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文檔簡介
1、第7章 參數(shù)估計7.1 參數(shù)點估計的幾種方法7.1.1 參數(shù)點估計問題的提出在實際問題中,首先,總體的分布類型往往是知道的,未知的只是其中的某些參數(shù)。例如,等;其次,人們直接感興趣的往往不是總體的分布,而是總體的某些參數(shù)。因此參數(shù)估計就顯得特別重要。設為未知參數(shù),為總體的樣本,點估計:就是尋找統(tǒng)計量作為參數(shù)的估計。7.1.2 矩法估計(MME) 總體矩 樣本矩一階: .二階: . . 階: (有限制) .特點:總體矩含有未知參數(shù),樣本矩是統(tǒng)計量;總體矩和樣本矩(同階)是近似相等的(大數(shù)定律)。證:,(辛欽大數(shù)定律)。思想:用樣本矩代替總體矩,建立方程,解出其中的未知參數(shù),參數(shù)的解即為它的矩估計
2、。例1 若總體,為來自總體的樣本,求的MME。解:求總體矩;建立方程,令,則,即得MME為。例2 設總體的期望、方差分別為,為來自總體的樣本,求的MME。解:求總體矩,。建立方程,令注:矩法估計是不需要知道總體的分布函數(shù)的。例7.1.2 設總體,為參數(shù),為來自總體的樣本,求的MME。解:求總體矩,。建立方程,令7.1.3 最大似然估計(MLE)一、最大似然原理:一個隨機試驗,有若干個可能出現(xiàn)的結果,現(xiàn)進行一次試驗,若事件發(fā)生,則認為最大。二、概率函數(shù)若離散型,分布列若連續(xù)性,概率密度統(tǒng)稱為概率函數(shù),記為,為未知參數(shù)。三、似然函數(shù)設為總體的一組樣本,為樣本的一組觀測值,現(xiàn)事件發(fā)生了,由最大似然原
3、理知,最大。當總體為離散型,則最大,當總體為連續(xù)型,則樣本落在點的鄰域內(nèi)的概率最大,其中與無關,由知,最大,也就是最大,記,稱為關于的似然函數(shù)。若使得達到最大,則稱為的最大似然估計值,其相應的統(tǒng)計量為的最大似然估計量(MLE),記為。四、計算MLE若關于單調,則可根據(jù)單調函數(shù)的性質求例4 設,求。解:概率函數(shù)為設為樣本的一組觀測值,則似然函數(shù)為由于關于單調下降,所以取最小值時,最大,但,所以由的任意性知:若關于不是單調的,要求極值點,可先求穩(wěn)定點,然后再驗證。令,則為方程的解。通過解方程,求出(如果只有一個穩(wěn)定點就不需要驗證了)。但是不易求導,于是引入對數(shù)似然函數(shù):由于是的嚴格遞增函數(shù),它們有
4、相同的極大值點,所以可令:。例5 設,求。 設總體(1)若已知,未知,試求的最大似然估計量;(2)若,均未知,試求,的最大似然估計量。解:的概率函數(shù)為。設為樣本的一組觀測值,(1)的似然函數(shù)為,從而對數(shù)似然函數(shù)為,令得,解方程得,由的任意性可知,最大似然估計。(2),的對數(shù)似然函數(shù)為,分別關于,求偏導,得似然方程組解得由的任意性可知,最大似然估計。7.2 點估計的評價標準一般地,不同的估計方法得到參數(shù)的估計不一定一樣,這時怎樣判斷估計的好壞呢?點估計常用的評價標準有三個:無偏性、有效性、一致性。7.2.1. 無偏性:設為未知參數(shù)的點估計,若,則稱為的無偏估計量,否則稱為有偏估計。 設樣本為來自
5、總體的一組樣本,。驗證為的無偏估計;為的無偏估計。解:;。7.2.2. 有效性:設,是的兩個無偏估計量,如果,則稱比有效。 設總體的方差存在,。為的樣本,則是的兩個無偏估計量,驗證哪個更有效。解:,所以比更有效。7.2.3. 一致性(相合性):設為未知參數(shù)的點估計,為樣本容量,若,有,(或)則稱為的一致估計量。7.3 區(qū)間估計7.3.1 區(qū)間估計的概念定義1:設為總體的一個參數(shù),是取自總體樣本,為某一實數(shù),若存在兩個統(tǒng)計量,使得,則稱隨機區(qū)間為的置信水平(或置信系數(shù))為的置信區(qū)間;,分別稱為的置信下限、置信上限,統(tǒng)稱為置信限。這種用一個區(qū)間來估計未知參數(shù)的方法稱為區(qū)間估計。意義:置信水平反映的
6、是區(qū)間包含的可靠程度。定義2:為未知參數(shù),為的一個估計值,為某一給定實數(shù),記,則稱為的置信水平為的區(qū)間估計。注:與樣本容量和有關;為隨機區(qū)間;大約有個區(qū)間包含。7.3.2 樞軸量法構造未知參數(shù)的置信區(qū)間的最常用的方法:樞軸量法,借助假設檢驗的接受域來構造。 設為取自正態(tài)總體的樣本,其中已知,未知,試求參數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間。解:的最大似然估計為,而由Fisher定理知,故,是樣本的函數(shù),且含有未知參數(shù),但其分布與未知參數(shù)無關。對于給定的,我們可以查標準正態(tài)分布表確定,使得,即,于是因此,的置信水平為的置信區(qū)間為。事實上,只要存在使得,即反解得就是的置信水平為的置信區(qū)間。等尾置信區(qū)間:使得兩
7、個尾巴的概率相等的區(qū)間,即,。圖示: y z樞軸量法的一般步驟:(1) 設法構造一個樣本和的函數(shù),使得的分布不依賴于未知參數(shù),一般稱具有這種性質的為樞軸量。(2) 適當選取兩個常數(shù),使對給定的,有;(3) 假如能將不等式恒等變形為,則有,從而即為的置信水平為的置信區(qū)間。上述構造置信區(qū)間的關鍵在于樞軸量的構造,一般由的點估計變形產(chǎn)生。7.3.3 單個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計1. 已知時的置信區(qū)間令樞軸量,的置信水平為的置信區(qū)間為。 某燈泡廠的燈泡壽命(單位:小時)服從分布,今從中抽取一個容量為10的樣本,測得,試求平均壽命的置信區(qū)間()。解: 令樞軸量,因為,查標準正態(tài)分布表得,所以,的置信水平為0.95的置信區(qū)間為(1145.25,1148.75)。2. 未知時的置信區(qū)間我們用的無偏估計量來代替,令樞軸量為,的置信水平為的置信區(qū)間為。 假定新生嬰兒(男孩)的體重服從正態(tài)分布,今隨機抽取12名新生嬰兒,測得克,試求新生嬰兒平均體重的置信水平為95%的置信區(qū)間。解:令樞軸量為,未知。查t分布表的,所以,的置信水平為0.95的置信區(qū)間為(2818.54,3295.46)。4. 的置信區(qū)間(未知)用的無偏估計量來代替,令樞
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