等效法處理填補(bǔ)法類題目

1、等效法處理“填補(bǔ)法”類題目湖北省恩施高中 陳恩譜在萬有引力和靜電場一章，有一類題目，在物質(zhì)或電荷的幾何分布出現(xiàn)對(duì)稱的破缺后，若直接用微元法和平行四邊形定則求解，數(shù)學(xué)計(jì)算繁復(fù)。對(duì)這類題目，大多資料介紹的方法是填補(bǔ)法：若填補(bǔ)這些空缺后，使得原來不對(duì)稱的分布變成對(duì)稱的分布，從而根據(jù)對(duì)稱性，用現(xiàn)有的物理規(guī)律即可獲得待求的物理量。不過，“填補(bǔ)法”思路實(shí)際上打的是迂回戰(zhàn)術(shù)，需要先填回去再挖掉，這樣的反復(fù)對(duì)學(xué)生提出了較高的思維能力要求，致使其掌握效果不佳。筆者為克服“填補(bǔ)法”的這個(gè)缺陷，在總結(jié)了大量類似題目后，提出了一種更直接的方法等效法，這種方法從數(shù)學(xué)角度講和“填補(bǔ)法”是等價(jià)的，但是因?yàn)樗悸分苯?，?duì)學(xué)生思

2、維能力要求低，所以學(xué)生掌握起來就相對(duì)容易一些。特此介紹，并期與同行交流?！纠?】如圖所示，陰影區(qū)域是“質(zhì)量為M、半徑為R的球體”挖去一個(gè)小圓球后的剩余部分所挖去的小圓球的球心O和大球體球心間的距離是R/2求球體剩余部分對(duì)球體外離球心O距離為2R、質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P的引力F。【解析】填補(bǔ)法分析：先將挖去部分填補(bǔ)回去，則可得到填補(bǔ)后的球體對(duì)m的引力，這個(gè)實(shí)際上是如圖陰影部分和挖去部分對(duì)m的引力的矢量和，即；而挖去部分對(duì)m的引力為，聯(lián)立解得等效法分析：空腔部分可看做是質(zhì)量為和的均勻球體組成*，其中部分與陰影部分對(duì)m的引力，對(duì)m的斥力為，兩力的矢量和為?！纠?】如圖所示，A、B、C、D、E是半徑為r的圓

3、周上等間距的五個(gè)點(diǎn)，在這些點(diǎn)上各固定一個(gè)點(diǎn)電荷，除A點(diǎn)處的電荷量為q外，其余各點(diǎn)處的電荷量均為q，則圓心O處()A場強(qiáng)大小為，方向沿OA方向B場強(qiáng)大小為，方向沿AO方向C場強(qiáng)大小為，方向沿OA方向D場強(qiáng)大小為，方向沿AO方向【解析】填補(bǔ)法分析：先將A點(diǎn)處q換成q，這時(shí)由對(duì)稱性可知，O點(diǎn)處場強(qiáng)為零，這個(gè)零場強(qiáng)實(shí)際上是B、C、D、E四點(diǎn)的電荷的合場強(qiáng)E1與A點(diǎn)處q的場強(qiáng)E2的矢量和，由E1+E2=0可知，E1方向向上，大小為；然后將A點(diǎn)處q換回成q，則q在O點(diǎn)的場強(qiáng)方向向上，大小為，與E1的疊加，得到C答案。等效法分析：將A處的q看做是q和2q組成，A點(diǎn)處q與B、C、D、E四點(diǎn)的q在O點(diǎn)處場強(qiáng)為零

4、，這時(shí)，只需要考慮2q在O點(diǎn)處場強(qiáng)，直接選C?！究偨Y(jié)】“等效法”的思路就是將“導(dǎo)致不對(duì)稱的那個(gè)部分”視為“兩個(gè)相反部分”疊合在一起形成的，其中一部分與原來的其余部分組合形成對(duì)稱分布，從而達(dá)到簡化計(jì)算的目的?！纠?】如圖1所示，半徑為均勻帶電圓形平板，單位面積帶電量為，其軸線上任意一點(diǎn)（坐標(biāo)為）的電場強(qiáng)度可以由庫侖定律和電場強(qiáng)度的疊加原理求出：=2，方向沿軸?，F(xiàn)考慮單位面積帶電量為的無限大均勻帶電平板，從其中間挖去一半徑為的圓板，如圖2所示。則圓孔軸線上任意一點(diǎn)（坐標(biāo)為）的電場強(qiáng)度為A. 2B. 2C. 2D. 2【解析】等效法分析：將圖2中空白部分看做是電荷面密度分別為和的兩部分的組合，其中面

5、密度分別為的部分與灰色部分組合在一起后在Q點(diǎn)場強(qiáng)為=2（分析：，=1），而面密度分別為的部分在Q點(diǎn)場強(qiáng)為=2，與方向相反，則兩者的矢量和為2，本題選A?！纠?】如圖，P、Q為某地區(qū)水平地面上的兩點(diǎn)，在P點(diǎn)正下方一球形區(qū)域內(nèi)儲(chǔ)藏有石油。假定區(qū)域周圍巖石均勻分布，密度為；石油密度遠(yuǎn)小于，可將上述球形區(qū)域視為空腔。如果沒有這一空腔，則該地區(qū)重力加速度(正常值)沿豎直方向；當(dāng)存在空腔時(shí)，該地區(qū)重力加速度的大小和方向會(huì)與正常情況有微小偏離。重力加速度在原豎直方向(即PO方向)上的投影相對(duì)于正常值的偏離叫做“重力加速度反?！薄Ｒ阎Τ?shù)為G。設(shè)球形空腔體積為V，球心深度為d(遠(yuǎn)小于地球半徑)， =，求空腔所引起的Q點(diǎn)處的重力加速度反常?！窘馕觥康刃Хǚ治觯嚎涨徊糠挚煽醋鍪敲芏葹楹蛢刹糠值慕M合，其中密度為的部分與周圍巖石、整個(gè)地球形成所謂正常重力加速度。造成“重力加速度反?！本褪悄莻€(gè)密度為的部分，這個(gè)部分在Q處產(chǎn)生的“引力加速度”為=，方向沿OQ斜向上其中，.重力加速度反常是這一改變?cè)谪Q直方向上的投影聯(lián)立