第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、第第2 2章章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 n自動(dòng)控制系統(tǒng)的組成可以是電氣的，機(jī)械的，液壓的，氣動(dòng)的等等，然而描述這些系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型卻可以是相同的。因此，通過(guò)數(shù)學(xué)模型來(lái)研究自動(dòng)控制系統(tǒng)，就擺脫了各種類(lèi)型系統(tǒng)的外部關(guān)系而抓住這些系統(tǒng)的共同運(yùn)動(dòng)規(guī)律，控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是通過(guò)物理學(xué)，化學(xué)，生物學(xué)等定律來(lái)描述的，如機(jī)械系統(tǒng)的牛頓定律，電氣系統(tǒng)的克?；舴蚨傻榷际怯脕?lái)描述系統(tǒng)模型的基本定律。n如果描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性的微分方程，則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，若方程中的系數(shù)是常數(shù)，則稱(chēng)其為線性定常系統(tǒng)。數(shù)學(xué)模型可以是標(biāo)量方程和向量的狀態(tài)方程?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學(xué)模型的概念控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的概念1. 1. 定義

2、：定義：根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的物理、化學(xué)等規(guī)律，根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的物理、化學(xué)等規(guī)律，所寫(xiě)出的描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律、特性和輸出與輸入關(guān)系所寫(xiě)出的描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律、特性和輸出與輸入關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式的數(shù)學(xué)表達(dá)式（描述系統(tǒng)輸入、輸出以及內(nèi)部各變量（描述系統(tǒng)輸入、輸出以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式）。2. 2. 建立數(shù)學(xué)模型的方法：建立數(shù)學(xué)模型的方法：系統(tǒng)建模有兩大類(lèi)方法系統(tǒng)建模有兩大類(lèi)方法: :一類(lèi)是機(jī)理分析建模方法，稱(chēng)為解析法，一類(lèi)是機(jī)理分析建模方法，稱(chēng)為解析法，另一類(lèi)是實(shí)驗(yàn)建模方法，通常稱(chēng)為系統(tǒng)辨識(shí)。另一類(lèi)是實(shí)驗(yàn)建模方法，通常稱(chēng)為系統(tǒng)辨識(shí)。 n解析法（機(jī)理分析法）解析法（機(jī)理分析法

3、）根據(jù)系統(tǒng)工作所依據(jù)的物理定律列寫(xiě)運(yùn)動(dòng)方根據(jù)系統(tǒng)工作所依據(jù)的物理定律列寫(xiě)運(yùn)動(dòng)方程。程。n實(shí)驗(yàn)法（系統(tǒng)辨識(shí)法）實(shí)驗(yàn)法（系統(tǒng)辨識(shí)法）給系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄輸出響應(yīng)，給系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近系統(tǒng)的輸入輸出并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近系統(tǒng)的輸入輸出特性。特性。 3. 3. 數(shù)學(xué)模型的類(lèi)型數(shù)學(xué)模型的類(lèi)型 1)1)靜態(tài)模型與動(dòng)態(tài)模型靜態(tài)模型與動(dòng)態(tài)模型 描述系統(tǒng)靜態(tài)（工作狀態(tài)不變或慢變過(guò)程）特性描述系統(tǒng)靜態(tài)（工作狀態(tài)不變或慢變過(guò)程）特性的模型，稱(chēng)為靜態(tài)數(shù)學(xué)模型。的模型，稱(chēng)為靜態(tài)數(shù)學(xué)模型。 靜態(tài)數(shù)學(xué)模型一般是以靜態(tài)數(shù)學(xué)模型一般是以代數(shù)方程代數(shù)方程表示的。表示的。 描述系

4、統(tǒng)動(dòng)態(tài)或瞬態(tài)特性的模型，稱(chēng)為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)或瞬態(tài)特性的模型，稱(chēng)為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型模型。 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型中的變量依賴(lài)于時(shí)間，一般是動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型中的變量依賴(lài)于時(shí)間，一般是微分微分方程方程等形式。等形式。 2) 2) 連續(xù)時(shí)間模型與離散時(shí)間模型連續(xù)時(shí)間模型與離散時(shí)間模型 連續(xù)數(shù)學(xué)模型連續(xù)數(shù)學(xué)模型有微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間表有微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間表 達(dá)式等。達(dá)式等。 離散數(shù)學(xué)模型離散數(shù)學(xué)模型有差分方程、有差分方程、Z Z傳遞函數(shù)、離散狀態(tài)傳遞函數(shù)、離散狀態(tài) 空間表達(dá)式等?？臻g表達(dá)式等。 3) 3) 參數(shù)模型與非參數(shù)模型參數(shù)模型與非參數(shù)模型 從描述方式上看，數(shù)學(xué)模型分為從描述方式上看，數(shù)學(xué)模

5、型分為參數(shù)模型參數(shù)模型和和非參非參數(shù)模型數(shù)模型兩大類(lèi)。兩大類(lèi)。 參數(shù)模型是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示的數(shù)學(xué)模型，如傳參數(shù)模型是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示的數(shù)學(xué)模型，如傳遞函數(shù)、差分方程、狀態(tài)方程等。遞函數(shù)、差分方程、狀態(tài)方程等。 非參數(shù)模型是直接或間接從物理系統(tǒng)的試驗(yàn)分析非參數(shù)模型是直接或間接從物理系統(tǒng)的試驗(yàn)分析中得到的響應(yīng)曲線表示的數(shù)學(xué)模型，如脈沖響應(yīng)、中得到的響應(yīng)曲線表示的數(shù)學(xué)模型，如脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)、頻率特性曲線等。階躍響應(yīng)、頻率特性曲線等。 時(shí)域中常用的數(shù)學(xué)模型有時(shí)域中常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、差分方程微分方程、差分方程和和狀態(tài)方程；狀態(tài)方程；復(fù)域中有復(fù)域中有傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)和和結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖；頻域中；頻

6、域中有有頻率特性頻率特性。 數(shù)學(xué)模型雖然有不同的表示形式，但它們之間可數(shù)學(xué)模型雖然有不同的表示形式，但它們之間可以互相轉(zhuǎn)換，可以由一種形式的模型轉(zhuǎn)換為另一種形以互相轉(zhuǎn)換，可以由一種形式的模型轉(zhuǎn)換為另一種形式的模型。式的模型。 本章中只研究本章中只研究微分方程、傳遞函數(shù)微分方程、傳遞函數(shù)和和結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖等數(shù)等數(shù)學(xué)模型的建立及應(yīng)用。學(xué)模型的建立及應(yīng)用。 2-1 2-1 傅里葉變換與拉普拉斯變換傅里葉變換與拉普拉斯變換2.2.12.2.1線性部件、線性系統(tǒng)微分方程的建立線性部件、線性系統(tǒng)微分方程的建立2-2 2-2 控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型用解析法列寫(xiě)微分方程的一般步驟：用解析法

7、列寫(xiě)微分方程的一般步驟：（1 1）根據(jù)系統(tǒng)的具體工作情況，確定系統(tǒng)或元部件的根據(jù)系統(tǒng)的具體工作情況，確定系統(tǒng)或元部件的輸入、輸出變量；輸入、輸出變量；（2 2）從輸入端開(kāi)始，按照信號(hào)的傳遞順序，依據(jù)各變從輸入端開(kāi)始，按照信號(hào)的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循的定律，列寫(xiě)出各部件的動(dòng)態(tài)方程，一般為微量所遵循的定律，列寫(xiě)出各部件的動(dòng)態(tài)方程，一般為微分方程組；分方程組；（3 3）消去中間變量，寫(xiě)出輸入、輸出變量的微分方程；消去中間變量，寫(xiě)出輸入、輸出變量的微分方程；（4 4）將微分方程標(biāo)準(zhǔn)化，即將與輸入有關(guān)的各項(xiàng)方在將微分方程標(biāo)準(zhǔn)化，即將與輸入有關(guān)的各項(xiàng)方在等號(hào)右側(cè)，與輸出有關(guān)的各項(xiàng)放在等號(hào)左側(cè)，并按降冪

8、等號(hào)右側(cè)，與輸出有關(guān)的各項(xiàng)放在等號(hào)左側(cè)，并按降冪排列。排列。例例2.1 R-L-C2.1 R-L-C無(wú)源網(wǎng)絡(luò)如圖所無(wú)源網(wǎng)絡(luò)如圖所示，寫(xiě)出輸入電壓示，寫(xiě)出輸入電壓u ur r輸出電壓輸出電壓u uc c之間的微分方程。之間的微分方程。解：根據(jù)克?；舴蚨煽梢詫?xiě)出解：根據(jù)克?；舴蚨煽梢詫?xiě)出 電容上的電壓電容上的電壓dttductic)()( 回路中電流回路中電流dttictuc)(1)()()()()(tudttdiLtRitucr（2-12-1）代入式代入式2-12-1得得)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc（2-22-2）令令RCTLCT2 ,2將式（將式（2-2

9、2-2）整理成標(biāo)準(zhǔn)形式為）整理成標(biāo)準(zhǔn)形式為)()()(2)(222tutudttduTdttudTrccc若令若令Tn1整理成另一種標(biāo)準(zhǔn)形式為整理成另一種標(biāo)準(zhǔn)形式為)()()(2)(2222tutudttdudttudrccncnnkF(t)mfy(t)圖圖2.22.2解：若彈簧恢復(fù)力解：若彈簧恢復(fù)力F F2 2(t)(t)和阻尼器阻力和阻尼器阻力F F1 1(t)(t)與外力與外力F(t)F(t)不能不能平衡，則質(zhì)量塊將產(chǎn)生加速運(yùn)動(dòng)，其速度和位移發(fā)生變平衡，則質(zhì)量塊將產(chǎn)生加速運(yùn)動(dòng)，其速度和位移發(fā)生變化。根據(jù)牛頓定理有化。根據(jù)牛頓定理有: :2221)()()()(dttydmtFtFtF)(

10、)()()(21tkytFdttdyftF式中式中 f f 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù), k , k 彈性系數(shù)彈性系數(shù)由以上所列方程中消去中間變量：由以上所列方程中消去中間變量：)(1)()()(22tFktydttdykfdttydkm有令kKmkfkmT1,2,)()()(2)(222tKFtydttdyTdttydTkF(t)mfy(t)例例2.32.3：試建立彈簧：試建立彈簧 阻尼器系統(tǒng)的阻尼器系統(tǒng)的微分方程。微分方程。圖圖2.32.3例2.4 圖中L、R分別為電樞回路的總電感和總電阻。假設(shè)勵(lì)磁電流恒定不變，試建立在 作用下電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)方程。 ru (t)R負(fù)載JmmfaE+-au(t)r+

11、Li+-if解解 在電樞控制情況下，激磁不變。取ua為給定輸入量， 為輸出量，Mc為擾動(dòng)量。為便于建立方程，引入中間變量ea、ia和M。ea為電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí)電樞兩端的反電勢(shì)（V），ia為電樞電流（A），M為電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí)的電磁力矩（Nm）。列寫(xiě)數(shù)學(xué)關(guān)系式如下 （1）電動(dòng)機(jī)電樞回路的電勢(shì)平衡方程為（2）電動(dòng)機(jī)的反電勢(shì)方程為（3）電動(dòng)機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩方程為（4）電動(dòng)機(jī)軸上的動(dòng)力學(xué)方程為消去中間變量Ea、 ia和Mm，得 電感La較小，故電磁時(shí)間常數(shù)Ta可以忽略 ，則aaaaaauERidtdiLmaCEammiCM cmmmmmMMfdtdJcacaammemmammamammaMRdtdMLuCCCfR

12、dtdJRfLdtdJL)()(22emmaammCCfRRJTcammmMKuKdtdT21例例2.52.5試建立如圖試建立如圖2.42.4所示系所示系統(tǒng)的微分方程。統(tǒng)的微分方程。解：根據(jù)克?；舴螂妷憾?，解：根據(jù)克?；舴螂妷憾桑蓪?xiě)出下列方程組可寫(xiě)出下列方程組dtiCudtiCiRdtiiCdtiiCiRucr2222222112111111)(1)(1消去中間變量消去中間變量21, ii后得到后得到 rcccuudtduCRCRCRdtudCRCR)(212211222211控制系統(tǒng)微分方程的建立應(yīng)注意控制系統(tǒng)微分方程的建立應(yīng)注意：a.a.應(yīng)注意信號(hào)傳遞的單向性，即前一個(gè)元件的輸出應(yīng)注

13、意信號(hào)傳遞的單向性，即前一個(gè)元件的輸出是后一個(gè)元件的輸入，一級(jí)一級(jí)地單向傳送；是后一個(gè)元件的輸入，一級(jí)一級(jí)地單向傳送；b.b.應(yīng)注意前后連接兩個(gè)元件中，后級(jí)對(duì)前級(jí)的負(fù)載應(yīng)注意前后連接兩個(gè)元件中，后級(jí)對(duì)前級(jí)的負(fù)載效應(yīng)（例如：無(wú)源網(wǎng)絡(luò)輸入阻抗對(duì)前級(jí)的影響，效應(yīng)（例如：無(wú)源網(wǎng)絡(luò)輸入阻抗對(duì)前級(jí)的影響，齒輪系對(duì)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響）。齒輪系對(duì)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響）。2.2.2 2.2.2 非線性系統(tǒng)微分方程的線性化非線性系統(tǒng)微分方程的線性化 非線性元件微分方程的線性化方法有：非線性元件微分方程的線性化方法有：切線法或切線法或小偏差法。小偏差法。適合于具有連續(xù)變化的非線性特性函數(shù)，適合于具有連續(xù)變化的非線

14、性特性函數(shù)，其實(shí)質(zhì)是在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，將非線性特性用一其實(shí)質(zhì)是在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，將非線性特性用一段直線來(lái)代替。段直線來(lái)代替。)()()()(0000 xxdxxdfxfxfyyx設(shè)連續(xù)變化的非線性函數(shù)為設(shè)連續(xù)變化的非線性函數(shù)為y yf f（x x），取某平衡狀態(tài)），取某平衡狀態(tài)A A為工作點(diǎn)，對(duì)應(yīng)有為工作點(diǎn)，對(duì)應(yīng)有y y0 0 f f（x x0 0）當(dāng)當(dāng)x xx x0 0 x x時(shí)有時(shí)有y yy y0 0y y，設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y y f f（x x）在（）在（x x0 0，y y0 0）點(diǎn)連續(xù)可微，則將它在該點(diǎn)附近點(diǎn)連續(xù)可微，則將它在該點(diǎn)附近用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)為用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)為當(dāng)當(dāng)x xx x0

15、 0很小時(shí)，略去高次冪項(xiàng)有：很小時(shí)，略去高次冪項(xiàng)有：.)()(! 21)()()()(20022000 xxdxxfdxxdxxdfxfxfyxx 令令y yy yy y0 0，x xx xx x0 0，0)(xdxxdfk 則則y yk kx x，略去增量符號(hào)，得略去增量符號(hào)，得y yf f（x x）在工作點(diǎn)）在工作點(diǎn)A A附近的線性化方程為附近的線性化方程為y ykxkx。注意注意：1.1.非線性方程必為連續(xù)。非線性方程必為連續(xù)。 原因：斷續(xù)的方程不能用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)，因此不能采用原因：斷續(xù)的方程不能用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)，因此不能采用此方法。這類(lèi)非線性稱(chēng)為本質(zhì)非線性。此方法。這類(lèi)非線性稱(chēng)為本質(zhì)非線

16、性。2.K2.K值與工作點(diǎn)的位置有關(guān)值與工作點(diǎn)的位置有關(guān), ,隨靜態(tài)工作點(diǎn)而變。隨靜態(tài)工作點(diǎn)而變。3.3.考慮增量考慮增量XX較小，較小，實(shí)際運(yùn)行情況是在某個(gè)平衡點(diǎn)附近，且實(shí)際運(yùn)行情況是在某個(gè)平衡點(diǎn)附近，且變量只能在小范圍內(nèi)變化。變量只能在小范圍內(nèi)變化。兩個(gè)自變量：兩個(gè)自變量： y=f(x1， x2) 靜態(tài)工作點(diǎn)：靜態(tài)工作點(diǎn)： y0=f(x10， x20) 在在y0=f(x10， x20) 附近展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，即附近展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，即函數(shù)變化與自變量變化成線性比例關(guān)系。函數(shù)變化與自變量變化成線性比例關(guān)系。例題例題2-1422022222021012122101212202210112010)(

17、)()(! 21)()(),(xxxfxxxxxxfxxxfxxxfxxxfxxfy2211xKxKy解解:在在h h0 0處泰勒展開(kāi)，取一次近似處泰勒展開(kāi)，取一次近似QShhSadtdhhhhhhhhhhdthdhh1221210000000例例 2.62-3 2-3 控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)是在拉氏變換基礎(chǔ)上的復(fù)域中的數(shù)學(xué)模型。傳遞函數(shù)是在拉氏變換基礎(chǔ)上的復(fù)域中的數(shù)學(xué)模型。傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，而且可以傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，而且可以用來(lái)研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響用來(lái)研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。2.3.22.

18、3.2傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義 線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱(chēng)為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。與輸入量的拉氏變換之比，稱(chēng)為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。)()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn在在初始條件為零初始條件為零時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，得時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，得)()(01110111sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn)()()()()(01110111sNsMasasasabsbsb

19、sbsRsCsGnnnnmmmm描述該線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為描述該線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為例例2.72.7試求例試求例2.1R-L-C2.1R-L-C無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。解：由前例可知，解：由前例可知，R-L-CR-L-C無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的微分方程為無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的微分方程為)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc在零初始條件下，對(duì)上式兩端取拉氏變換并整理可得網(wǎng)絡(luò)在零初始條件下，對(duì)上式兩端取拉氏變換并整理可得網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：11)()()(2RCsLCssUsUsGrC2.3.32.3.3傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)的性質(zhì)1.1.傳遞函數(shù)表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)表

20、示系統(tǒng)傳遞輸入信號(hào)傳遞輸入信號(hào)的能力，反映系統(tǒng)本身的的能力，反映系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)特性，它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入信號(hào)形式動(dòng)態(tài)特性，它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入信號(hào)形式無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。 2.2.由于能源的限制和實(shí)際系統(tǒng)或元件總是具有慣性的緣故，由于能源的限制和實(shí)際系統(tǒng)或元件總是具有慣性的緣故，其輸出量不可能無(wú)限制上升，因而有：其輸出量不可能無(wú)限制上升，因而有：傳遞函數(shù)是復(fù)變量傳遞函數(shù)是復(fù)變量s s的的有理分式函數(shù)，其分子多項(xiàng)式的次數(shù)有理分式函數(shù)，其分子多項(xiàng)式的次數(shù)m m低于或等于分母多項(xiàng)式低于或等于分母多項(xiàng)式的次數(shù)的次數(shù)n n，即，即mnmn。且系數(shù)均為實(shí)數(shù)。且系數(shù)均為實(shí)數(shù)。 3.3.傳

21、遞函數(shù)表征系統(tǒng)或元件本身的特性，而與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)，傳遞函數(shù)表征系統(tǒng)或元件本身的特性，而與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)，但它不能反映系統(tǒng)或元件的物理結(jié)構(gòu)。也就是說(shuō)，對(duì)于許多但它不能反映系統(tǒng)或元件的物理結(jié)構(gòu)。也就是說(shuō)，對(duì)于許多物理性質(zhì)截然不同的系統(tǒng)或元件，它們可以有相同形式的傳物理性質(zhì)截然不同的系統(tǒng)或元件，它們可以有相同形式的傳遞函數(shù)。遞函數(shù)。 4.4.傳遞函數(shù)的定義只適用于線性定常系統(tǒng)。傳遞函數(shù)的定義只適用于線性定常系統(tǒng)。5.5.傳遞函數(shù)與微分方程有直接聯(lián)系。傳遞函數(shù)與微分方程有直接聯(lián)系。6.6.傳遞函數(shù)的拉氏反變換即為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，因此傳遞函傳遞函數(shù)的拉氏反變換即為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，因此傳遞函數(shù)能反映系統(tǒng)的運(yùn)

22、動(dòng)特性。數(shù)能反映系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。 1)()(tLsR即所以有所以有 )()()()()(111tgsCLsRsCLsGL)(t脈沖響應(yīng)是系統(tǒng)在單位脈沖脈沖響應(yīng)是系統(tǒng)在單位脈沖 輸入時(shí)的輸出響應(yīng)。輸入時(shí)的輸出響應(yīng)。因?yàn)閱挝幻}沖函數(shù)的拉氏變換式為因?yàn)閱挝幻}沖函數(shù)的拉氏變換式為1，常把傳遞函數(shù)分解為一次因式的乘積常把傳遞函數(shù)分解為一次因式的乘積niimjjnmniimjjnmpszsKpspspszszszsKsGsTsKsTsTsTsssKsG112121112121)()()()()()()() 1() 1() 1() 1)(1() 1() 1)(1()(或式中：式中：K K稱(chēng)為傳遞函數(shù)的稱(chēng)為傳

23、遞函數(shù)的增益增益或或傳遞系數(shù)傳遞系數(shù)（放大系數(shù)放大系數(shù)）。）。z zj j(j=1.2.m)(j=1.2.m)為分子多項(xiàng)式的根，稱(chēng)為為分子多項(xiàng)式的根，稱(chēng)為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。P Pi i(1.2.n)(1.2.n)為分母多項(xiàng)式的根，稱(chēng)為為分母多項(xiàng)式的根，稱(chēng)為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式就是傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式就是相應(yīng)微分方程式相應(yīng)微分方程式的特征多項(xiàng)式，的特征多項(xiàng)式，令該分母多項(xiàng)式等于零，就可得到相應(yīng)微分方程的令該分母多項(xiàng)式等于零，就可得到相應(yīng)微分方程的特征方特征方程程。2.3.42.3.4常用控制元件的傳遞函數(shù)常用控制元件的傳遞函數(shù)學(xué)習(xí)要求：閱讀教材，理解原理

24、，看懂例題學(xué)習(xí)要求：閱讀教材，理解原理，看懂例題2.3.52.3.5典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)KsRsCsG)()()(比例環(huán)節(jié)的輸出量能夠既不失真又不延遲地反映輸入量比例環(huán)節(jié)的輸出量能夠既不失真又不延遲地反映輸入量的變化。的變化。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為)()(tKrtc比例環(huán)節(jié)又稱(chēng)放大環(huán)節(jié)。其數(shù)學(xué)方程為比例環(huán)節(jié)又稱(chēng)放大環(huán)節(jié)。其數(shù)學(xué)方程為1. 1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)r(t)c(t)c(t)/r(t)2.2.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)（非周期環(huán)節(jié)）（非周期環(huán)節(jié)）輸入、輸出間的微分方程為輸入、輸出間的微分方程為11)()()()()()(TssRsCsGtrtcdttdcT傳遞函數(shù)

25、為注：注：1 1）慣性環(huán)節(jié)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，）慣性環(huán)節(jié)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，存在時(shí)間上延遲，存在時(shí)間上延遲，T T愈大慣性愈大，延遲時(shí)間也愈長(zhǎng)，時(shí)愈大慣性愈大，延遲時(shí)間也愈長(zhǎng)，時(shí)間常數(shù)間常數(shù)T T表征了該環(huán)節(jié)的慣性。表征了該環(huán)節(jié)的慣性。 2）在在單位階躍單位階躍輸入時(shí)慣性環(huán)節(jié)的輸出量是按指數(shù)函輸入時(shí)慣性環(huán)節(jié)的輸出量是按指數(shù)函數(shù)變化的。當(dāng)數(shù)變化的。當(dāng)t=3Tt=3T4T4T時(shí)，輸出才能接近其穩(wěn)態(tài)值。時(shí)，輸出才能接近其穩(wěn)態(tài)值。0tr(t)/c(t)3.3.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的微分方程是積分環(huán)節(jié)的微分方程是dttrTdttrKtctKrdttdc)(1)()()()

26、(或TssKsRsCsG1)()()(傳遞函數(shù)為積分環(huán)節(jié)的輸出量是與其輸入量的積分成比例的。由積分環(huán)節(jié)的輸出量是與其輸入量的積分成比例的。由積分環(huán)節(jié)的微分方程求得其單位階躍響應(yīng)為積分環(huán)節(jié)的微分方程求得其單位階躍響應(yīng)為 c(t)=Ktc(t)=Kt單位階躍響應(yīng)的斜率為單位階躍響應(yīng)的斜率為 K K，如右圖所示。，如右圖所示。式中式中K=1/T-K=1/T-積分環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，積分環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，T-T-積分時(shí)間常數(shù)。積分時(shí)間常數(shù)。tr(t)0c(t)c(t)/r(t)4.4.微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的微分方程理想微分環(huán)節(jié)的微分方程為為dttdrTtc)()(TssRsCsG)()()(傳遞函數(shù)

27、為T(mén) T為微分時(shí)間常數(shù)。為微分時(shí)間常數(shù)。理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為這是一個(gè)強(qiáng)度為這是一個(gè)強(qiáng)度為T(mén) T的理想脈沖。的理想脈沖。在實(shí)際物理系統(tǒng)中得不到這種理想微分環(huán)節(jié)。在實(shí)際物理系統(tǒng)中得不到這種理想微分環(huán)節(jié)。)()()(tTdttdrTtc5.5.振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是)()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，可用拉氏反變換求得環(huán)節(jié)的可用拉氏反變換求得環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)，如右圖所示。輸出響應(yīng)，如右圖所示。121)()()(22TssTsRsCsG傳遞函數(shù)為式中式中T-T-時(shí)間常

28、數(shù)，時(shí)間常數(shù)， -阻尼比，對(duì)振蕩環(huán)節(jié)有阻尼比，對(duì)振蕩環(huán)節(jié)有 00 116.6.純滯后環(huán)節(jié)純滯后環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)表達(dá)式為數(shù)學(xué)表達(dá)式為sesRsCsG)()()(傳遞函數(shù)為 式中式中 為純滯后時(shí)間。當(dāng)輸入信號(hào)為下圖為純滯后時(shí)間。當(dāng)輸入信號(hào)為下圖(a)(a)所示的所示的單位階躍函數(shù)時(shí)，其響應(yīng)曲線如單位階躍函數(shù)時(shí)，其響應(yīng)曲線如下圖下圖(b)(b)所示。所示。(a)(b)()(trtcr ( t )lc ( t )vttr ( t )c ( t )00n軋鋼機(jī)延遲環(huán)節(jié)的例子軋鋼機(jī)延遲環(huán)節(jié)的例子 lvc(t)r(t)sC(s)T(s)eR(s)2.3.6 2.3.6 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)idtCi

29、Ruiii220211dtuudCiuuRirr)()(102011解：根據(jù)電路的基本定理可以得到如下的關(guān)系式解：根據(jù)電路的基本定理可以得到如下的關(guān)系式例例2.8 2.8 設(shè)下圖所示電路中，輸入電壓為設(shè)下圖所示電路中，輸入電壓為u ur r, ,輸出電壓為輸出電壓為u u0 0，試寫(xiě)出其傳遞函數(shù)。試寫(xiě)出其傳遞函數(shù)。uru0C1i2R1i1iR2C2在零初始條件下，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，得在零初始條件下，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，得)( 1)()( 1)(221122211021221122211sUsCRCRsCRCRsUsCRCRCRsCRCRrrrrudtduCRCRdtudCRCRudtduCR

30、CRCRdtudCRCR)()(2211222211002122112022211消去中間變量，得到輸入、輸出的微分方程式消去中間變量，得到輸入、輸出的微分方程式1)(1)()(21221122211221122211sCRCRCRsCRCRsCRCRsCRCRsG由此得出該電路的傳遞函數(shù)為由此得出該電路的傳遞函數(shù)為 在上述計(jì)算過(guò)程中，如果先對(duì)所列寫(xiě)的微分方程組在上述計(jì)算過(guò)程中，如果先對(duì)所列寫(xiě)的微分方程組作拉氏變換，再消去中間變量，可簡(jiǎn)化計(jì)算。作拉氏變換，再消去中間變量，可簡(jiǎn)化計(jì)算。 在零初始條件下，對(duì)在零初始條件下，對(duì)方程組方程組取拉氏變換，得到取拉氏變換，得到消去中間變量可得消去中間變量可

31、得)(1)()()()()()()()()()(1)(22021012011sIscsIRsUsIsIsIsUsUscsIsUsURsIrr)( 1)()( 1)(221122211021221122211sUsCRCRsCRCRsUsCRCRCRsCRCRr1)(1)()(21221122211221122211sCRCRCRsCRCRsCRCRsCRCRsG傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)為為2.4 2.4 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 控制系統(tǒng)的控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)各組成元部件之間信結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)各組成元部件之間信號(hào)傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形號(hào)傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形，它表示系統(tǒng)中各變量所進(jìn)行的，它表示系

32、統(tǒng)中各變量所進(jìn)行的數(shù)學(xué)運(yùn)算和輸入、輸出之間的因果關(guān)系。數(shù)學(xué)運(yùn)算和輸入、輸出之間的因果關(guān)系。把各環(huán)節(jié)或元件的傳遞函數(shù)填在系統(tǒng)原理方塊圖的把各環(huán)節(jié)或元件的傳遞函數(shù)填在系統(tǒng)原理方塊圖的方塊中，并把相應(yīng)的輸入、輸出信號(hào)分別以拉氏變換來(lái)方塊中，并把相應(yīng)的輸入、輸出信號(hào)分別以拉氏變換來(lái)表示，就可以得到傳遞函數(shù)方塊圖。（信號(hào)之間的數(shù)學(xué)表示，就可以得到傳遞函數(shù)方塊圖。（信號(hào)之間的數(shù)學(xué)物理關(guān)系，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)）物理關(guān)系，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)） 信號(hào)線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，信號(hào)線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，且信號(hào)只能單向傳輸。且信號(hào)只能單向傳輸。 方框：即一個(gè)元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)方塊圖

33、，該方塊可方框：即一個(gè)元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)方塊圖，該方塊可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，其變換關(guān)系為以對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，其變換關(guān)系為 X Xc c(s)=G(s)X(s)=G(s)Xr r(s)(s)G(s)xr(s)xc(s)方塊單元方塊單元nkrkcsXsX1)()( 信號(hào)比較點(diǎn)：表示兩個(gè)或多個(gè)信號(hào)在此代數(shù)相加。信號(hào)比較點(diǎn)：表示兩個(gè)或多個(gè)信號(hào)在此代數(shù)相加。信號(hào)比較點(diǎn)的運(yùn)算關(guān)系為信號(hào)比較點(diǎn)的運(yùn)算關(guān)系為xr2xr1(s)xr3(s)xc(s)信號(hào)引出點(diǎn)：表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置。從同一位置引出信號(hào)引出點(diǎn)：表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置。從同一位置引出的信號(hào)在數(shù)值和性質(zhì)上完全相同的信號(hào)在數(shù)值和性質(zhì)上完全相同

34、。2.4.2 2.4.2 結(jié)構(gòu)圖的畫(huà)法結(jié)構(gòu)圖的畫(huà)法繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的步驟如下：繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的步驟如下： 1.1.列寫(xiě)出系統(tǒng)各元件的微分方程。在建立方程時(shí)應(yīng)分列寫(xiě)出系統(tǒng)各元件的微分方程。在建立方程時(shí)應(yīng)分清各元件的輸入量、輸出量，同時(shí)應(yīng)考慮相鄰元部件之間清各元件的輸入量、輸出量，同時(shí)應(yīng)考慮相鄰元部件之間是否有負(fù)載效應(yīng)。是否有負(fù)載效應(yīng)。 2.2.在在零初始條件零初始條件下，對(duì)各微分方程進(jìn)行拉氏變換，并下，對(duì)各微分方程進(jìn)行拉氏變換，并將變換式寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式。將變換式寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式。 3.3.由標(biāo)準(zhǔn)變換式利用結(jié)構(gòu)圖的四個(gè)基本單元，分別畫(huà)由標(biāo)準(zhǔn)變換式利用結(jié)構(gòu)圖的四個(gè)基本單元，分別畫(huà)出各元部件的結(jié)構(gòu)圖。出各元部

35、件的結(jié)構(gòu)圖。 4.4.按照系統(tǒng)中信號(hào)的傳遞順序，依次將各元部件的結(jié)按照系統(tǒng)中信號(hào)的傳遞順序，依次將各元部件的結(jié)構(gòu)圖連接起來(lái)，便可得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。構(gòu)圖連接起來(lái)，便可得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。 例例2.9 2.9 在圖所示的濾波電路中，若以電壓在圖所示的濾波電路中，若以電壓u ur r為輸入，電為輸入，電壓壓u uc c為輸出，試畫(huà)出其結(jié)構(gòu)圖。為輸出，試畫(huà)出其結(jié)構(gòu)圖。 例例2.92.9題電路圖題電路圖)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111sICssUsUsIRsUsIsICssUsUsIRsUcccccr2222121111111)(1icdtduuiRuiicdtdu

36、uiRucccccr解解2 2、將上述方程整理、將上述方程整理)(1)()()(1)()()(1)()()(1)(221222111111sIsCsUsUsURsIsIsIsCsUsUsURsIcccccr1/R11/c1s1/R21/c2sUr(s)I1(s)I2(s)Uc1(s)I2(s)Uc(s). .按照信號(hào)傳遞順序，依次將各元部件的結(jié)構(gòu)圖連接起來(lái)。按照信號(hào)傳遞順序，依次將各元部件的結(jié)構(gòu)圖連接起來(lái)。例題：試?yán)L制如圖所示例題：試?yán)L制如圖所示 的無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖的無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖 解：解：)()()()(1)()()()()()(21112211sIsIsIRsICssIRsIsUsURs

37、IsUccr根據(jù)克?；舴蚨蓪?xiě)根據(jù)克?；舴蚨蓪?xiě)出下列方程出下列方程 2.4.3 2.4.3 結(jié)構(gòu)圖的等效變換結(jié)構(gòu)圖的等效變換1.1.串聯(lián)連接方式的等效變換串聯(lián)連接方式的等效變換前一環(huán)節(jié)的輸出量是后一環(huán)節(jié)的輸入量的連接稱(chēng)為前一環(huán)節(jié)的輸出量是后一環(huán)節(jié)的輸入量的連接稱(chēng)為環(huán)節(jié)的串聯(lián)。如環(huán)節(jié)的串聯(lián)。如下圖下圖所示，所示，)()()()()()(32114sGsGsGsRsRsG串串聯(lián)聯(lián)后后總總的的傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)為為niisGsG1)()(2.2.并聯(lián)連接方式的等效變換并聯(lián)連接方式的等效變換輸入量相同，輸出量相加或相減的連接稱(chēng)為并聯(lián)。輸入量相同，輸出量相加或相減的連接稱(chēng)為并聯(lián)。如下圖所示如下圖所示+n

38、iisGsG1)()(并聯(lián)后總的傳遞函數(shù)為并聯(lián)后總的傳遞函數(shù)為3.3.反饋連接方式的等效變換反饋連接方式的等效變換)()()()()()()()()()()()()()()()()()(sCsHsGsRsGsCsHsRsGsEsGsCsBsRsEsCsHsB 將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出反饋到輸入端與輸入信號(hào)進(jìn)行將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出反饋到輸入端與輸入信號(hào)進(jìn)行比較，就構(gòu)成了反饋連接。比較，就構(gòu)成了反饋連接。)()()()(1)(sRsGsHsGsC所以)()(1)()(sHsGsGsGB由此得4.4.分支點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)則分支點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)則 將分支點(diǎn)跨越元件方塊圖移動(dòng)時(shí)，必須遵循將分支點(diǎn)跨越元件方塊圖移動(dòng)時(shí)，必須遵

39、循移動(dòng)前后移動(dòng)前后所得的分支信號(hào)保持不變所得的分支信號(hào)保持不變的等效原則。的等效原則。)()()(1)()()()(121sRsCsGsCsRsGsC移動(dòng)前后的分支輸出信號(hào)不變，達(dá)到了等效變換的目的。移動(dòng)前后的分支輸出信號(hào)不變，達(dá)到了等效變換的目的。)()()()()(21sRsCsRsGsC)()()()()()(21sRsGsCsRsGsC 分支點(diǎn)移動(dòng)的規(guī)則為：分支點(diǎn)移動(dòng)的規(guī)則為：若分支點(diǎn)從一個(gè)方塊圖的若分支點(diǎn)從一個(gè)方塊圖的輸入端移到其輸出端時(shí)，應(yīng)在移動(dòng)后的分支中串入一個(gè)輸入端移到其輸出端時(shí)，應(yīng)在移動(dòng)后的分支中串入一個(gè)方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于

40、所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)的倒數(shù)。若分支點(diǎn)從一方塊圖的輸出端移到其輸入端時(shí)，的倒數(shù)。若分支點(diǎn)從一方塊圖的輸出端移到其輸入端時(shí)，應(yīng)在移動(dòng)后的分支中串入一個(gè)方塊圖，它的傳遞函數(shù)等應(yīng)在移動(dòng)后的分支中串入一個(gè)方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)。于所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)。5.5.比較點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)則比較點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)則如圖如圖(a)(a)所示，當(dāng)比較點(diǎn)在所示，當(dāng)比較點(diǎn)在A A處時(shí)，總輸出量為處時(shí)，總輸出量為 C(s)=G(s)RC(s)=G(s)R1 1(s)-R(s)-R2 2(s)(s)當(dāng)比較點(diǎn)移到當(dāng)比較點(diǎn)移到B B處時(shí)，必須使兩個(gè)輸入都經(jīng)過(guò)元件方塊圖處時(shí)，必須使兩個(gè)輸入都經(jīng)過(guò)元件方塊圖后再相

41、加，如圖后再相加，如圖(b)(b)所示，此時(shí)所示，此時(shí) C(s)=G(s)RC(s)=G(s)R1 1(s)-G(s)R(s)-G(s)R2 2(s)(s)與移動(dòng)前相等，因而兩圖是等效的。與移動(dòng)前相等，因而兩圖是等效的。 當(dāng)綜合點(diǎn)之間相互移動(dòng)時(shí)，如下圖所示，因?yàn)槿弋?dāng)綜合點(diǎn)之間相互移動(dòng)時(shí)，如下圖所示，因?yàn)槿咻敵龆紴檩敵龆紴?C(s)=RC(s)=R1 1(s)-R(s)-R2 2(s)-R(s)-R3 3(s)(s)故它們都是等效的。故它們都是等效的。(a)(b)(c)互換綜合點(diǎn)的位置，不會(huì)影響總的輸入輸出關(guān)系?；Q綜合點(diǎn)的位置，不會(huì)影響總的輸入輸出關(guān)系。2.4.4 2.4.4 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的

42、簡(jiǎn)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化例例2.102.10簡(jiǎn)化下圖所示多回路系統(tǒng)，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)簡(jiǎn)化下圖所示多回路系統(tǒng)，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)-+R(s)C(s)解解 這是一個(gè)沒(méi)有交叉現(xiàn)象的多環(huán)系統(tǒng)，內(nèi)回路稱(chēng)為局這是一個(gè)沒(méi)有交叉現(xiàn)象的多環(huán)系統(tǒng)，內(nèi)回路稱(chēng)為局部反饋回路，外回路稱(chēng)為主反饋回路。簡(jiǎn)化時(shí)不需要將部反饋回路，外回路稱(chēng)為主反饋回路。簡(jiǎn)化時(shí)不需要將分支點(diǎn)和綜合點(diǎn)作前后移動(dòng)?？砂春?jiǎn)單串、并聯(lián)和反饋分支點(diǎn)和綜合點(diǎn)作前后移動(dòng)?？砂春?jiǎn)單串、并聯(lián)和反饋連接的簡(jiǎn)化規(guī)則，從內(nèi)部開(kāi)始，由內(nèi)向外逐步簡(jiǎn)化。連接的簡(jiǎn)化規(guī)則，從內(nèi)部開(kāi)始

43、，由內(nèi)向外逐步簡(jiǎn)化。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+G5(s)G6(s)R(s)-C(s)(a)()()()()()()()(1)()()()()(63215432321sGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsRsC(c)()()()(1)()()(5432321sGsGsGsGsGsGsGG6(s)R(s)C(s)-(b)G1(s)()()()(1)()(543232sGsGsGsGsGsGG6(s)R(s)-C(s)例例2.112.11例例2.122.12例例2.132.13 簡(jiǎn)化下圖，求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。簡(jiǎn)化下圖，求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 解解 圖是具有交叉連接的結(jié)構(gòu)圖。為消

44、除交叉，圖是具有交叉連接的結(jié)構(gòu)圖。為消除交叉，可采用相加點(diǎn)、分支點(diǎn)互換的方法處理?？刹捎孟嗉狱c(diǎn)、分支點(diǎn)互換的方法處理。（2 2）再與）再與b b點(diǎn)交換點(diǎn)交換（1）將相加點(diǎn)）將相加點(diǎn)a移移至至G2之后之后（3）因）因 G4與與G1G2并聯(lián)，并聯(lián)， G3與與G2H是負(fù)反饋環(huán)是負(fù)反饋環(huán)（4 4）上圖兩環(huán)節(jié)串聯(lián)，函數(shù)相乘后結(jié)果為）上圖兩環(huán)節(jié)串聯(lián)，函數(shù)相乘后結(jié)果為)()()(1)()()()()()(3243321sHsGsGsGsGsGsGsGs所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為例例2.142.14 試簡(jiǎn)化下圖所示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)的傳遞試簡(jiǎn)化下圖所示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。函

45、數(shù)。解解 （1 1）將支路）將支路H H2 2（s s）的分支點(diǎn)后移）的分支點(diǎn)后移（2 2）合并上圖虛線框內(nèi)的各環(huán)節(jié)，結(jié)果如下圖所示）合并上圖虛線框內(nèi)的各環(huán)節(jié)，結(jié)果如下圖所示 )()()(1)()()(3434334sHsGsGsGsGsG（3 3）合并上圖虛線框內(nèi)的各環(huán)節(jié)，結(jié)果為）合并上圖虛線框內(nèi)的各環(huán)節(jié)，結(jié)果為 所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為)()()()(1)()()(4234234223sGsHsGsGsGsGsG)()()()()()()()()()()(1)()()()()()(143213432324321sHsGsGsGsGsHsGsGsHsGsGsGsGsGsG

46、sRsC歸納規(guī)律：歸納規(guī)律：通過(guò)上述例子，可以看到如果滿足以下兩個(gè)條件：所有回路兩兩相互接觸；所有回路與所有前向通道接觸。m1傳遞函數(shù)之積前向通道各串聯(lián)環(huán)節(jié)的分子n11環(huán)函數(shù)）每一局部反饋回路的開(kāi)（分母nms111)(環(huán)函數(shù)）每一局部反饋回路的開(kāi)（傳遞函數(shù)之積前向通道各串聯(lián)環(huán)節(jié)的則可以得到以下幾條簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖的規(guī)律：閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)是一個(gè)有理分式； ，負(fù)反饋取“+” 正反饋取“”即式中， m是前向通道的條數(shù)，n是反饋回路數(shù)。2.52.5控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖2.5.12.5.1信號(hào)流圖信號(hào)流圖1.1.信號(hào)流圖中的基本圖形符號(hào)有三種：節(jié)點(diǎn)，支路，信號(hào)流圖中的基本圖形符號(hào)有三種：節(jié)點(diǎn)，

47、支路， 和支路增益和支路增益2.2.信號(hào)流圖的基本性質(zhì)信號(hào)流圖的基本性質(zhì)3.3.信號(hào)流圖的有關(guān)術(shù)語(yǔ)：信號(hào)流圖的有關(guān)術(shù)語(yǔ)：a.a.源節(jié)點(diǎn)源節(jié)點(diǎn) b.b.阱節(jié)點(diǎn)阱節(jié)點(diǎn) c.c.混合節(jié)點(diǎn)混合節(jié)點(diǎn) d.d.前向通路前向通路d.d.回路回路 e.e.回路增益回路增益 f.f.前向通路增益前向通路增益g.g.不接觸回路不接觸回路 信號(hào)流圖的繪制：信號(hào)流圖的繪制：例例: 2-22: 2-22由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖應(yīng)注意由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖應(yīng)注意 ：（1 1）盡量精簡(jiǎn)節(jié)點(diǎn)的數(shù)目，合并；源節(jié)點(diǎn)和阱節(jié)點(diǎn)不能合并掉；）盡量精簡(jiǎn)節(jié)點(diǎn)的數(shù)目，合并；源節(jié)點(diǎn)和阱節(jié)點(diǎn)不能合并掉；（2 2）結(jié)構(gòu)圖比較點(diǎn)之前沒(méi)有引出點(diǎn)（之

48、后有）只需在比較點(diǎn)后設(shè)）結(jié)構(gòu)圖比較點(diǎn)之前沒(méi)有引出點(diǎn)（之后有）只需在比較點(diǎn)后設(shè) 置一個(gè)節(jié)點(diǎn)便可，但若比較點(diǎn)之前有引出點(diǎn)，需在引出點(diǎn)和置一個(gè)節(jié)點(diǎn)便可，但若比較點(diǎn)之前有引出點(diǎn)，需在引出點(diǎn)和 比較點(diǎn)之后各設(shè)置一個(gè)節(jié)點(diǎn)。分邊標(biāo)志兩個(gè)變量，他們之間比較點(diǎn)之后各設(shè)置一個(gè)節(jié)點(diǎn)。分邊標(biāo)志兩個(gè)變量，他們之間 的支路增益為的支路增益為1 1。2.5.2 信流圖的性質(zhì)及運(yùn)算法則信流圖的性質(zhì)及運(yùn)算法則 1、每一個(gè)節(jié)點(diǎn)表示一個(gè)變量，并可以把所有、每一個(gè)節(jié)點(diǎn)表示一個(gè)變量，并可以把所有 輸入支路信號(hào)迭加再傳送到每一個(gè)輸出支輸入支路信號(hào)迭加再傳送到每一個(gè)輸出支 路。路。 2、支路表示了一個(gè)信號(hào)對(duì)另一個(gè)信號(hào)的函數(shù)、支路表示了一個(gè)

49、信號(hào)對(duì)另一個(gè)信號(hào)的函數(shù) 關(guān)系。支路上的箭頭方向表示信號(hào)的流向。關(guān)系。支路上的箭頭方向表示信號(hào)的流向。 3、混合節(jié)點(diǎn)可以通過(guò)增加一個(gè)增益為、混合節(jié)點(diǎn)可以通過(guò)增加一個(gè)增益為1的支路的支路 變成為輸出節(jié)點(diǎn)變成為輸出節(jié)點(diǎn),且兩節(jié)點(diǎn)的變量相同。且兩節(jié)點(diǎn)的變量相同。 信流圖運(yùn)算法則：信流圖運(yùn)算法則：+_ _( )Rs()Cs()Hs()Es()Gs()Rs()Cs()Gs1()Es()Rs()Rs()Cs()Cs()Cs()Gs()Gs+_ _( )R s()Cs()Hs()Es()Ns+1( )Gs2( )Gs()Ns()Rs1( )Gs2( )Gs1()Es+_ _( )Rs()Cs()Hs()Es(

50、)Gs()Ns+()Rs()Cs()Gs1()Es()Cs()Ns1111 1()Gs2 1()Gs1 2()Gs2 2()Gs1()Rs2()Rs1()Cs2()Cs+1()Rs1()Cs2()Rs2()Cs1 1()Gs2 1()Gs1 2()Gs2 2()Gs方塊圖信號(hào)流程圖序號(hào)12345()Hs()Hs()Hs梅遜公式一般形式為梅遜公式一般形式為式。條前向通路的特征余子下的部分，稱(chēng)為第所在項(xiàng)除去后所余條前向通路接觸的回路中，將與第在條前向通路傳遞函數(shù)。第之和。路的回路傳遞函數(shù)乘積所有三個(gè)互不接觸回之和。路的回路傳遞函數(shù)乘積所有兩兩互不接觸回?cái)?shù)之和。所有不同回路傳遞函其中稱(chēng)為特征式，且為

51、待求的總傳遞函數(shù)。式中kkkPLLLLLLLLLLLLsPskkkjijiikjijiinkkk1)()(12.5.3 2.5.3 用梅遜用梅遜(S.J.Mason)(S.J.Mason)公式求傳遞函數(shù)公式求傳遞函數(shù) 梅遜公式的由來(lái)梅遜公式的由來(lái)例例: : 用梅遜公式求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。用梅遜公式求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。G1G2G4G3G5G6H4H2H3H1RC-解解 圖中共有四個(gè)不同回路，其回路傳遞函數(shù)分別為圖中共有四個(gè)不同回路，其回路傳遞函數(shù)分別為44343543232216543211HGGLHGGLHGGLHGGGGGGL故故 LLi i=L=L1 1+L+L2 2+L+L3

52、 3+L+L4 4 在上述四個(gè)回路中，互不接觸回路有：在上述四個(gè)回路中，互不接觸回路有：L L2 2、L L3 3，它們之，它們之間沒(méi)有重合的部分，因此有間沒(méi)有重合的部分，因此有 LLi iL Lj j= L= L2 2L L3 3=(-G=(-G2 2G G3 3H H2 2)()(G G4 4G G5 5H H3 3)=G)=G2 2G G3 3G G4 4G G5 5H H2 2H H3 3 圖中沒(méi)有三個(gè)互不接觸回路，故圖中沒(méi)有三個(gè)互不接觸回路，故 LLi iL Lj jL LK K=0=0可得特征式可得特征式32543244335423216543213243211)(11HHGGGG

53、HGGHGGHGGHGGGGGGLLLLLLLLLjii圖中只有一條前向通路，且該前向通路與四個(gè)回路均接觸，圖中只有一條前向通路，且該前向通路與四個(gè)回路均接觸，所以所以325432443354232165432165432111165432111)(1HHGGGGHGGHGGHGGHGGGGGGGGGGGGPsGGGGGGP傳遞函數(shù)為由梅遜公式求得系統(tǒng)的注意：注意： 應(yīng)用梅遜公式可以方便地求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，應(yīng)用梅遜公式可以方便地求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而不必進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖變換。但當(dāng)結(jié)構(gòu)圖較復(fù)雜時(shí)，容易遺而不必進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖變換。但當(dāng)結(jié)構(gòu)圖較復(fù)雜時(shí)，容易遺漏前向通路、回路或互不接觸回路。因此在使用時(shí)應(yīng)特漏

54、前向通路、回路或互不接觸回路。因此在使用時(shí)應(yīng)特別注意。別注意。例例 題：題：2-24 2-25例例 題：題：122321212112232121123232212114232111111HGHGGHGGHGHGGHGGLHGLHGGLHGGLGPGGGPa例：例： 利用梅遜公式，求：利用梅遜公式，求：C C（s s）/R/R（s s） 解：畫(huà)出該系統(tǒng)的信號(hào)流程圖解：畫(huà)出該系統(tǒng)的信號(hào)流程圖 ( )R s( )C s1G2G3G4G5G6G7G1H2H+-+-+( )R s( )C s1G2G3G4G5G6G7G1H2H1該系統(tǒng)中有四個(gè)獨(dú)立的回路：該系統(tǒng)中有四個(gè)獨(dú)立的回路： L L1 1 = -G

55、 = -G4 4H H1 1 L L2 2 = -G = -G2 2G G7 7H H2 2 L L3 3 = -G = -G6 6G G4 4G G5 5H H2 2 L L4 4 = -G = -G2 2G G3 3G G4 4G G5 5H H2 2互不接觸的回路有一個(gè)互不接觸的回路有一個(gè)L L1 1 L L2 2。所以，特征式。所以，特征式 =1-=1-（L1 + L2 + L3 + L4L1 + L2 + L3 + L4）+ L1 L2+ L1 L2該系統(tǒng)的前向通道有三個(gè)：該系統(tǒng)的前向通道有三個(gè)： P P1 1= G= G1 1G G2 2G G3 3G G4 4G G5 5 1 1

56、=1=1 P P2 2= G= G1 1L L6 6G G4 4G G5 5 2 2=1=1 P P3 3= G= G1 1G G2 2G G7 7 3 3=1-L=1-L1 1 因此，系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)因此，系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s) / R(s)C(s) / R(s)為為 272142543225462721414721346154321332211HGGHGHGGGGHGGGHGGHG1)HG(1GGGGGGGGGGGG)pp(p1GR(s)C(s)例：畫(huà)出信流圖，并利用梅遜公式求取它的傳例：畫(huà)出信流圖，并利用梅遜公式求取它的傳 遞函數(shù)遞函數(shù)C(s) / R(s)C(s) / R(s)。信流圖：信流圖：ABE+_ _+_ _+-11C s21R21C s11R( )R s( )C sCD+( )Rs( )CsABCDE11R11Cs1121R21C s1111注意：圖中注意：圖中C C位于比較點(diǎn)的前面，為了引出位于比較點(diǎn)的前面，為了引出C C處的信號(hào)要用一處的信號(hào)要用一 個(gè)傳輸為個(gè)傳輸為1 1的支路把的支路把C C、D D的信號(hào)分開(kāi)。的信號(hào)分開(kāi)。題目中單獨(dú)回路有題目中單獨(dú)回路有L L1 1、L L2 2和和L L3 3，互不接觸回路有，互不接觸回路有 L L1 1L L2 2，即，即 ：前向通路只