4及等角定理異面直線所成的角異面直線間的距離直線在平面內直線與平面平行直線與平面相交空間兩條直線概念垂直斜交空間直線與平面空間兩個平面兩個平面平行兩個平面相交三垂線定理直線與平面所成的角【考點梳理】考點一、平面的基本性質1、平面的基本性質的應用（1）公理1：可用來證明點在平面內或直線在平面內；（2）公理2：可用來確定一個平面，為平

2、面化作準備或用來證明點線共面；（3）公理3：可用來確定兩個平面的交線，或證明三點共線，三線共點。2、平行公理主要用來證明空間中線線平行。3、公理2的推論：（1）經過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面；（2）經過兩條相交直線，有且只有一個平面；（3）經過兩條平行直線，有且只有一個平面。4、點共線、線共點、點線共面（1）點共線問題證明空間點共線問題，一般轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點，再根據公理3證明這些點都在這兩個平面的交線上。（2）線共點問題證明空間三線共點問題，先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經過這點，把問題轉化為證明點在直線上。要點詮釋：證明點線共面的常用方法納入平面法：先

3、確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內；輔助平面法：先證明有關的點、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面、重合?？键c二、直線與直線的位置關系（1）位置關系的分類（2）異面直線所成的角定義：設a,b是兩條異面直線，經過空間中任一點O作直線aa,bb,把a與b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.范圍：要點詮釋：證明兩直線為異面直線的方法：1、定義法（不易操作）2、反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設的條件出發(fā)，經過嚴密的推理，導出矛盾，從而否定假設肯定兩條直線異面。此法在異面直線的判定中經常用到。3、客觀題中，也可用下述結論：過平面外一

4、點和平面內一點的直線，與平面內不過該點的直線是異面直線，如圖：考點三、直線和平面、兩個平面的位置關系1、直線和平面的位置關系位置關系直線a 在平面內直線a與平面相交直線a與平面平行公共點有無數個公共點有且只有一個公共點沒有公共點符號表示圖形表示2、兩個平面的位置關系位置關系圖示表示法公共點個數兩平面平行0兩平面相交斜交有無數個公共點在一條直線上垂直有無數個公共點在一條直線上考點四、平行公理、等角定理平行于同一條直線的兩條直線互相平行。（但垂直于同一條直線的兩直線的位置關系可能平行，可能相交，也可能異面）空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。要點詮釋：（1）以空間幾何體為載

5、體，考查邏輯推理能力；（2）通過判斷位置關系，考查空間想象能力；（3）應用公理、定理證明點共線、線共面等問題；（4）多以選擇、填空的形式考查，有時也出現在解答題中?！镜湫屠}】類型一、異面直線的判定例1如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、B1C1的中點。問：（1）AM和CN是否是異面直線？說明理由；（2）D1B和CC1是否是異面直線？說明理由?！窘馕觥浚?）不是異面直線。理由：連接MN、A1C1、AC。M、N分別是A1B1、B1C1的中點，MN/ A1C1，又A1A CC1，A1ACC1為平行四邊形。A1C1/AC，得到MN/AC，A、M、N、C在同一平面內，故

6、AM和CN不是異面直線。（2）是異面直線。證明如下：ABCD-A1B1C1D1是正方體，B、C、C1、D1不共面。假設D1B與CC1不是異面直線，則存在平面，使D1B平面，CC1平面，D1、B、C、C1，與ABCD-A1B1C1D1是正方體矛盾。假設不成立，即D1B與CC1是異面直線?！军c評】（1）易證MN/AC，AM與CN不異面。（2）由圖易判斷D1B和CC1是異面直線，證明時常用反證法。舉一反三：【變式】已知E，F分別是正方體的棱和棱上的點，且，求證：四邊形是平行四邊形【證明】由可以證得所以 又可以由正方體的性質證明所以四邊形是平行四邊形類型二、平面的基本性質及平行公理的應用例2如圖，四邊

7、形ABEF和ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=900，BCAD，BEFA，G、H分別為FA、FD的中點。（1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；（2）C、D、F、E四點是否共面？為什么？【解析】（1）（2）方法一：方法二：如圖，延長FE，DC分別與AB交于點M，BEAF，B為MA中點。BCAD，B為中點，M與重合，即FE與DC交于點M（），C、D、F、E四點共面。【點評】（1）G、H為中點GHAD，又BCAD GHBC；（2）方法一：證明D點在EF、GJ確定的平面內。方法二：延長FE、DC分別與AB交于M，可證M與 重合，從而FE與DC相交。類型三、異面直線所成的角例3空間四邊形ABCD中

8、，AB=CD且AB與CD所成的角為300，E、F分別是BC、AD的中點，求EF與AB所成角的大小。【答案】取AC的中點G，連接EG、FG，則EG/AB，GF/CD，且由AB=CD知EG=FG，GEF（或它的補角）為EF與AB所成的角，（或它的補角）為與所成的角。與CD所成的角為300，=300或1500。由EG=FG知EFG為等腰三角形，當=300時，GEF=750；當=1500時，GEF=150。故EF與AB所成的角為150或750?！窘馕觥恳驟F與AB所成的角，可經過某一點作兩條直線的平行線，考慮到E、F為中點，故可過E或F作AB的平行線。取AC的中點，平移AB、CD，使已知角和所求的角

9、在一個三角形中求解?！军c評】（1）求異面直線所成的角，關鍵是將其中一條直線平移到某個位置使其與另一條直線相交，或將兩條直線同時平移到某個位置，使其相交。平移直線的方法有：直接平移中位線平移補形平移；（2）求異面直線所成角的步驟：作：通過作平行線，得到相交直線；證：證明相交直線所成的角為異面直線所成的角；求：通過解三角形，求出該角。類型四、點共線、線共點、線共面問題例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，對角線A1C與平面BDC1交于O，AC、BD交于點M求證：點C1、O、M共線CODABMB1C1D1A1【證明】A1ACC1確定平面A1CA1C面A1C O面A1COA1C面BC1D直線A1CO O面BC1DO在面A1C與平面BC1D的交線C1M上C1、O、M共線舉一反三：【變式】如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，若