第1章 計算方法誤差

1、TEXTBOOKTopics誤差插值與擬合數(shù)值積分解線性方程組的直接法解線性方程組的迭代法非線性方程的數(shù)值解法常微分方程初值問題的數(shù)值解法IMPORTANT!Grading PolicyTotal: 100Attendance: 10Homework: 20Final exam: 70計算方法在科學(xué)計算中的地位：計算方法在科學(xué)計算中的地位：實際問題實際問題建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型計算方法計算方法編寫程序編寫程序上機計算結(jié)果上機計算結(jié)果分析結(jié)果分析結(jié)果 顯然，計算方法處于顯然，計算方法處于承上啟下承上啟下的位置，的位置， 在整個計算中是重要的不可缺少的一環(huán)在整個計算中是重要的不可缺少的一環(huán)。第第

2、1章章 誤誤 差差1.1 誤差的來源與分類誤差的來源與分類1.2 絕對誤差與相對誤差絕對誤差與相對誤差1.3 有效數(shù)字與誤差的關(guān)系有效數(shù)字與誤差的關(guān)系1.4*浮點數(shù)及其運算浮點數(shù)及其運算1.5 誤差危害的防止誤差危害的防止 1.1 誤差的來源與分類誤差的來源與分類 定義定義：近似值與精確值之差稱為誤差誤差，誤差的來源或分類有4種。 (1) 模型誤差模型誤差 從實際問題提煉出數(shù)學(xué)問題時往往忽略了許多次要因素，因而即使數(shù)學(xué)問題能求出準確解，也與實際問題的真正解不同。它們之差稱為模模型誤差型誤差。 (2) 觀測誤差觀測誤差 一般數(shù)學(xué)問題包含若干變量，它們的值需要通過觀測得到，難免有誤差。這種誤差稱為

3、觀測觀測誤差誤差/數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)誤差誤差/參量誤差參量誤差。 (3) 截斷誤差截斷誤差 一般數(shù)學(xué)問題難以準確求解，往往要通過近似替代，簡化為較易求解的問題后再求解。這樣引起的誤差稱為截斷誤差截斷誤差或方法誤差方法誤差。 (4) 計算誤差計算誤差 計算機只能對有限位的數(shù)進行運算，一般數(shù)必須進行舍入，此時產(chǎn)生的誤差稱為計算誤差計算誤差或舍入誤差舍入誤差。 總之，計算結(jié)果的誤差是上述四種誤差累積影響的誤差。本課程不討論數(shù)學(xué)模型的建立，所以只研究截斷誤差截斷誤差和舍入誤差舍入誤差對計算結(jié)果的影響。1.2 絕對誤差與相對誤差絕對誤差與相對誤差 一個近似值的精確度：通常用一個近似值的精確度：通常用絕對誤差、相對

4、誤絕對誤差、相對誤差或有效數(shù)字差或有效數(shù)字來說明。來說明。*xxx 2.7180.0002818xe 1.2.1 絕對誤差與絕對誤差限絕對誤差與絕對誤差限 設(shè)x*為精確值，x為x*的近似值，稱為近似值x的絕對誤差絕對誤差，簡稱誤差誤差。例：例：e取2.718，其絕對誤差為 x 的大小顯示出近似值x的準確程度， 越小， x的準確度越高。x 可正可負，絕對誤差不是誤差的絕對值絕對誤差不是誤差的絕對值。 實際中無法得到準確值x*，從而不能得到絕對誤差 的準確值。給出一個正數(shù) ，使得： 成立 叫做近似值x的絕對誤差絕對誤差限限，簡稱誤差限，或稱“精度”。 有了誤差限，準確值x*的范圍： 此范圍也可表示

5、成： xx|*xxx*xxx*xx（1-2）（1-3）（1-4） 1.2.2 相對誤差與相對誤差限相對誤差與相對誤差限 定義：設(shè)x*為準確值，x是x*的一個近似值， 則稱 為近似值x的相對誤差。 注意注意：(1) ex小，精度高；(2) 相對誤差比絕對誤差更能反映誤差的特征，在誤差分析中相對誤差比絕對誤差更為重要。 由于 與x*都不能準確求得，相對誤差也不能準確求得。因此，給定一個正數(shù) ，使得*xxxxexxx*|*xxxex（1-5）*xxxxexx*|xxxex 為x的相對誤差限。實際中，準確值x*無法得到，因此：稱ex為x的相對誤差，同樣： 為近似值x的相對誤差限。絕對誤差絕對誤差和絕對

6、誤差限絕對誤差限是有量綱的量。相對誤差相對誤差和相對誤差限相對誤差限是無量綱量，常用百分數(shù)表示。（1-6）（1-7） 例例1：設(shè)a=-2.18和b=2.1200分別有準確值x和y經(jīng)過四舍五入得到的近似值，問 ， ， ， 各是多少？ 解解：凡是由準確值經(jīng)過四舍五入四舍五入得到的近似值，其絕對誤差限等于近似值末位的半個單位絕對誤差限等于近似值末位的半個單位，因此：ab( )xe a( )xe b*0.005aaa *0.00005bbb 0.005( )0.232.18xe a 0.00005( )0.00242.1200 xe b 1.3 有效數(shù)字與誤差的關(guān)系有效數(shù)字與誤差的關(guān)系1.3.1 有效

7、數(shù)字有效數(shù)字當(dāng)精確值x*有很多位數(shù)時，常按四舍五入的原則取其前幾位數(shù)字作為其近似值。 例：例： 若按四舍五入原則分別取4位和5位小數(shù)，則得： ， 絕對誤差限不超過末位數(shù)的半個單位，即： 3.1415926.3.14163.14159413.1416102513.14159102若近似值x的誤差限是其某一位上的半個單位時，稱其“精確”到這一位，且從該位起直到左起第一位非零數(shù)字都稱為有效數(shù)字有效數(shù)字。定義定義： x為x*的近似數(shù)，將x寫成： 是 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一個數(shù)，且： ，n為正整數(shù)，m是整數(shù)，且x的絕對誤差限滿足不等式：則稱近似數(shù)x具有n位有效數(shù)字。例例2：e的近似

8、數(shù)2.718按照(1-8)，寫成：123123(10101010) 10nmnxxxxx 123,nx xxx10 x 1*102m nxx123412.718(2 107 101 108 10 ) 10 3112.718101022m ne（1-9）（1-8）例例3：用3.14與3.1416分別近似 絕對誤差限分別是絕對誤差限分別是：雖然m相同，但3.1416的絕對誤差限小。3.1416比3.14的有效數(shù)字位數(shù)多，近似 的精度要高。12313.14(3 101 104 10 ) 10 1234613.1416(3 101 104 101 106 10 ) 10 1 32113.1410102

9、21 54113.1416101022m1，n5m1，n31.3.2 有效數(shù)字與絕對誤差和相對誤差的關(guān)系有效數(shù)字與絕對誤差和相對誤差的關(guān)系 對于準確值x*的一個近似值x而言，有效數(shù)字越多，它的絕對誤差和相對誤差就越小，而且知道了有效數(shù)字的位數(shù)，由（1-9）就可以寫出近似值x的絕對誤差限。定理定理1-1 若用（1-8）式表示的近似值x具有n位有效數(shù)字，則其相對誤差限為 ，即 111102nx 111102nxex （1-10）定理定理1-2 若近似值x的相對誤差限為 則x至少具有n位有效數(shù)字。例例4 用3.1416來表示的 近似值時，它的相對誤 差是多少？解：3.1416具有5位有效數(shù)字，x13

10、，由（1-10） 得出它的相對誤差為：111102(1)nxex （1-11）5 141110102 36xe 例例5 使得 的近似數(shù)的相對誤差不超過0.1， 至少要取多少位有效數(shù)字？20( )yf x函數(shù) ， 自變量x* 被近似值x代替，那么 被 代替， , xa b*()f x( )f x|( )|fx稱為絕對誤差條件數(shù)絕對誤差條件數(shù)。 如果條件數(shù)小，稱 為好條件的。反之，稱 為壞條件的。( )f x( )f x)()()()*()(*)()(xfxexfxfxxxfxfxfxfexxxexfxfxfe*)( )(*)()(Taylor 展開2)*)( ! 21)*)( )()*(xxfx

11、xxfxfxxxf)()( 21)()( )(2xefxexfxfe)()( )(xexfxfe*( ()( )()( ()( )( )re f xf xf xef xf xf x函數(shù)的相對誤差函數(shù)的相對誤差*( )()( )f xf xxxxxxxf x( )( )( )( )( )( )xxxx fxfxexexf xf x( )( )x fxf x稱為相對誤差條件數(shù)相對誤差條件數(shù)。例例：x 的相對誤差限為 ，求 sin(x) 的相對誤差限*( )|( ()|( )( )rxx fxef xe xf x( )( )( )xx cos xexsin x( )xctg x1.4 浮點數(shù)及其運算

12、浮點數(shù)及其運算 1.4.1 數(shù)的浮點表示數(shù)的浮點表示 在計算機中，一般實數(shù)x均按照舍入原則表示成： 稱為b進制浮點數(shù)。正整數(shù)b稱為基數(shù)，一般取為2；但為照顧習(xí)慣和書寫方便，通常將二進制數(shù)化為10進制數(shù)輸入或輸出。整數(shù)p稱為階碼或指數(shù)， 稱為定位部定位部，q 稱為尾部數(shù)尾部數(shù)。 浮點數(shù)分為階碼和尾數(shù)兩部分，并且均有各自的符號位。計算機字長有限，因此浮點數(shù)的階碼和尾數(shù)都是有限數(shù)。(01)pxq bq pb例例 456.604，5.516，0.000888表示成四位十進 制浮點數(shù)形式： 0.4566，-0.5516，0.0888為尾數(shù)部； 表示定位部，3、2、1表示階碼。 顯然，這種表示形式使得一個

13、數(shù)的數(shù)量級一目顯然，這種表示形式使得一個數(shù)的數(shù)量級一目了然；浮點數(shù)表示的數(shù)取值范圍大，運算的計了然；浮點數(shù)表示的數(shù)取值范圍大，運算的計算精度高。算精度高。30.4566 1010.5516 1020.0888 1031210 ,10 ,10 如果尾數(shù)q的小數(shù)點后的第一位數(shù)字不為零，則該數(shù)叫規(guī)格化形式的數(shù)；如果尾數(shù)q的小數(shù)點后的第一位數(shù)字為零，則該數(shù)叫非規(guī)格化形式的數(shù)。 規(guī)格化：把一個非規(guī)格化的數(shù)變?yōu)橐?guī)格化形式的數(shù)的過程叫做數(shù)的規(guī)格化。 非規(guī)格化形式的數(shù)： 通過變階變成規(guī)格化形式：1.4.2 浮點數(shù)的運算浮點數(shù)的運算 設(shè)有兩個規(guī)格化浮點數(shù)：20.0888 1030.8880 1010AEAAM1

14、0BEBBM(1) 加（減）法運算(2) 乘法運算(3) 除法運算(10) 10BAAEEEABABMM() 10ABEEABA BMM/() 10ABEEABA BMM1.5 誤差危害的防止誤差危害的防止 1. 選擇穩(wěn)定的數(shù)值計算公式選擇穩(wěn)定的數(shù)值計算公式 例例6 計算積分 解：解：利用分部積分得 得到遞推公式： 而 ，利用這個遞推公式進行計算,結(jié)果為 E1=0.367879, E2=0.264242, , E9=-0.068480110,1,2,9nxnEx edxn11111110100|1nxnxnxnnEx edxx enxedxnE 11,2,3,9nnEnEn 11Ee（1-13

15、）為何出現(xiàn)負值？因為遞推公式（1-13）是不穩(wěn)定公式。初始誤差 在運算中傳播很快，E1取六位有效數(shù)字，其舍入誤差所以，計算到E9，誤差為：E9取三位有效數(shù)字的精確值為0.0916。顯然，誤差傳播淹沒了問題的解。74.412 102111 2()1 22!EEE 311 3(12)3!EE 411 41 3(1 2)4!EE 79! 4.412 100.1601如果將遞推公式（1-13）改寫成： 因為，當(dāng) 時， 。取E20=0 作為初始出發(fā)值進行計算：E20=0.0, E19=0.0500000, E18=0.0500000, E10=0.0838771, E9=0.0916123用（1-14）

16、計算，初始誤差的影響在逐步減小，最后得到精度較高的結(jié)果。實際應(yīng)用中，應(yīng)選用數(shù)值穩(wěn)定的公式，盡量避免使用數(shù)值不穩(wěn)定的公式。 11nnEEnn 0nE （1-14） 2. 避免兩個相近的數(shù)相減避免兩個相近的數(shù)相減 例例7 當(dāng)x1000時，計算 的值 解：x1000，計算中取4位有效數(shù)字該結(jié)果只有1位有效數(shù)字，嚴重影響計算結(jié)果的精度。 把公式變形為：1xx 11001100031.6431.620.02xx 110.015811xxxx 3. 絕對值太小的數(shù)不宜作除數(shù)絕對值太小的數(shù)不宜作除數(shù)在機器上，用很小的數(shù)作除數(shù)會溢出；而且很小數(shù)稍有一點誤差，對計算結(jié)果影響很大。例例 如果分母變?yōu)?.0011，

17、 結(jié)果發(fā)生了巨大變化結(jié)果發(fā)生了巨大變化!2.71822781.20.0012.71822471.10.00114. 防止大數(shù)防止大數(shù)“吃掉吃掉 ”小數(shù)的運算小數(shù)的運算例例：計算0.499410000.00060000.4090， 結(jié)果保留4位有效數(shù)字。計算方案1：0.499410001000 10000.0006000 1000 10000.40901000計算方案2：先把小的數(shù)相加，再加上大數(shù)。 0.49940.00060000.4090 10000.50000.40901000 0.9090100010015. 簡化計算公式，減少運算次數(shù)簡化計算公式，減少運算次數(shù)例例：要算多項式的值若改用下式 只需4次乘法和4次加法，而按前式需10次乘法和4次加法！ 4320.06250.42501.2151.1922.129xxxx(0.06250.4250)1.215)1.192)2.129xxxx計算多項式： 如果