第4章不定積分

1、教 學(xué) 內(nèi) 容批注第四章 不定積分§4. 1 不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念定義1如果在區(qū)間I上,可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),即對任一xÎI,都有F¢(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù).例如因為(sin x)¢=cos x,所以sin x是cos x的原函數(shù).又如當(dāng)xÎ(1,+¥)時,因為,所以是的原函數(shù).提問: cos x和還有其它原函數(shù)嗎？原函數(shù)存在定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x),使對任一x&

2、#206;I都有F¢(x)=f(x).簡單地說就是:連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).兩點說明:第一,如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)F(x),那么f(x)就有無限多個原函數(shù),F(x)+C都是f(x)的原函數(shù),其中C是任意常數(shù).第二,f(x)的任意兩個原函數(shù)之間只差一個常數(shù),即如果F(x)和F(x)都是f(x)的原函數(shù),則F(x)-F(x)=C (C為某個常數(shù)).定義2 在區(qū)間I上,函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx )在區(qū)間I上的不定積分,記作.其中記號稱為積分號,f(x)稱為被積函數(shù),f(x)dx稱為被積表達式,x稱為積分變量.根據(jù)定義,如果F(x)是f(x)

3、在區(qū)間I上的一個原函數(shù),那么F(x)+C就是f(x)的不定積分,即.因而不定積分可以表示f(x)的任意一個原函數(shù).教 學(xué) 內(nèi) 容批注例1. 因為sin x是cos x的原函數(shù), 所以.因為是的原函數(shù), 所以.例2. 求函數(shù)的不定積分.解：當(dāng)x>0時, (ln x)¢, (x>0); 當(dāng)x<0時, ln(-x)¢, (x<0). 合并上面兩式, 得到(x¹0). 例3 設(shè)曲線通過點(1, 2),且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程.解設(shè)所求的曲線方程為y=f(x),按題設(shè),曲線上任一點(x,y)處的切線斜率為y

4、2;=f¢(x)=2x, , 即f(x)是2x的一個原函數(shù).因為,故必有某個常數(shù)C使f(x)=x2+C,即曲線方程為y=x2+C.因所求曲線通過點(1, 2),故2=1+C,C=1.于是所求曲線方程為y=x2+1.教 學(xué) 內(nèi) 容批注積分曲線:函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線.從不定積分的定義,即可知下述關(guān)系:,或;又由于F(x)是F¢(x)的原函數(shù),所以,或記作.由此可見,微分運算（以記號d表示）與求不定積分的運算（簡稱積分運算,以記號表示）是互逆的.當(dāng)記號與d連在一起時,或者抵消,或者抵消后差一個常數(shù).二、基本積分表(1)(k是常數(shù)),(2),(3),(4

5、),(5),(6),(7),(8),(9),教 學(xué) 內(nèi) 容批注(10),(11),(12),(13),(14),(15).例4 .例5 .例6 .三、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 函數(shù)的和的不定積分等各個函數(shù)的不定積分的和,即.這是因為, =f(x)+g(x).性質(zhì)2 求不定積分時,被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來,即(k是常數(shù),k¹0).教 學(xué) 內(nèi) 容批注例7. .例8 .例9 .例10 .例11 .例12 .例13 = tan x-x+C.例14 .例15 .教 學(xué) 內(nèi) 容批注§4. 2 換元積分法一、第一類換元法設(shè)f(u)有原函數(shù)F(u), u=j(x),且j(

6、x)可微,那么,根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法,有dFj(x) =dF(u)=F¢(u)du= F¢j(x) dj(x)= F ¢j(x) j¢(x)dx,所以F ¢j(x)j¢(x)dx= F¢j(x) dj(x)= F¢(u)du= dF(u)=dFj(x) ,因此.即=F(u)+C u=j(x) = Fj(x)+C.定理1設(shè)f(u)具有原函數(shù),u=j(x)可導(dǎo),則有換元公式.被積表達式中的dx可當(dāng)作變量x的微分來對待,從而微分等式j(luò)¢(x)dx=du可以應(yīng)用到被積表達式中.在求積分時,如果函數(shù)g(x)可以化為g

7、(x)= fj(x)j¢(x)的形式,那么.例1. =sin 2x+C.例2. .教 學(xué) 內(nèi) 容批注例3. .例4. .例5. =-ln|cos x|+C.即.類似地可得.熟練之后,變量代換就不必再寫出了.例6. .即.例7. .例8. 當(dāng)a>0時, .即.教 學(xué) 內(nèi) 容批注例9. .即.例10. .例11. .含三角函數(shù)的積分:例12. .例13. . 例14. 教 學(xué) 內(nèi) 容批注例15. .例16. .例17. =ln |csc x-cot x |+C .即=ln |csc x-cot x |+C .例18. =ln |sec x+ tan x | +C.即=ln |sec

8、 x+ tan x | +C.二、第二類換元法定理2 設(shè)x=j(t)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù),并且j¢(t)¹0.又設(shè)f j(t)j¢(t)具有原函數(shù)F(t),則有換元公式.其中t=j-1(x)是x=j(t)的反函數(shù).教 學(xué) 內(nèi) 容批注這是因為.例19. 求(a>0).解: 設(shè)x=a sin t,那么,dx=a cos td t,于是.因為, ,所以.提示:,dx=acos tdt.提示: , .例20. 求(a>0).解:設(shè)x=a tan t,那么=a sec t,dx=a sec 2tdt,于是= ln |sec t+ tan t |+C.因為,所以=

9、 ln |sec t+ tan t |+C,其中C 1=C-ln a.教 學(xué) 內(nèi) 容批注提示:=asect,dx=a sec 2tdt,提示:,.例23. 求(a>0).解: 當(dāng)x>a時,設(shè)x=a sec t (),那么=a tan t,于是= ln |sec t+ tan t |+C.因為,所以= ln |sec t+ tan t |+C,其中C 1=C-ln a.當(dāng)x<a時,令x=-u,則u>a,于是,其中C 1=C-2ln a.綜合起來有.教 學(xué) 內(nèi) 容批注補充公式:(16),(17),(18),(19),(20),(21),(22),(23),(24).

10、7;4. 3 分部積分法設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).那么,兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為(uv)¢=u¢v+uv¢,移項得uv¢=(uv)¢-u¢v.對這個等式兩邊求不定積分,得, 或,這個公式稱為分部積分公式.分部積分過程:.教 學(xué) 內(nèi) 容批注例1 =x sin x-cos x+C.例2 .例3 =x2ex-2xex+2ex+C=ex(x2-2x+2 )+C.例4 .例5 .例6 .例7 求.解因為教 學(xué) 內(nèi) 容批注,所以.例8 求.解因為,所以.例9 求,其中n為正整數(shù).解;當(dāng)n>1時，用分部積分法,有,即,于是

11、 .以此作為遞推公式,并由即可得.教 學(xué) 內(nèi) 容批注例10 求.解令x=t 2,則,dx=2tdt.于. 第一換元法與分部積分法的比較:共同點是第一步都是湊微分,.哪些積分可以用分部積分法？, , ;,;,.,.§4. 4 幾種特殊類型函數(shù)的積分一、 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的形式:有理函數(shù)是指由兩個多項式的商所表示的函數(shù),即具有如下形式的函數(shù):教 學(xué) 內(nèi) 容批注,其中m和n都是非負(fù)整數(shù); a0,a1,a2,×××,an及b0,b1,b2,×××,bm都是實數(shù),并且a0¹0,b0¹0.當(dāng)n<m時,稱這

12、有理函數(shù)是真分式;而當(dāng)n³m時,稱這有理函數(shù)是假分式.假分式總可以化成一個多項式與一個真分式之和的形式.例如.真分式的不定積分:求真分式的不定積分時,如果分母可因式分解,則先因式分解,然后化成部分分式再積分.例1 求.解=6ln|x-3|-5ln|x-2|+C.提示:,A+B=1,-3A-2B=3,A=6,B=-5.分母是二次質(zhì)因式的真分式的不定積分:例2 求.解.提示:.教 學(xué) 內(nèi) 容批注例3 求.解.提示:.二、三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成的函數(shù),其特點是分子分母都包含三角函數(shù)的和差和乘積運算.由于各種三角函數(shù)都可以用sin x及cos x的有理式表示,故三角函數(shù)有理式也就是sin x、cos x的有理式.用于三角函數(shù)有理式積分的變換:把sin x、cos x表成的函數(shù),然后作變換:,.變換后原積分變成了有理函數(shù)的積分.例4 求.解令,則,x=2arctan u,.教 學(xué) 內(nèi) 容批注于是.說明: 并非所有的三角函數(shù)有理式的積分都要通過變換化為有理函數(shù)的積分. 例如,三、簡單無理函數(shù)的積分無理函數(shù)的積分一般要采用第二換元法把根號消去.例5 求.解設(shè),即,則.例6