第6章習題答案

1、現(xiàn)代控制理論第6章習題解答6.1 分析開環(huán)狀態(tài)估計方案的誤差動態(tài)特性。（說明開環(huán)形式的觀測器其誤差的衰減是不變的，而閉環(huán)形式的觀測器其誤差的衰減是可以改變的）。答：針對線性時不變系統(tǒng)(1) 開環(huán)形式的觀測器：誤差動態(tài)方程為其初始誤差的時間響應為誤差的衰減是由系統(tǒng)模型的狀態(tài)矩陣決定的，無法改變。(2) 閉環(huán)形式的觀測器：誤差動態(tài)方程為其初始誤差的時間響應為 誤差的衰減由決定，其中、由系統(tǒng)模型確定，而觀測器增益矩陣由設計者決定，所以誤差的衰減是可以改變的。6.2 為什么要構(gòu)建狀態(tài)觀測器？畫出全維狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。寫出狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程。答: 構(gòu)建狀態(tài)觀測器的原因：（1）在許多實際系統(tǒng)中，系

2、統(tǒng)的狀態(tài)變量并非都是物理量，從而這些狀態(tài)變量未必都可以直接測量得到。（2）即使狀態(tài)變量是物理量，可以通過傳感器測量得到，但要直接測量所有的信號一方面會造成系統(tǒng)成本的提高，另一方面，大量傳感器的引入會使系統(tǒng)可靠性降低。狀態(tài)觀測器的模型為其中，是觀測器的維狀態(tài)，是一個維的待定矩陣。全維狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖為： 6.3 存在龍伯格狀態(tài)觀測器的條件是什么？龍伯格狀態(tài)觀測器中的增益矩陣的行數(shù)和列數(shù)怎樣確定？答：存在龍伯格狀態(tài)觀測器的條件是：系統(tǒng)是狀態(tài)能觀的。龍伯格狀態(tài)觀測器中的增益矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別等于狀態(tài)變量和輸出量的個數(shù)。6.4 在觀測器設計中，如何選取觀測器極點？答：在選取觀測器極點時，作為一

3、般規(guī)則，觀測器的極點應該比系統(tǒng)極點快25倍，從而使得狀態(tài)估計誤差的衰減比系統(tǒng)響應快25倍。當傳感器噪聲相當大時，可以把觀測器極點選擇的比系統(tǒng)極點慢兩倍，以便使系統(tǒng)的帶寬變得比較窄，并且對噪聲進行平滑。6.5 龍伯格狀態(tài)觀測器的增益矩陣的計算方法有哪幾種？答：龍伯格狀態(tài)觀測器的增益矩陣的計算方法有1. 直接法2. 變換法3. 愛克曼公式6.6 給定線性定常系統(tǒng)式中試設計一個全維狀態(tài)觀測器，使得觀測器的極點為。答：首先驗證系統(tǒng)的能觀性。由于顯然，系統(tǒng)的能觀性矩陣是非奇異的，故系統(tǒng)完全能觀。因此存在龍伯格型狀態(tài)觀測器，且狀態(tài)觀測器極點可以任意配置，結(jié)合本題，就是存在一個適當維數(shù)的常數(shù)矩陣，使得觀測器

4、的極點為。 以下用直接法來確定：設期望的特征多項式是通過比較系數(shù)得到線性方程組求解該線性方程組，得到故所求觀測器的增益矩陣是相應的狀態(tài)觀測器為6.7 在設計基于觀測器的輸出反饋極點配置控制器中，系統(tǒng)設計的分離性原理指的是什么？答: 系統(tǒng)設計的分離性原理是指，在設計基于觀測器的輸出反饋極點配置控制器時，狀態(tài)反饋部分和觀測器部分的設計彼此獨立，互不影響。 6.8 何為全階觀測器？何為降階觀測器？降階觀測器的階數(shù)是怎樣確定的？答: 全階觀測器：該觀測器的狀態(tài)和系統(tǒng)狀態(tài)具有相同維數(shù)，即全階觀測器和系統(tǒng)具有相同階數(shù)。降階觀測器：觀測器的維數(shù)小于系統(tǒng)的維數(shù)，即只是對狀態(tài)中一部分分量的估計。降階觀測器的階數(shù)

5、是狀態(tài)的維數(shù)減去獨立測量的輸出變量個數(shù)。6.9 考慮習題6.6定義的系統(tǒng)。試設計一個降階觀測器，使得觀測器的極點是。答： 由于狀態(tài)中的第1個分量是可直接測量的，故只需估計狀態(tài)中的第2個分量，要設計的降階觀測器是1階的。將矩陣和狀態(tài)向量作如下分塊：因此，從而可以得到估計不可直接測量狀態(tài)的觀測器為然后，確定矩陣，使得矩陣的特征值是。由于而期望的特征式是，因此可求得所需要觀測器的增益矩陣是。由書中公式()可得所設計的降階觀測器為不可直接測量的狀態(tài)分量的估計量由下式給出：6.10 給定線性定常系統(tǒng)試應用MATLAB軟件，設計一個全維觀測器，使得觀測器極點是 ，。答：配置全階觀測器極點的M-文件為：a=

6、0 1 0;0 0 1;1.244 0.3965 -3.145;b=0;0;1.244;c=1 0 0;v=-5+j*5*sqrt(3) -5-j*5*sqrt(3) -10;l=(acker(a',c',v)'執(zhí)行以上程序可得：相應的全維觀測器是：6.11 考慮習題6.10給出的系統(tǒng)。假設輸出y可準確量測。試應用MATLAB軟件，設計一個降階觀測器，使得其極點是。答： 由于輸出可準確量測，同時，因此可得：，執(zhí)行以下的M-文件：Aaa=0;Aab=1 0;Aba=0;1.244;Abb=0 1;0.3965 -3.145;Ba=0;Bb=0;1.244;v=-5+j*5

7、*sqrt(3) -5-j*5*sqrt(3);l=(acker(Abb',Aab',v)'Ahat=Abb-l*AabBhat=Ahat*l+Aba-l*AaaFhat=Bb-l*Ba可得：，即所設計的降階觀測器為：6.12 例，用一個具有觀測器極點的降階觀測器替代其中的全階觀測器，設計一個基于降階觀測器的輸出反饋控制器，并檢驗其效果。答: 各參數(shù)，因為原系統(tǒng)是兩階的，所以降階觀測器是是一階的。設，觀測器的特征多項式為因為，所以，進而，。所以降階觀測器模型為由例可知，故基于降階觀測器的輸出反饋控制系統(tǒng)狀態(tài)方程為取初始條件為執(zhí)行以下的M-文件：ac=-1 2 -1;-1

8、 0 0;0 0 -2;t=0:0.01:8;sys=ss(ac,eye(3),eye(3),eye(3);z=initial(sys,1 0 0.5,t);x1=1 0 0 *z'x2=0 1 0 *z'e1=0 0 1 *z'subplot(2,2,1);plot(t,x1),gridtitle('Response to initial condition')ylabel('state variable x1')subplot(2,2,2);plot(t,x2),gridtitle('Response to initial c

9、ondition')ylabel('state variable x2')subplot(2,2,3);plot(t,e1),gridtitle('t (sec)')ylabel('error state variable e1')可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)估計誤差對初始條件的響應曲線圖：閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)估計誤差對初始條件的響應曲線由仿真曲線可以看出，系統(tǒng)的真實狀態(tài)和降階觀測器狀態(tài)的初值有誤差，但隨著時間的推移，它們之間的誤差漸近衰減到零。6.13 利用分離原理設計的基于觀測器的輸出反饋控制器本身是否一定是穩(wěn)定的？一個不穩(wěn)定的控制器有何

10、不利影響？如何改進？答： 利用分離原理設計的基于觀測器的輸出反饋控制器本身不一定是穩(wěn)定的。在實際應用中，不穩(wěn)定的控制器往往是不可取的。因為，不穩(wěn)定的控制器在自身的測試時會遇到困難。另外，若使用的控制器是不穩(wěn)定的，則當系統(tǒng)增益變小時，閉環(huán)系統(tǒng)就會變得不穩(wěn)定。因此為了得到一個滿意的控制系統(tǒng)，需要重新設計控制器，也即需要修改閉環(huán)極點，或觀測器極點，或兩者同時修改，然后重新進行設計。6.14 考慮圖6.9所示的調(diào)節(jié)器系統(tǒng)，試針對被控對象設計基于全階觀測器和降階觀測器的輸出反饋控制器。設極點配置部分希望的閉環(huán)極點是，希望的觀測器極點是（a） 對于全階觀測器，和；（b） 對于降階觀測器，。比較系統(tǒng)對下列指

11、定初始條件的響應：（a） 對于全階觀測器： （b） 對于降階觀測器： 進一步比較兩個系統(tǒng)的帶寬。圖6.9 習題6.14的調(diào)節(jié)器系統(tǒng)答：被控對象傳遞函數(shù)的一個狀態(tài)空間實現(xiàn)是： 首先，根據(jù)希望配置的閉環(huán)極點，執(zhí)行以下的m-文件：a=0 1;0 -2;b=0;4;c=1 0;d=0j=-2+j*2*sqrt(3) -2-j*2*sqrt(3);K=acker(a,b,j)可得狀態(tài)反饋增益矩陣：(a) 配置全階觀測器極點的程序：a=0 1;0 -2;b=0;4;c=1 0;d=0;v=-8 -8;L=(acker(a',c',v)'求得：該全階觀測器對指定初始條件的響應曲線可由

12、下面的m-文件來實現(xiàn)：a=0 1;0 -2;b=0;4;c=1 0;d=0;k=4 0.5;L=14;36;AA=a-b*k b*k;zeros(2,2) a-L*c;sys=ss(AA,eye(4),eye(4),eye(4);t=0:0.01:3;x=initial(sys,1;0;1;0,t);x1=1 0 0 0*x'x2=0 1 0 0*x'e1=0 0 1 0*x'e2=0 0 0 1*x'subplot(2,2,1);plot(t,x1),gridtitle('Response to initial condition')ylabe

13、l('state variable x1')subplot(2,2,2);plot(t,x2),gridtitle('Response to initial condition')ylabel('state variable x2')subplot(2,2,3);plot(t,e1),gridtitle('t (sec)')ylabel('error state variable e1')subplot(2,2,4);plot(t,e2),gridtitle('t (sec)')ylabel(

14、9;error state variable e2')所得到的響應曲線圖為：基于全階觀測器的輸出反饋控制系統(tǒng)響應曲線(b) 配置降階觀測器極點 由，可得：，因為原系統(tǒng)兩階，所以降階觀測器的增益矩陣。而觀測器的特征方程為因為，所以，即。進而，故降階觀測器模型為基于該降階觀測器的輸出反饋控制系統(tǒng)對指定初始條件的響應曲線可由下面的m文件來實現(xiàn)：a=0 1;0 -2;b=0;4;k=4 0.5;kb=0.5;L=6;Aab=1;Abb=-2;AA=a-b*k b*kb;zeros(1,2) Abb-L*Aab;sys=ss(AA,eye(3),eye(3),eye(3);t=0:0.01:3;x=initial(sys,1;0;1,t);x1=1 0 0*x'x2=0 1 0*x'e1=0 0 1*x'subplot(2,2,1);plot(t,x1),gridtitle('Response to initial condition')ylabel('state variable x1')subplot(2,2,2);plot(t,x2),gridtitle('Response to initial condition')yla