類(lèi)比探究專(zhuān)題

1、類(lèi)比探究專(zhuān)題例1 如圖1，在等腰直角ABC和等腰直角CDE中，CDBC，點(diǎn)C，B，D在同一直線(xiàn)上，M是AE的中點(diǎn)，易證MDMB，MD=MB（1）如圖2，將圖1中的CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，使CDE的斜邊CE恰好與ABC的邊BC垂直，題干中的其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？（2）將圖2中的ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)大于0且小于45的角，如圖3所示，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論 例2 如圖1，在中，在邊上。為等邊三角形，連接，為中點(diǎn)，連。 請(qǐng)直接寫(xiě)出的關(guān)系，不必說(shuō)明理由；若將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其它條件不變，請(qǐng)作出相應(yīng)圖形，并直接給出結(jié)論，不必說(shuō)明理由。將圖中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（060），其它條件不變

2、，如圖2，試回答中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由。例3 （1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，在矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，將ABE沿AE折疊后得到AFE，點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部，延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G猜想線(xiàn)段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論（2）類(lèi)比探究：如圖2，將（1）中的矩形ABCD改為平行四邊形，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由 圖1 圖2例4 已知：如圖所示，直線(xiàn)與的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作一條直線(xiàn)與兩條直線(xiàn)分別相交于點(diǎn)（1）如圖1所示，當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直時(shí)，猜想線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，不用證明；（2）如圖2所示，當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)不垂直且交點(diǎn)都在的同側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論是

3、否成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)不垂直且交點(diǎn)在的異側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不成立，那么線(xiàn)段之間還存在某種數(shù)量關(guān)系嗎？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系圖1 圖2 備用圖 備用圖 例5 在ABC中，A90，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，EDBC，BEDE，垂足為E，DE與AB相交于點(diǎn)F（1）當(dāng)ABAC時(shí)（如圖1），EBF_；探究線(xiàn)段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）當(dāng)ABkAC時(shí)（如圖2），求的值（用含k的式子表示）圖1 圖2 例6 如圖1，在ABC中，ACB=90，CDAB，垂足為D，點(diǎn)E在AC上，BE交CD于點(diǎn)G，EFBE

4、交AB于點(diǎn)F，AC=mBC，CE=nEA（m，n為實(shí)數(shù)）.試探究線(xiàn)段EF與EG的數(shù)量關(guān)系（1）如圖2，當(dāng)m=1，n=1時(shí)，求EF與EG的數(shù)量關(guān)系（2）如圖3，當(dāng)m=1，n為任意實(shí)數(shù)時(shí)，求EF與EG的數(shù)量關(guān)系（3）如圖1，當(dāng)m，n均為任意實(shí)數(shù)時(shí)，求EF與EG的數(shù)量關(guān)系 例7 在等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，直線(xiàn)MN過(guò)點(diǎn)A且MNBC以點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作RtBDE，BDE=90，且點(diǎn)D在直線(xiàn)MN上（不與點(diǎn)A重合）如圖1，DE與AC交于點(diǎn)P，易證：BD=DP（1）在圖2中，DE與CA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，則BD=DP是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由（2）在圖3中，

5、DE與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，BD與DP是否相等？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論，無(wú)需證明例8 如圖1，在RtABC中，BAC=90，ADBC于點(diǎn)D，點(diǎn)O是AC邊上一點(diǎn)，連接BO，交AD于點(diǎn)F，OEOB交BC于點(diǎn)E（1）求證：；（2）如圖2，當(dāng)為邊中點(diǎn)，時(shí)，求的值；（3）如圖3，當(dāng)為邊中點(diǎn)，時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值例9 如圖1，已知MAN=120，AC平分MAN，ABC=ADC=90，可以證明：DC=BC；AC = AB+AD（1）如圖2，把題干中的條件“ABC=ADC=90”改為ABC+ADC=180，其他條件不變，證明結(jié)論和結(jié)論仍然成立（2）如圖3，如果D在AM的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，把題干中的條件“ABC=ADC=

6、90”改為ABC=ADC，其他條件不變，結(jié)論和是否仍然成立？成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由例10 如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上，連接AD，作ADN=60，直線(xiàn)DN交射線(xiàn)AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CFAB交直線(xiàn)DN于點(diǎn)F（1）當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，NDB為銳角時(shí)，如圖1，求證：CF+BE=CD（提示：過(guò)點(diǎn)F作FMBC交射線(xiàn)AB于點(diǎn)M）（2）當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，NDB為銳角時(shí)，如圖2；當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，NDB為鈍角時(shí)，如圖3，請(qǐng)分別寫(xiě)出線(xiàn)段CF，BE，CD之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明（3）在（2）的條件下，若ADC=30，則BE=_，CD=_例11已知，ABC為等邊三角形

7、，點(diǎn)D為直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合）以AD為邊作菱形ADEF，使DAF=60，連接CF（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：ADB=AFC；請(qǐng)直接判斷結(jié)論AFC=ACBDAC是否成立；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，其他條件不變，結(jié)論AFC=ACBDAC是否成立？請(qǐng)寫(xiě)出AFC、ACB、DAC之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，且點(diǎn)A、F分別在直線(xiàn)BC的異側(cè)，其他條件不變，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出AFC、ACB、DAC之間存在的等量關(guān)系 圖1 圖2 圖3例12（1）閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，ABC中，若

8、AB=5，AC=3，求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使得DE=AD，再連接BE（或?qū)CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180得到EBD），把AB、AC 、2AD集中在ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2AE8，則1AD4感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線(xiàn)”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中（2）問(wèn)題解決：受到（1）的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下面命題：如圖2，在ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DEDF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF求證：BE+CFEF；若A=90，探索線(xiàn)段BE

9、、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明（3）問(wèn)題拓展：如圖3，在四邊形ABDC中，B+C=180，DB=DC，BDC=120，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線(xiàn)段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明 圖1 圖2 圖3例13 如果一條直線(xiàn)把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線(xiàn)稱(chēng)為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線(xiàn)例如，平行四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)就是平行四邊形的一條面積等分線(xiàn)（1）三角形的中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn)分別所在的直線(xiàn)一定是三角形的面積等分線(xiàn)的有_；（2）如圖1，梯形ABCD中，ABDC，如果延長(zhǎng)DC到E，使CEAB，連接AE，那

10、么有S梯形ABCDSADE請(qǐng)你給出這個(gè)結(jié)論成立的理由，并過(guò)點(diǎn)A作出梯形ABCD的面積等分線(xiàn)（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（3）如圖2，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，SADCSABC，過(guò)點(diǎn)A能否作出四邊形ABCD的面積等分線(xiàn)？若能，請(qǐng)畫(huà)出面積等分線(xiàn)，并給出證明；若不能，說(shuō)明理由 圖1 圖2閱讀下列材料： 問(wèn)題：如圖1，在四邊形ABCD中，M是BC邊的中點(diǎn)，且，試判斷ABCD與AD之間的大小關(guān)系。小雪同學(xué)的思路是：作B點(diǎn)關(guān)于AM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接AE、ME、DE，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過(guò)推理使問(wèn)題得到解決。 請(qǐng)你參考小雪同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：寫(xiě)出上面問(wèn)題中ABCD與AD之間的大小關(guān)系； 如

11、圖2，若將的度數(shù)改為120，原問(wèn)題中的其他條件不變，證明：； 如圖3，若，求AD的最大值。解決類(lèi)比探究問(wèn)題的處理思路1. 若屬于類(lèi)比探究常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)類(lèi)型，調(diào)用結(jié)構(gòu)類(lèi)比解決類(lèi)比探究常見(jiàn)結(jié)構(gòu)： 中點(diǎn)結(jié)構(gòu) ?？紤]平行夾中點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu) 特征：等線(xiàn)段共點(diǎn) 平行結(jié)構(gòu) 作平行，造相似 直角結(jié)構(gòu) “斜直角放正”2. 若不屬于常見(jiàn)結(jié)構(gòu)類(lèi)型： 根據(jù)題干條件，結(jié)合分支條件先解決第一問(wèn) 類(lèi)比解決下一問(wèn)如果不能，分析條件變化，尋找不變特征 結(jié)合所求目標(biāo)，依據(jù)不變特征，大膽猜測(cè)、嘗試、驗(yàn)證借助上面填寫(xiě)的內(nèi)容，做下面的小題 【試題1】如圖1，在等腰直角ABC和等腰直角CDE中，CDBC，點(diǎn)C，B，D在同一直線(xiàn)上，M是AE的中

12、點(diǎn)，易證MDMB，MD=MB（1）如圖2，將圖1中的CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，使CDE的斜邊CE恰好與ABC的邊BC垂直，題干中的其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？（2）將圖2中的ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)大于0且小于45的角，如圖3所示，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論首先需要證明圖1中的結(jié)論由M是AE的中點(diǎn)，ABDE，發(fā)現(xiàn)有 平行夾中點(diǎn) 結(jié)構(gòu)，延長(zhǎng)BM，交DE于點(diǎn)N，可以得到ABMENM，進(jìn)而得到BM=MN，AB=BC=EN，DN=DB，DBN是等腰直角三角形，MDMB，MD=MB（1）圖1和圖2中沒(méi)有發(fā)生變化的是 M是AE的中點(diǎn)，ABDE， 分析ABCE，補(bǔ)全“平行夾中點(diǎn)”的結(jié)構(gòu)，照搬圖1中的證明思

13、路延長(zhǎng)BM，交CE于點(diǎn)N，連接BD，DN，能夠得到 ABMENM ，進(jìn)而得到BM=MN；進(jìn)一步證明BCDNED，可以得到DBN是等腰直角三角形，得到結(jié)論MDMB，MD=MB（2）圖2和圖3兩個(gè)等腰直角三角形沒(méi)有變化，M是AE的中點(diǎn)也沒(méi)有發(fā)生變化，所以可以照搬（1）中的證明思路第一步構(gòu)造“平行夾中點(diǎn)”的輔助線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線(xiàn)，交BM的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，連接BD，DN；第二步證明 ABMENM ；第三步證明 DBN是等腰直角三角形 ，過(guò)程中需要證明BCD=NED，請(qǐng)?jiān)趫D中給出簡(jiǎn)要證明；第四步根據(jù)DBN是等腰直角三角形，得到結(jié)論MDMB，MD=MB【試題2】如圖1，已知MAN=120，AC平分MA

14、N，ABC=ADC=90，可以證明DC=BC；AC = AB+AD（1）如圖2，把題干中的條件“ABC=ADC=90”改為ABC+ADC=180，其他條件不變，證明結(jié)論和結(jié)論仍然成立（2）如圖3，如果D在AM的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，把題干中的條件“ABC=ADC=90”改為ABC=ADC，其他條件不變，結(jié)論和是否仍然成立？成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由1. 弄清題干中結(jié)論是如何證明的，主要利用的特征為角平分線(xiàn)，以及含有30角的直角三角形角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到DC=BC結(jié)論成立，利用含30角的直角三角形中 證明結(jié)論成立2. 第二問(wèn)與第一問(wèn)相比，垂直、直角三角形特征已經(jīng)變化，但_MAN=120，AC平分MA

15、N沒(méi)有發(fā)生變化，屬于不變特征，考慮角平分線(xiàn)的性質(zhì)，構(gòu)造與圖1一致的三角形，添加輔助線(xiàn)_證明的路線(xiàn)圖為第一步：輔助線(xiàn)第二步：由題干可知AC和AE，AF的關(guān)系是_第三步：CED_（條件是_），得到ED=FB，CD=CB第四步：AC=AE+AF=FB+AD+AF=AD+AB，結(jié)論均成立3. 不變特征_，沒(méi)有發(fā)生變化，照搬上一問(wèn)的證明思路第一步：輔助線(xiàn)，_第二步：由題干可知AC=AE+AF第三步：_第四步：結(jié)論成立，結(jié)論變?yōu)開(kāi)【試題11】在等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，直線(xiàn)MN過(guò)點(diǎn)A且MNBC以點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作RtBDE，BDE=90，且點(diǎn)D在直線(xiàn)MN上（不與點(diǎn)A重合）如圖1，DE與AC交于點(diǎn)P，易證：BD=DP（1）在圖2中，DE與CA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，則BD=DP是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由（2）在圖3中，DE與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，BD與DP是否相等？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論，無(wú)需證明 方法一：首先梳理易證的思路，“斜直角放正”，過(guò)點(diǎn)D作DFMN交線(xiàn)段AB于點(diǎn)F；發(fā)現(xiàn)等線(xiàn)段共點(diǎn)，考慮“旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)”，可得DFBDAP，所以BD=DP；梳理路線(xiàn)圖： 過(guò)D作DFMN交線(xiàn)段AB于點(diǎn)F DFBDAP(ASA)