第三章微分中值定理導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第三章微分中值定理導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目的與要求1掌握并會(huì)應(yīng)用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。3 用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。4 握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。5 道曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。6 了解方程近似解的二分法及切線法。一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒級(jí)數(shù)中講）1 羅爾定理如滿足：（1）在連續(xù). （2）在可導(dǎo). （3）則至少存在一點(diǎn)使例設(shè)，則在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，方程有

2、2個(gè)實(shí)根；在（-1，1）內(nèi)有2個(gè)根例設(shè)在0，1可導(dǎo)，且，證明存在，使。證：設(shè)在a,b可導(dǎo)，存在使即例設(shè)在0，1可導(dǎo)，且,證明存在 。解: 設(shè)，且由羅爾定理存在使即，亦即例習(xí)題6 設(shè)（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）2、 拉格朗日中值定理如滿足：在a,b連續(xù)；在（a,b）連續(xù)，則存在使。推論：如果在區(qū)間I上，則如果在區(qū)間I上，在單增（減）例對任意滿足的x，都有設(shè)例設(shè)，證明求導(dǎo)證明作業(yè)：見各章節(jié)課后習(xí)題。二、洛必達(dá)法則未定形：如下的函數(shù)極限都是未定形。1、型： 如：型：2、型： 如：3、型： 如：4、型：如：5、 型： 如：6、 型： 如：7、 型： 如：它們的計(jì)算不能用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則，且它們只表示類型，沒

3、有具體意義。 1、（）型的洛必達(dá)法則(同理)定理：對函數(shù)和，如果：（1）, （2）在某個(gè)鄰域內(nèi)（后）有導(dǎo)數(shù)和，且；（3）存在（或無窮），則成立：=例：1) 2)3) 例： 1) 2) 3) (0)3、其它類型1) 2) 3) 4) 解法同3） 例 ： 1) 2) 3) 4) 三、泰勒公式 一、多項(xiàng)式： 在點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)： 得：二、泰勒中值定理：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間有直到階的導(dǎo)數(shù)，則對任一有：1、（N階泰勒公式）稱為余項(xiàng)。（1）（ 在與之間）拉格朗日型余項(xiàng)（2） 皮亞諾余項(xiàng)。2、當(dāng)?shù)名溈藙诹止剑喝?、常見函?shù)的泰勒展開1) 2) 3) 四、函數(shù)的性態(tài)1、極值1）定義：如在鄰域內(nèi)，恒有，則稱為

4、函數(shù)的一個(gè)極大（?。┲怠？赡軜O值點(diǎn)，不存在的點(diǎn)與的點(diǎn)。（駐點(diǎn)）駐點(diǎn) 極值點(diǎn)2）判別方法、導(dǎo)數(shù)變號(hào)。 極小值極大值、，例1、 設(shè)滿足關(guān)系式，且,，則在點(diǎn)處 AA、取得極大值B、取得最小值C、在某鄰域內(nèi)單增 D、在某鄰域內(nèi)單減例2已知函數(shù)對一切滿足如，則 AA、 是的極小值B、是的極大值C、是曲線的拐點(diǎn)D、不是的極值，也不是曲線 的拐點(diǎn)。例3 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則是的極大值。2、函數(shù)的最大值與最小值（1）求出內(nèi)可能的極值點(diǎn)，不需判別極大還是極小，求出它們的函數(shù)值，再與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大的（?。樽畲螅ㄐ。┲?。（2）在內(nèi)可能極值點(diǎn)唯一，如是極小值則為最小值；如是極大值則為最大值。（

5、3）如分別為最小, 最大值。（4）實(shí)際問題據(jù)題意可不判別。 例1、 在拋物線上的第一象限部分求一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作切線，使該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積最小。解：設(shè)切點(diǎn)為，切線方程為即 三角形面積： ，令（唯一）故 為所求點(diǎn)3、曲線的凹凸、拐點(diǎn)及漸近線 在I上可導(dǎo) 如則曲線是凹（凸）的, 在連續(xù)曲線上凹凸部分的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。 可能的拐點(diǎn)和不存在的點(diǎn)例1、 設(shè)，試討論的性態(tài)。x(-,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+)y+0-間斷+0+y-0+y單調(diào)增上凸極大值單減上凸單增上凸拐點(diǎn)(1,0)單增下凸?jié)u近線如則稱為水平漸近線如 則稱為垂直漸近線漸近線可能沒有，或多條。例2、求漸近線（斜漸近線不討論）解：為水平漸近線垂直漸近線例2、 曲線的漸近線有 4 條4證明不等式（1）利用中值定理（R，L）；（2）利用函數(shù)單調(diào)性；（3）利用最值；（4）引入輔助函數(shù)把常值不等式變成函數(shù)不等式；（5）利用函數(shù)凹凸性；（6）利用泰勒公式。例1、 當(dāng)，試即證：證： 設(shè)，在連續(xù)，可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理 即 例2、設(shè)，證明證： 設(shè)單增，當(dāng)設(shè)單增，當(dāng)例3、當(dāng)證明 證： 令 令得 駐點(diǎn)唯一， 極小為最小值即 例4、 當(dāng) 證明 證: 設(shè)令 , 駐點(diǎn)唯一當(dāng) ,在