第六章積分學(xué)SECTION2

1、§2 多重積分、曲線積分與曲面積分一、 多重積分1. 二重積分連續(xù)函數(shù)f(x,y)在有限可求積的平面區(qū)域內(nèi)的二重積分式中,是對中的所有的下標(biāo)i，j求和.特定區(qū)域內(nèi)二重積分的計(jì)算公式積分區(qū)域計(jì)算公式（積分限應(yīng)從小到大）設(shè)，則二重積分的變量替換(雅可比式) 若連續(xù)可微分的函數(shù)把平面Oxy上的有界閉區(qū)域單值映射到平面上的閉區(qū)域'，其雅可比式為則例 若則所以2. 三重積分直角坐標(biāo)下的三重積分 假設(shè)有界區(qū)域V由下列不等式axb,y, z確定，其中,都是連續(xù)函數(shù)，且函數(shù)f(x,y,z)在V上是連續(xù)的，則函數(shù)f(x,y,z)在有界區(qū)域V上的三重積分有時(shí)采用下面公式計(jì)算：式中是用平行于Oyz

2、的平面截區(qū)域V所得的截?cái)嗝?圖6.3).例設(shè)V表示在第一卦限中由曲面和坐標(biāo)平面所圍成的封閉區(qū)域，則當(dāng)一切常數(shù)都是正的時(shí)候，有這種類型的積分稱為狄利克萊積分，它在計(jì)算重積分時(shí)經(jīng)常用到.圓柱坐標(biāo)下的三重積分 (圖6.4)（一般地，02)式中V為直角坐標(biāo)中的有界區(qū)域，V'是區(qū)域V在圓柱坐標(biāo)系中的表達(dá)式.球面坐標(biāo)下的三重積分 (圖6.5)（一般地，02,0)式中V'是區(qū)域V在球面坐標(biāo)系中的表達(dá)式.三重積分的變量替換(雅可比式) 若連續(xù)可微函數(shù)把Oxyz空間的有界三維閉區(qū)域雙方單值地映射到O'uw空間的閉區(qū)域V'，并且當(dāng)（u,w)V'時(shí)其雅可比式則3. 多重積分直

3、接計(jì)算多重積分若函數(shù)f()在由下列不等式所確定的有界閉區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的：ab() () () ()式中a,b為常數(shù)，()， ()， ()， ()為連續(xù)函數(shù)，則對應(yīng)的多重積分可按下面公式計(jì)算：多重積分的變量替換（雅可比式） 若連續(xù)可微函數(shù)= (), i=1,2,n把O空間內(nèi)的有界閉區(qū)域雙方單值地映射成O'空間內(nèi)的有界閉區(qū)域',并且在閉區(qū)域'內(nèi)雅可比式則特別，根據(jù)公式變換成極坐標(biāo)(r,)時(shí)，有：二、 曲線積分對弧長的曲線積分 若函數(shù)f(x,y,z)在光滑曲線C:的各點(diǎn)上有定義并且連續(xù)（圖6.6）則式中ds為弧的微分，等.這個積分與曲線C的方向無關(guān).對坐標(biāo)的曲線積分若函數(shù)P=P

4、(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在光滑曲線C:的各點(diǎn)上連續(xù)，這曲線的正方向?yàn)閠增加的方向，則當(dāng)曲線C的正向變更時(shí)，積分的符號改變.全微分的情形若函數(shù)P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在區(qū)域V中的任一條光滑曲線C上連續(xù)，并且式中u=u(x,y,z)為區(qū)域V內(nèi)的單值可微函數(shù)，則式中()為積分曲線C的始點(diǎn)，()為積分曲線C的終點(diǎn).這說明在假定的條件下，積分值與曲線C的形狀無關(guān)，只與曲線的始點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)(圖6.7).在單連通區(qū)域V內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)P,Q,R能表成全微分的充分必要條件是：在區(qū)域V內(nèi)等式成立.這時(shí)函數(shù)u可按下面公式求得：式中

5、()為區(qū)域V內(nèi)的某一固定點(diǎn).格林公式1°曲線積分與二重積分的關(guān)系.設(shè)C為逐段光滑的簡單（無自交點(diǎn)）閉曲線，圍成單連通的有界區(qū)域S,這圍線的方向使區(qū)域S保持在左邊，若函數(shù)P(x,y),Q(x,y)及它們的一階偏導(dǎo)數(shù)在S+C上連續(xù)，則有格林公式：2°曲線積分與積分線路的關(guān)系.若函數(shù)P,Q,在區(qū)域S上連續(xù)，且則沿S內(nèi)的任一光滑閉曲線的積分為零，即因而由S中的A到B的積分與線路無關(guān)（圖6.8)，即三、 曲面積分對曲面面積的曲面積分1°若S為逐片光滑的雙側(cè)曲面*z=z(x,y) (x,y)式中為曲面S在Oxy坐標(biāo)面上的投影，z(x,y)為單值連續(xù)可微函數(shù)，函數(shù)f(x,y,z

6、)在曲面S的各點(diǎn)上有定義并連續(xù)，則此積分與曲面S的方向（法線的方向）無關(guān).2°若曲面S由連續(xù)可微函數(shù) (u,)給定，則式中* 曲面上某一點(diǎn)的法線方向的選定，唯一確定了曲面上所有其他點(diǎn)的法線方向，它們就是選定方向的法線在曲面上連續(xù)移動（不經(jīng)過曲面邊緣）的指向，所以也就決定了曲面的一側(cè).如果改變原來選定的法線方向，曲面上的所有其他點(diǎn)的法線方向都隨著改變，曲面就從一側(cè)移到另一側(cè).這種曲面稱為雙側(cè)曲面.對坐標(biāo)的曲面積分 若S為光滑的雙側(cè)曲面，為它的正面，即由法線方向n(cos, cos,cos)所確定的一側(cè)，P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)為在曲面S上有定義并

7、且連續(xù)的函數(shù)，則若曲面S由連續(xù)可微函數(shù) (u,)給定，則式中斯托克斯公式若C是包圍逐片光滑有界雙側(cè)曲面S的逐段光滑簡單閉曲線，P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)是在S+C上連續(xù)可微函數(shù)，則高斯公式若S為包含體積V的逐片光滑曲面P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)及其一階偏導(dǎo)數(shù)在V+S上連續(xù)，則有高斯公式：式中cos,cos,cos為曲面S的法線正方向的方向余弦.四、 重積分、曲線積分與曲面積分的近似計(jì)算二重積分的近似計(jì)算公式式中對于不同的積分區(qū)域選取不同的常數(shù)，是求積系數(shù)，R是余項(xiàng).為圓形C: Ac=n圖示R5(0,0)(±h

8、,0)(0,±h)4n圖示R7(0,0)(±h,0)9(0,0)(±h,0)(0,±h)7(0,0)(±h,0)(±h,±h)21(0,0)(k=1,2,10為正方形S: |x|h,|y|h,=4n圖示R9(0,0)(±h,±h)(±h,0)(0,±h)n圖示R49(0,0)為正三角形T: 外接圓半徑為h，n圖示R4(0,0)(h,0)7(0,0)7(0,0)為正六邊形H: 外接半徑為h，n圖示R7(0,0)(h,0)7(0,0)三重積分的近似計(jì)算公式式中對于不同的積分區(qū)域V選取不同的常數(shù)，是求積系數(shù)，R是余項(xiàng).V為球體S: .=n圖示R7(0,0,0)V為立方體C: |x|h,|y|h,|z|h.=8n圖示R621(0,0,0)中心到6個面的距離的6個中點(diǎn)6個面的中心8個頂點(diǎn)n圖示R426個面的中心1