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1、第八章 無窮級數典型習題解答與提示習題8-11(1);(2)。2提示,級數的和為。3(1)提示,級數發(fā)散;(2)提示,級數是公比的等比級數,級數是公比的等比級數,原級數收斂;(3)因, 則 故,故級數收斂;(4)因,故, 故由級數收斂的必要條件知,級數發(fā)散。4(1)錯;(2)對;(3)錯;(4)錯。習 題 8-21(1)級數發(fā)散;(2)級數收斂;(3)因,又因為級數是收斂的級數,故由比較審斂法知,已知級數收斂;(4)因,又級數是收斂的等比級數,故由比較審斂法知,級數收斂。2(1)級數發(fā)散;(2)級數收斂;(3)因,則,即由比值審斂法知,級數收斂;(4)因,則,故由比值審斂法知,級數發(fā)散。3(1

2、)因,故,且,故審斂,即已知級數絕對收斂;(2)故。又,級數是收斂的級數,故由比較審斂法知,級數絕對收斂;(3)因,故,且級數發(fā)散,故由比較收斂法知,級數不絕對收斂,但是,易知該級數滿足萊布尼茲的條件,故該級數是條件收斂的交錯級數;(4)因,故,則,故由比值審斂法,級數絕對收斂。習 題 8-31(1)收斂區(qū)間為;(2)收斂區(qū)間為;(3)收斂區(qū)間為;(4),收斂區(qū)間為;(5)因,故, 則,收斂區(qū)間為;(6)因,故, 即,收斂區(qū)間為;(7)因,故, 即,收斂區(qū)間為,即,也即;(8)令,則原級數可化為,因,則,關于的冪級數的收斂半徑,即在內收斂;故原級數在內,即內收斂。即所求收斂區(qū)間為。2(1)提示

3、令,兩邊從積分,再求導即可,;(2)方法一因,令, 兩邊從兩次積分,得, 上式兩邊兩次求導,得 即所求和函數為; 方法二因,兩邊求導,得。即,兩邊再次求導,得即;(3)令,兩邊求導,得兩邊從積分,得即因,故;(4)令,兩邊求導,得兩邊再次求導,得則上式從積分,得,上式兩邊再次從積分,得。3令,兩邊求導,得,上式兩邊從積分,得由上級數的和函數知當時,有,則,即。* 習 題 8-41(1);(2);(3)提示,;(4)因,又, 則;(5)因,又,則;(6)因,又,則。2(1)提示,;(2);(3)。3因可看作是在處的函數值。又。則。顯然上式右端是一個收斂的交錯級數,若取級數的前三項作為的近似值,則

4、誤差為,精確到了,達到了精確到要求,即。4略。* 習題8-51(1)提示:由歐拉-傅里葉公式計算,則的傅里葉級數為,由收斂定理知;(2)因,由歐拉-傅里葉公式知,則的傅里葉級數為且,由收斂定理知;(3)因,則由歐拉-傅里葉公式知,則所求傅里葉級數為由收斂定理知;(4)因,則由公式知:,即所求傅里葉級數為且由收斂定理知。2(1)因,是偶函數,則由公式知, 即可得如下余弦級數。(2)因為奇函數,則,即有正弦級數且,由收斂定理知。* 習 題 8-61因周期為4,由公式知,,則所求傅里葉級數為且,由收斂定理知。2因周期為2,則由公式知,為偶函數, 故由收斂定理有。3因,周期數為4,即,則由公式知,則的

5、傅里葉級數為,且,。復習題八17略。8(1)因,又是發(fā)散的正項級數, 故由比較審斂法知,原級數發(fā)散;(2)因,又是收斂的級數, 故由比較審斂法知,原級數收斂;(3)因,則, 故時,級數發(fā)散;時,級數收斂;(4)因,又級數是收斂的級數, 故由比較審斂法知,原級數收斂;(5)因,則,故由收斂的必要條件知,級數發(fā)散;(6)因,則, 顯然級數發(fā)散,即原級數不絕對收斂, 但是,單調遞減且趨于0,故由萊布尼茲審斂法知,原級數條件收斂。9(1)原級數可化為,令,則級數又可化為, 于是,故關于的冪級數的收斂半徑,即當時,級數收斂,從而原級數在時收斂,于是其收斂區(qū)間,當時,級數為,是收斂的交錯級數;當時,級數為,是發(fā)散的調和級數,于是原級數的收斂域為;(2)原級數即為,于是有,故收斂半徑,收斂區(qū)間為,又容易知道時,級數皆發(fā)散,于是收斂域為;(3)因,又當令時,級數,極限,故級數的收斂區(qū)間為,于是,故原級數的收斂區(qū)間是,經檢驗知,已知級數的收斂域為。10(1)因,又,; (2)因,又因,則 (3)因,又,則; (4)因,則;11(1)因,且以為周期,則由公式知:, 即所求傅里葉級數為;(2)因,且以2為周期,則由公式知,注明:,,故

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