第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（10學(xué)時(shí)）【主要講授內(nèi)容及時(shí)間分配】2.1 線性系統(tǒng)的微分方程（45分鐘）2.2 非線性系統(tǒng)的線性化（45分鐘）2.3 傳遞函數(shù)（90分鐘）2.4 方框圖及其變換（90分鐘）2.5 信號(hào)流圖及其應(yīng)用（90分鐘）2.6 控制系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)（45分鐘）2.7 用Matlab處理系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型（45分鐘）【重點(diǎn)與難點(diǎn)】1、重點(diǎn)：常用元部件傳遞函數(shù)的求取，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取。2、難點(diǎn)：結(jié)構(gòu)圖等效變換，梅森公式的應(yīng)用。【教學(xué)要求】1、能夠用理論推導(dǎo)的方法建立電路系統(tǒng)及力學(xué)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型微分方程；2、掌握典型元部件的傳遞函數(shù)的求??；3、掌握結(jié)構(gòu)圖的繪制，由結(jié)構(gòu)圖等效變換求傳遞函

2、數(shù)；4、掌握由梅森公式求傳遞函數(shù)?！緦?shí)施方法】課堂講授，PPT配合2.1 線性系統(tǒng)的微分方程大多數(shù)控制系統(tǒng)在一定的限制條件下，都可以用線性微分方程來描述，因此線性系統(tǒng)的研究具有重要的實(shí)用價(jià)值。本節(jié)重點(diǎn)分析線性定常系統(tǒng)微分方程的建立。用分析法建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟如下：(1) 分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量之間的關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量和中間變量。(2) 根據(jù)系統(tǒng)（或元件）的基本定律（物理、化學(xué)定律），從系統(tǒng)的輸入端開始，依次列寫組成系統(tǒng)各元件的運(yùn)動(dòng)方程（微分方程）。(3) 聯(lián)立方程，消去中間變量，得到有關(guān)輸入量與輸出量之間關(guān)系的微分方程。(4) 標(biāo)準(zhǔn)化。即將與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方

3、程的左邊，與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的右邊，等式兩邊的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列。2.2 非線性系統(tǒng)的線性化實(shí)際的物理系統(tǒng)往往有間隙、死區(qū)、飽和等非線性特性，嚴(yán)格地講，任何一個(gè)元件或系統(tǒng)都不同程度地具有非線性特性。在研究系統(tǒng)時(shí)盡量將非線性在合理、可能的條件下簡化為線性問題，即將非線性模型線性化。非線性函數(shù)的線性化是指將非線性函數(shù)在工作點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)，忽略二次以上高階無窮小量及余項(xiàng)，得到近似的線性化方程。在求取線性化增量方程時(shí)應(yīng)注意：(1) 線性化方程通常是以增量方程描述的；(2) 線性化往往是相對(duì)某一工作點(diǎn)（平衡點(diǎn)）進(jìn)行的。在線性化之前，必須確定元件的工作點(diǎn)；(3) 變量的變化必須是小范圍的；(4

4、) 對(duì)于嚴(yán)重非線性元件或系統(tǒng)，原則上不能用小偏差法進(jìn)行線性化，應(yīng)利用非線性系統(tǒng)理論解決。2.3 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的定義線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，定義為線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。即設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程為設(shè)c(t)和r(t)及其各階導(dǎo)數(shù)初始值均為零，對(duì)上式取拉氏變換，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)(1) 傳遞函數(shù)是微分方程經(jīng)拉氏變換導(dǎo)出的，而拉氏變換是一種線性積分運(yùn)算，因此傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。(2) 傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)輸入量的大小和形式無關(guān)。(3) 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時(shí)刻之前，系統(tǒng)是處

5、于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。(4) 傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式。分母多項(xiàng)式的最高階次n高于或等于分子多項(xiàng)式的最高階次m，即nm。這是因?yàn)閷?shí)際系統(tǒng)或元件總是具有慣性且能源有限。(5) 一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示單輸入單輸出的關(guān)系。對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)，要用傳遞函數(shù)陣表示。(6) 傳遞函數(shù)可表示零極點(diǎn)形式和時(shí)間常數(shù)形式，分別如下：典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1. 比例環(huán)節(jié)：輸出量與輸入量成正比，不失真也無時(shí)間滯后的環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為2. 積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為3. 微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為4. 慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為5. 一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為6. 二階振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為7. 二階微

6、分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為8. 時(shí)滯環(huán)節(jié)時(shí)滯環(huán)節(jié)是在輸入信號(hào)作用后，輸出信號(hào)要延遲一段時(shí)間才重現(xiàn)輸入信號(hào)的環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù)為2.4 方框圖及其變換系統(tǒng)方框圖實(shí)質(zhì)上是系統(tǒng)原理圖與數(shù)學(xué)方程兩者的結(jié)合，既補(bǔ)充了原理圖所缺少的定量描述，又避免了純數(shù)學(xué)的抽象運(yùn)算。方框圖方框圖由許多對(duì)信號(hào)進(jìn)行單向運(yùn)算的方框和一些信號(hào)流向線組成，它包含以下四種基本單元：(1) 信號(hào)線。如圖2-23(a)所示。(2) 比較點(diǎn)（或綜合點(diǎn)）。表示對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算。如圖2-23(b)所示。(3) 方框。方框中為元件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。如圖2-23(c)所示。(4) 引出點(diǎn)（或分支點(diǎn)）。如圖2-23(d)所示。繪制控制系統(tǒng)方框圖

7、的一般步驟如下：(1) 寫出組成系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的微分方程；(2) 求取各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，繪制各環(huán)節(jié)的方框圖；(3)從輸入端開始，按信號(hào)流向依次將各環(huán)節(jié)方框圖用信號(hào)線連接成整體，即得控制系統(tǒng)方框圖方框圖的等效變換結(jié)構(gòu)圖簡化的一般方法是移動(dòng)引出點(diǎn)或比較點(diǎn)，合并串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方框。同時(shí)對(duì)方框圖的一部分進(jìn)行變換時(shí)，變換前后輸入輸出總的數(shù)學(xué)關(guān)系式保持不變。1. 串聯(lián)傳遞函數(shù)分別為G1(s)和G2(s)的兩個(gè)方框，若G1(s)的輸出量為G2(s)的輸入量，則G1(s)和G2(s)的方框連接稱為串聯(lián)，如圖2-27(a)所示。式中G(s)=G1(s)G2(s)，表明兩個(gè)方框串聯(lián)的等效傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞

8、函數(shù)的乘積，這個(gè)結(jié)論可推廣到n個(gè)方框串聯(lián)的情況。2. 并聯(lián)分別為G1(s)和G2(s)的兩個(gè)方框，若它們有相同的輸入量，而輸出量等于兩個(gè)方框輸出的代數(shù)和，則G1(s)和G2(s)的方框連接稱為并聯(lián)。式中G(s)=G1(s)G2(s)，表明兩個(gè)方框并聯(lián)的等效傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。這個(gè)結(jié)論可推廣到n個(gè)方框并聯(lián)的情況3. 反饋連接傳遞函數(shù)分別為G(s)和H(s)的兩個(gè)方框，如圖2-29(a)形式連接，則稱為反饋連接。負(fù)反饋連接是控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)形式。若反饋環(huán)節(jié)H(s)=1，則稱為單位反饋。4. 比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動(dòng)在系統(tǒng)方框圖簡化過程中，除了進(jìn)行方框的串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的等效變換外

9、，還需要移動(dòng)比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的位置。這時(shí)應(yīng)注意在移動(dòng)前后保持信號(hào)的等效性。表2-1列出了方框圖等效變換的基本法則，可供查用。表2-1 方框圖等效變換法則變換方式變換前變換后等式串聯(lián)并聯(lián)反饋引出點(diǎn)前移引出點(diǎn)后移比較點(diǎn)前移比較點(diǎn)后移比較點(diǎn)交換2.5 信號(hào)流圖及其應(yīng)用信號(hào)流圖的定義與術(shù)語節(jié)點(diǎn)表示變量或信號(hào)的點(diǎn)，用符號(hào)“o”表示。傳輸兩節(jié)點(diǎn)間的增益或傳遞函數(shù)。支路連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)并標(biāo)有信號(hào)流向的定向線段。支路的增益即是傳輸。源點(diǎn)只有輸出支路而無輸入支路的節(jié)點(diǎn)，也稱為輸入節(jié)點(diǎn)。它與控制系統(tǒng)的輸入信號(hào)相對(duì)應(yīng)。阱點(diǎn)只有輸入支路而無輸出支路的節(jié)點(diǎn)，也稱為輸出節(jié)點(diǎn)。它與控制系統(tǒng)的輸出信號(hào)相對(duì)應(yīng)?；旌瞎?jié)點(diǎn)既有輸入支路也

10、有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。通路沿支路箭頭所指方向穿過各相連支路的路徑。如果通路與任一節(jié)點(diǎn)相交的次數(shù)不多于一次，則稱為開通路；如果通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn)，而與任何其它節(jié)點(diǎn)相交的次數(shù)不多于一次，則稱為閉通路或回路。回路增益回路中各支路傳輸?shù)某朔e。不接觸回路如果回路間沒有任何共有節(jié)點(diǎn)，則稱它們?yōu)椴唤佑|回路。前向通路如果在從源點(diǎn)到阱點(diǎn)的通路上，通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次，則該通路稱為前向通路。信號(hào)流圖的基本性質(zhì)(1) 信號(hào)只能沿著支路上箭頭表示的方向傳遞。(2) 節(jié)點(diǎn)將所有輸入支路的信號(hào)疊加，并把疊加結(jié)果送給所有相連的輸出支路。(3) 具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點(diǎn)，通過增加一個(gè)具有單位傳輸?shù)木€路，可將其變?yōu)檩敵?/p>

11、節(jié)點(diǎn)。(4) 對(duì)于給定的系統(tǒng)，其信號(hào)流圖不唯一。信號(hào)流圖的繪制信號(hào)流圖可以根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程繪制，也可以由系統(tǒng)方框圖按照對(duì)應(yīng)關(guān)系得出。在表2-2中，給出了一些控制系統(tǒng)方框圖與信號(hào)流圖的對(duì)照表。表2-2 控制系統(tǒng)方框圖與信號(hào)流圖對(duì)照表方框圖信號(hào)流圖信號(hào)流圖的Mason公式應(yīng)用Mason公式，不需要簡化處理而通過對(duì)信號(hào)流圖的分析和觀察，便可直接得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。在信號(hào)流圖中計(jì)算輸入節(jié)點(diǎn)與輸出節(jié)點(diǎn)間傳遞函數(shù)的Mason公式為式中，n前向通路的條數(shù)；P總增益；Pk第k條前向通路的增益；信號(hào)流圖的特征式，即所有回路增益之和；每兩個(gè)不接觸回路增益乘積之和；每三個(gè)不接觸回路增益乘積之和；k在中除去與第k條

12、前向通路相接觸的回路后的特征式，稱為第k條前向通路特征式的余因子。2.6 控制系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)一個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)可用圖2-38表示。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)將前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積G1(s) G2(s) H(s)稱為該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。它等于B(s)與E(s)的比值，即系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)1. 給定信號(hào)R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令N(s)=0，這時(shí)圖2-38簡化為圖2-39，則給定信號(hào)R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)中只有R(s)信號(hào)作用時(shí)，系統(tǒng)的輸出C(s)完全取決于cr(s)及R(s)的形式。2. 擾動(dòng)信號(hào)N(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)為研究擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，需要

13、求出C(s)對(duì)N(s)之間的傳遞函數(shù)。這時(shí)，令R(s)=0，則圖2-38簡化為圖2-40。則擾動(dòng)信號(hào)N(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)。3. 系統(tǒng)的總輸出根據(jù)線性疊加原理，線性系統(tǒng)的總輸出等于各外作用引起的輸出的總和。系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)誤差為給定信號(hào)與反饋信號(hào)之差，即1. 給定信號(hào)R(s)作用下的誤差傳遞函數(shù)令N (s)=0，則給定信號(hào)R(s)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)2. 擾動(dòng)信號(hào)N(s)作用下的誤差傳遞函數(shù)令R (s)=0，則擾動(dòng)信號(hào)N(s)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。3. 系統(tǒng)的總誤差根據(jù)線性疊加原理，系統(tǒng)的總誤差為2.7 用Matlab處理系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型多項(xiàng)式求根在MATLAB中采用行向量表示多項(xiàng)

14、式，行向量內(nèi)的各元素是按降冪排列的多項(xiàng)式系數(shù)。多項(xiàng)式的系數(shù)行向量可以表示如下：P=a0, a1,an多項(xiàng)式求根在Matlab中可以用函數(shù)roots(P)實(shí)現(xiàn)。傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以描述為式中，ai與bi均為常數(shù)，且nm。這種系統(tǒng)在Matlab中可以表示如下：num=b0, b1,bmden=a0, a1,anG=tf num, den num為分子多項(xiàng)式，den為分母多項(xiàng)式，G為由num和den構(gòu)成的傳遞函數(shù)。零極點(diǎn)模型1. 零極點(diǎn)表示調(diào)用格式如下z,p,k=tf2zp(num,den)num,den=zp2tf(z,p,k)式中，z、p和k分別為零點(diǎn)列向量、極點(diǎn)列向量和增益；num和

15、den分別表示有理多項(xiàng)式的分子和分母的系數(shù)行向量。2. 零極點(diǎn)圖傳遞函數(shù)在復(fù)平面上的零極點(diǎn)圖，可用pzmap( )函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。調(diào)用格式為p z=pzmap(num,den)方框圖1. 串聯(lián)如圖2-44所示，G1(s)和G2(s)串聯(lián)，在MATLAB中可用串聯(lián)函數(shù)series( )求該開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。調(diào)用格式為num,den=series(num1,den1,num2,den2,num,den)式中，G1(s)= num1/den1，G2(s)=num2/den2，G (s)= num/den2. 并聯(lián)如圖2-45所示，G1(s)和G2(s) 并聯(lián)，在MATLAB中可用并聯(lián)函數(shù)parallel( )求該開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。調(diào)用格式為num,den=series(num1,den1,num2,den2,num,den)式中，G1(s)