第3章力系平衡方程

1、第第3 3章章 平面力系平面力系 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，了解平面力系的分類(lèi)和【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，了解平面力系的分類(lèi)和力在直角坐標(biāo)軸上的投影；理解合力投影定理；掌握用解析力在直角坐標(biāo)軸上的投影；理解合力投影定理；掌握用解析法求解平面匯交力系的合成與平衡問(wèn)題；理解力矩的定義，法求解平面匯交力系的合成與平衡問(wèn)題；理解力矩的定義，掌握力矩的計(jì)算；掌握合力矩定理及其應(yīng)用；理解力偶的定掌握力矩的計(jì)算；掌握合力矩定理及其應(yīng)用；理解力偶的定義及力偶矩的概念，掌握力偶的性質(zhì)；掌握平面力偶系的合義及力偶矩的概念，掌握力偶的性質(zhì)；掌握平面力偶系的合成與平衡條件及應(yīng)用；掌握力的平移定理及平面一般力系的成

2、與平衡條件及應(yīng)用；掌握力的平移定理及平面一般力系的簡(jiǎn)化方法，掌握主矢和主矩的概念及計(jì)算；熟練掌握平面一簡(jiǎn)化方法，掌握主矢和主矩的概念及計(jì)算；熟練掌握平面一般力系的平衡方程及其應(yīng)用；掌握求解物體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的般力系的平衡方程及其應(yīng)用；掌握求解物體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的方法和思路。方法和思路。 【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】合力投影定理；力對(duì)點(diǎn)之矩與【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】合力投影定理；力對(duì)點(diǎn)之矩與力偶矩的計(jì)算，合力矩定理，力偶的性質(zhì)；平面力偶矩的計(jì)算，合力矩定理，力偶的性質(zhì)；平面匯交力系的合成和平衡條件及其應(yīng)用；平面一般匯交力系的合成和平衡條件及其應(yīng)用；平面一般力系的簡(jiǎn)化和平衡方程；物體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的分力系的簡(jiǎn)化和平衡方程；物體系統(tǒng)

3、平衡問(wèn)題的分析。析。3.1 3.1 平面匯交力系的合成與平衡平面匯交力系的合成與平衡按其作用線(xiàn)所在的位置按其作用線(xiàn)所在的位置: :平面力系和空間力系。平面力系和空間力系。平面力系平面力系: :力系中各力的作用線(xiàn)都在同一平面內(nèi)。力系中各力的作用線(xiàn)都在同一平面內(nèi)?？臻g力系空間力系: :力系中各力的作用線(xiàn)不在同一平面內(nèi)。力系中各力的作用線(xiàn)不在同一平面內(nèi)。平面力系：平面匯交力系、平面平行力系和平面一般力系。平面力系：平面匯交力系、平面平行力系和平面一般力系。平面匯交力系：在平面力系中，各力的作用線(xiàn)均匯交于一平面匯交力系：在平面力系中，各力的作用線(xiàn)均匯交于一點(diǎn)的力系。點(diǎn)的力系。1.1.力在直角坐標(biāo)軸上的

4、投影力在直角坐標(biāo)軸上的投影F F在在x x軸上的投影，以軸上的投影，以F Fx x表示；表示；F F在在y y軸上的投影，以軸上的投影，以F Fy y表示。表示。 投影的正負(fù)號(hào)規(guī)定：如力的投影從始端投影的正負(fù)號(hào)規(guī)定：如力的投影從始端a a（或（或 ）到終端）到終端b b（或（或 ）的指向與坐標(biāo)軸的正方向一致時(shí)，該投影的指向與坐標(biāo)軸的正方向一致時(shí)，該投影F Fx x（或（或F Fy y）為正，反之為負(fù)。）為正，反之為負(fù)。sincosFFFFyx投影方程：投影方程：式中式中 力力F F與坐標(biāo)軸與坐標(biāo)軸x x所夾的銳角。所夾的銳角。圖圖3-1 3-1 直角坐標(biāo)系中力的投影直角坐標(biāo)系中力的投影【例【例

5、3-13-1】已知】已知F F1 1=100N=100N，F(xiàn) F2 2=200N=200N，F(xiàn) F3 3=F=F4 4=300N=300N，各力方向如，各力方向如圖圖3-23-2所示。試分別求出各力在所示。試分別求出各力在x x軸和軸和y y軸上的投影。軸上的投影?！窘狻坑墒剑ā窘狻坑墒剑?-13-1）可得出各力在）可得出各力在x x軸和軸和y y軸上的投影分別為軸上的投影分別為F F1x1x=F=F1 1cos45cos45=100=1000.707=70.7N0.707=70.7NF F1y1y=F=F1 1sin45sin45=100=1000.707=70.7N0.707=70.7NF

6、 F2x2x= =F F2 2cos30cos30= =2002000.866=0.866=173.2N173.2NF F2y2y= =F F2 2sin30sin30= =2002000.5=0.5=100N100NF F3x3x= =F F3 3cos90cos90= =3003000=00=0F F3y3y= =F F3 3sin90sin90= =3003001=1=300N300NF F4x4x=F=F4 4cos60cos60=300=3000.5=150N0.5=150NF F4y4y= =F F4 4sin60sin60= =3003000.866=0.866=259.8N25

7、9.8N由本例可知：由本例可知：（1 1）當(dāng)力的作用線(xiàn)與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，力在該坐標(biāo)軸上的投影等于零；）當(dāng)力的作用線(xiàn)與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，力在該坐標(biāo)軸上的投影等于零；（2 2）當(dāng)力的作用線(xiàn)與坐標(biāo)軸平行時(shí)，力在該坐標(biāo)軸上的投影的絕對(duì)值）當(dāng)力的作用線(xiàn)與坐標(biāo)軸平行時(shí)，力在該坐標(biāo)軸上的投影的絕對(duì)值等于該力的大小。等于該力的大小。2.2.合力投影定理合力投影定理合力在任一坐標(biāo)軸上的投影等于力系中各分力在同合力在任一坐標(biāo)軸上的投影等于力系中各分力在同一坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和。即一坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和。即ynyyyRyxnxxxRxFFFFFFFFFF2121合力矢量的大小和方向?yàn)楹狭κ噶康拇笮『头较驗(yàn)閤yRxRyyx

8、RyRxRFFFFFFFFFarctanarctan2222合力的指向判定合力的指向判定: :【例【例3-23-2】已知某平面匯交力系如圖】已知某平面匯交力系如圖3-53-5所示。已知所示。已知F F1 1=200N=200N，F(xiàn) F2 2=300N=300N，F(xiàn) F3 3=100N=100N，F(xiàn) F4 4=250N=250N，試求該力系的合力。，試求該力系的合力。 圖圖3-5 3-5 【例【例3-23-2】圖】圖【解】【解】 （1 1）建立直角坐標(biāo)系，計(jì)算合力在）建立直角坐標(biāo)系，計(jì)算合力在x x軸和軸和y y軸軸上的投影上的投影45cos45cos60cos30cos4321FFFFFFxR

9、x=2000.8663000.51000.707+2500.707=129.25N45sin45sin60sin30sin4321FFFFFFyRy=2000.5+3000.8661000.7072500.707=112.35N（2 2）求合力的大?。┣蠛狭Φ拇笮FFFRyRxR25.17135.11225.1292222（3 3）求合力的方向）求合力的方向869. 025.12935.112tanRxRyFF =40.99 由于由于F FRxRx和和F FRyRy均為正，故均為正，故應(yīng)在第一象限，合力應(yīng)在第一象限，合力F FR R的的作用線(xiàn)通過(guò)力系的匯交點(diǎn)作用線(xiàn)通過(guò)力系的匯交點(diǎn)O O，如圖

10、，如圖3-53-5所示。所示。3.3.平面匯交力系的平衡方程平面匯交力系的平衡方程 平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：該力系的合平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：該力系的合力力F FR R等于零。即：等于零。即： 式中，（式中，（FFx x）2 2和（和（FFy y）2 2恒為正值，若使上式成恒為正值，若使上式成立，必須同時(shí)滿(mǎn)足立，必須同時(shí)滿(mǎn)足022yxRFFF00yxFF兩個(gè)獨(dú)立的方程，可以求解兩個(gè)未知量。兩個(gè)獨(dú)立的方程，可以求解兩個(gè)未知量?！纠纠?-33-3】一圓球重】一圓球重30kN30kN，用繩索將球掛于光滑墻上，用繩索將球掛于光滑墻上，繩與墻之間的夾角繩與墻之間的夾角=30=3

11、0，如圖，如圖3-63-6（a a）所示。求墻對(duì)）所示。求墻對(duì)球的約束反力球的約束反力F FN N及繩索對(duì)圓球的拉力及繩索對(duì)圓球的拉力F FT T。Fy=0 FTsin60W=0kNWFT64.34866. 03060sinFx=0 FNFTcos60=0 FN=FTcos60=34.640.5 =17.32kN3.2 3.2 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡1.1.力對(duì)點(diǎn)之矩（力矩）力對(duì)點(diǎn)之矩（力矩） 力的大小與力臂的乘積力的大小與力臂的乘積FdFd冠以適當(dāng)正負(fù)號(hào)作為力冠以適當(dāng)正負(fù)號(hào)作為力F F使物使物體繞體繞O O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，稱(chēng)為力點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，稱(chēng)為力F F對(duì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O

12、 O之矩，簡(jiǎn)稱(chēng)力矩之矩，簡(jiǎn)稱(chēng)力矩。MO (F)Fd O O點(diǎn)稱(chēng)為矩心，點(diǎn)稱(chēng)為矩心，d d為為O O點(diǎn)到力點(diǎn)到力F F作作用線(xiàn)的垂直距離，稱(chēng)為力臂。用線(xiàn)的垂直距離，稱(chēng)為力臂。逆時(shí)針轉(zhuǎn)向逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎秊檎?，反之，反之為為?fù)。常用負(fù)。常用單位：?jiǎn)挝唬篘m或或 kNm。力矩在下列兩種情況下等于零：力矩在下列兩種情況下等于零：1 1）力等于零；）力等于零； 2 2）力的作用線(xiàn)通過(guò)矩心，即力臂等于零。）力的作用線(xiàn)通過(guò)矩心，即力臂等于零。 【例【例3-43-4】 大小為大小為F=200NF=200N的力，按如圖的力，按如圖3-83-8所示中三所示中三種情況作用在扳手的種情況作用在扳手的A A端，試求三種情況

13、下力端，試求三種情況下力F F對(duì)對(duì)O O點(diǎn)之矩。點(diǎn)之矩。【解】計(jì)算三種情況下力【解】計(jì)算三種情況下力F F對(duì)對(duì)O O點(diǎn)之矩：點(diǎn)之矩：（a）MO (F) =Fd =2000.2cos30=34.64Nm（b）MO (F) =Fd =2000.2sin30=20Nm （c）MO (F) =Fd =2000.2=40Nm 2.2.合力矩定理合力矩定理 合力矩定理：平面匯交力系的合力對(duì)于平面內(nèi)任一合力矩定理：平面匯交力系的合力對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于所有各分力對(duì)于該點(diǎn)之矩的代數(shù)和，即點(diǎn)之矩等于所有各分力對(duì)于該點(diǎn)之矩的代數(shù)和，即MO（FR）= MO（F1）+ MO（F2）+ MO（Fn）=MO（F）（3

14、-63-6）【例【例3-53-5】 如圖如圖3-93-9所示，每所示，每1m1m長(zhǎng)擋土墻所受土壓長(zhǎng)擋土墻所受土壓力的合力為力的合力為F FR R，如，如F FR R=200kN=200kN，求土壓力，求土壓力F FR R使擋土墻傾覆的使擋土墻傾覆的力矩。力矩。圖圖3-9 3-9 【例【例3-53-5】圖】圖 【解】土壓力【解】土壓力F FR R可使擋土墻繞可使擋土墻繞A A點(diǎn)傾覆，故求土壓力點(diǎn)傾覆，故求土壓力FRFR使墻傾覆使墻傾覆的力矩，就是求的力矩，就是求F FR R對(duì)對(duì)A A點(diǎn)的力矩。點(diǎn)的力矩。由已知尺寸求力臂由已知尺寸求力臂d d比較麻煩，但比較麻煩，但如果將如果將F FR R分解為兩

15、個(gè)力分解為兩個(gè)力F F1 1和和F F2 2，則，則兩分力的力臂是已知的，故由式兩分力的力臂是已知的，故由式（3-63-6）可得）可得MA（FR）=MA（F1）+ MA（F2）=F1h/3F2b=FRcos30(h/3) FRsin30b=2000.8661.52000.51.5=109.8kNm3.3.力偶及其基本性質(zhì)力偶及其基本性質(zhì)（1 1）力偶及力偶矩）力偶及力偶矩 把把一對(duì)大小相等、方向相反、不共線(xiàn)的平行力一對(duì)大小相等、方向相反、不共線(xiàn)的平行力組成的特殊力系，稱(chēng)為力偶組成的特殊力系，稱(chēng)為力偶，記作（記作（F F，F(xiàn) F）。）。圖圖3-10 3-10 力偶力偶 把力偶中任何一力的大小把力

16、偶中任何一力的大小F F與力偶臂與力偶臂d d的乘積的乘積FdFd，冠，冠以適當(dāng)正負(fù)號(hào)，作為度量力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的物理量，以適當(dāng)正負(fù)號(hào)，作為度量力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的物理量，稱(chēng)為力偶矩稱(chēng)為力偶矩。M=Fd正負(fù)號(hào)正負(fù)號(hào)：逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎粗疄樨?fù)。逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎粗疄樨?fù)。常用常用單位：?jiǎn)挝唬篘m或或 kNm。 1 1）力偶不能合成為一個(gè)合力，所以不能用一個(gè)力）力偶不能合成為一個(gè)合力，所以不能用一個(gè)力來(lái)代替。來(lái)代替。（2 2）力偶的性質(zhì)）力偶的性質(zhì) 2 2）力偶對(duì)其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩恒等于力偶）力偶對(duì)其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩恒等于力偶矩，而與矩心位置無(wú)關(guān)。矩，而與矩心位置無(wú)關(guān)。 3 3）作用在同一

17、平面內(nèi)的兩個(gè)力偶等效的充分必）作用在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶等效的充分必要條件是力偶矩相等。要條件是力偶矩相等。 力偶的轉(zhuǎn)向力偶的轉(zhuǎn)向 （1 1）力偶三要素）力偶三要素 力偶矩的大小力偶矩的大小 力偶的作用面在空間中的方位力偶的作用面在空間中的方位 1 13 32 2力偶的表示方法力偶的表示方法 力偶除了用力和力矩臂表示外，也可直接用力偶矩力偶除了用力和力矩臂表示外，也可直接用力偶矩表示，即用帶箭頭的折線(xiàn)或者弧線(xiàn)表示力偶矩的轉(zhuǎn)向，表示，即用帶箭頭的折線(xiàn)或者弧線(xiàn)表示力偶矩的轉(zhuǎn)向，用字母用字母M M 表示力偶矩的大小表示力偶矩的大小 作用在同一平面內(nèi)的若干個(gè)力偶組成的力系稱(chēng)為作用在同一平面內(nèi)的若干個(gè)力

18、偶組成的力系稱(chēng)為平面力偶系。平面力偶系。4.4.平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡（2 2）平面力偶系的平衡）平面力偶系的平衡（1 1）平面力偶系的合成）平面力偶系的合成M=0 MMMMMn21【例【例3-63-6】如圖】如圖3-123-12所示，某物體受三個(gè)共面力偶作所示，某物體受三個(gè)共面力偶作用，已知用，已知F F1 1=25kN=25kN，d d1 1=2m=2m，F(xiàn) F2 2=50kN=50kN，d d2 2=1.5m=1.5m，M M3 3= =20kNm20kNm，試求其合力偶。，試求其合力偶?！窘狻俊窘狻縈1=F1d1=252=50kNm合力偶矩為合力偶矩為M2=F2d

19、2=501.5=75kNmM=M1+M2+M3=50+(75)+( 20)= 45 kNm【例【例3-73-7】如圖】如圖3-133-13（a a）所示，簡(jiǎn)支梁）所示，簡(jiǎn)支梁ABAB受一力偶受一力偶的作用，已知力偶的作用，已知力偶 M=60kNmM=60kNm，梁長(zhǎng)，梁長(zhǎng)l=6m=6m，梁的自重不，梁的自重不計(jì)。求梁計(jì)。求梁A A、B B支座處的反力。支座處的反力。由由M=0，得，得FBlM=0FB660=0 FB=10kNFA=FB=10kN3.3 3.3 平面一般力系的簡(jiǎn)化平面一般力系的簡(jiǎn)化1.1.平面一般力系的基本概念平面一般力系的基本概念圖圖3-14 3-14 平面一般力系平面一般力系

20、2.2.力的平移力的平移圖圖3-15 3-15 力的平移力的平移 若將力的作用線(xiàn)隨便平移，若將力的作用線(xiàn)隨便平移，是否是否會(huì)改變它對(duì)會(huì)改變它對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)物體的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)？ 作用在剛體上作用在剛體上A A點(diǎn)的力點(diǎn)的力F F，可以平移到同一剛體上的，可以平移到同一剛體上的任一點(diǎn)任一點(diǎn)O O，但必須附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原來(lái)的力，但必須附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原來(lái)的力F F對(duì)新作用點(diǎn)對(duì)新作用點(diǎn)O O之矩。之矩。 圖圖3-16 3-16 力的平移定理力的平移定理 【例【例3-83-8】如圖】如圖3-173-17（a a）所示，柱子的）所示，柱子的A A點(diǎn)受到吊點(diǎn)受到吊車(chē)梁傳來(lái)的集中力車(chē)梁傳來(lái)的

21、集中力F=120kNF=120kN。求將該力。求將該力F F平移到柱軸上平移到柱軸上O O點(diǎn)時(shí)應(yīng)附加的力偶矩，其中點(diǎn)時(shí)應(yīng)附加的力偶矩，其中e=0.4me=0.4m。圖圖3-17 3-17 【例【例3-83-8】圖】圖M=MO（F）=Fe=1200.4=48kNm【解】【解】負(fù)號(hào)表示該附加力負(fù)號(hào)表示該附加力偶的轉(zhuǎn)向是順時(shí)針的。偶的轉(zhuǎn)向是順時(shí)針的。3.3.平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)的簡(jiǎn)化平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)的簡(jiǎn)化圖圖3-18 3-18 平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)的簡(jiǎn)化平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)的簡(jiǎn)化F1= F1，F(xiàn)2= F2，F(xiàn)n= FnM1=M0(F1)，M2=M0(F2)，Mn=

22、M0(Fn) FR=F1+F2+Fn= F1+F2+Fn=F力系的主矢力系的主矢力系的主力系的主矩矩MO=M1+M2+Mn= MO（F1）+ MO（F2）+ MO（Fn）=MO(F)求主矢求主矢F FR R的大小和方向可應(yīng)用解析法。的大小和方向可應(yīng)用解析法。主矢主矢F FR R在在x x軸和軸和y y軸上的投影為軸上的投影為FRx=F1x+F2x+Fnx= F1x+F2x+Fnx=FxFRy=F1y+F2y+Fny= F1y+F2y+Fny=Fy 主矢主矢F FR R2222)()()()(yxRyRxRFFFFF主矢作用線(xiàn)與坐標(biāo)軸主矢作用線(xiàn)與坐標(biāo)軸x x夾的銳角夾的銳角xyRxRyFFFFa

23、rctanarctan 【例【例3-93-9】一矩形平板】一矩形平板OABCOABC，在其平面內(nèi)受，在其平面內(nèi)受F F1 1、F F2 2及及m m的作用，如圖的作用，如圖3-193-19所示。已知所示。已知F F1 1=20kN=20kN，F(xiàn) F2 2=30kN=30kN，m=100kNmm=100kNm，a=6ma=6m，b=10mb=10m，試將此力系向，試將此力系向O O點(diǎn)簡(jiǎn)化。點(diǎn)簡(jiǎn)化。圖圖3-19 3-19 【例【例3-93-9】圖】圖【解】取【解】取O O點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心，選取坐標(biāo)軸如圖點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心，選取坐標(biāo)軸如圖3-193-19所示。所示。（1 1）求主矢）求主矢F FR R的大小和

24、方向的大小和方向主矢主矢F FR R的大小為的大小為主矢主矢F FR R的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)镕x= F1sin20+F2cos30=200.342+300.866=32.82（kN）Fy= F1cos20+ F2sin30= 200.94+300.5=3.8（kN）338 . 382.382222yxRFFF（kN）1158. 082.328 . 3tanxyFF6 . 6主矢主矢F FR R在第四象限內(nèi)，與在第四象限內(nèi)，與x x軸的夾角為軸的夾角為6.66.6。（2 2）求主矩）求主矩M MO O力系對(duì)點(diǎn)力系對(duì)點(diǎn)O O的主矩為的主矩為MO=MO(F)=F1sin20bF2cos30b + F2s

25、in30a +m=200.34210300.86610+300.56+100=138(kNm)順時(shí)針?lè)较?。順時(shí)針?lè)较颉?.4 3.4 平面一般力系的平衡方程及其應(yīng)用平面一般力系的平衡方程及其應(yīng)用1.1.平面一般力系的平衡條件平面一般力系的平衡條件00ORMF 平面一般力系的平衡的必要和充分條件是：力平面一般力系的平衡的必要和充分條件是：力系的主矢和對(duì)于任一點(diǎn)的主矩都等于零。系的主矢和對(duì)于任一點(diǎn)的主矩都等于零。2.2.平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程二投影一矩式二投影一矩式： 000FMFFOyx 平面一般力系有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可以平面一般力系有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可以求解三個(gè)未

26、知量。求解三個(gè)未知量?！纠纠?-103-10】懸臂式起重機(jī)的水平梁】懸臂式起重機(jī)的水平梁ABAB，A A端以鉸鏈固端以鉸鏈固定，定，B B端用斜桿端用斜桿BCBC拉住，如圖拉住，如圖3-203-20（a a）所示。梁自重）所示。梁自重W=4kNW=4kN，載荷重，載荷重Q=10kNQ=10kN。拉桿。拉桿BCBC的自重不計(jì)，試求拉桿的的自重不計(jì)，試求拉桿的拉力和鉸鏈拉力和鉸鏈A A的約束反力。的約束反力。圖圖3-20 3-20 【例【例3-103-10】圖】圖【解】（【解】（1 1）選取梁）選取梁ABAB與重物一起為研究對(duì)象。與重物一起為研究對(duì)象。（2 2）畫(huà)受力圖。）畫(huà)受力圖。 梁除了受到

27、已知力梁除了受到已知力W W和和Q Q作用外，作用外，還受未知力：斜桿的拉力和鉸鏈還受未知力：斜桿的拉力和鉸鏈A A的約束力作用。因桿的約束力作用。因桿BCBC為二力桿，故拉力為二力桿，故拉力F FB B沿連線(xiàn)沿連線(xiàn)BCBC；鉸鏈；鉸鏈A A的約束力用分兩個(gè)的約束力用分兩個(gè)互相垂直的分力互相垂直的分力F FAxAx和和F FAyAy表示，指向假設(shè)，如圖表示，指向假設(shè)，如圖3-203-20（b b）所示。所示。（3 3）列平衡方程。）列平衡方程。Fx =0 FAxFBcos30=0Fy =0 FAy+FBsin30WQ=0MA(F)=0 FBsin306W3Q4=0（4 4）解聯(lián)立方程。得）解聯(lián)

28、立方程。得FB=17.33kN，F(xiàn)Ax=15.01kN，F(xiàn)Ay =5.33kN（5 5）校核）校核MB(F)=W3+Q 2FAy6= 43+10 25.336=0計(jì)算無(wú)誤。計(jì)算無(wú)誤。平面任意力系平衡方程平面任意力系平衡方程的的其他兩種形式：其他兩種形式：（1 1）二矩式平衡方程）二矩式平衡方程 00)(0FMFMFBAx其中，其中，x x軸不得垂直于軸不得垂直于A A、B B兩點(diǎn)的連線(xiàn)。兩點(diǎn)的連線(xiàn)。（2 2）三矩式平衡方程）三矩式平衡方程0)(0)(0)(FMFMFMCBA其中，其中，A A、B B、C C三點(diǎn)不得共線(xiàn)。三點(diǎn)不得共線(xiàn)?！纠纠?-113-11】如圖】如圖3-213-21（a a

29、）所示一鋼筋混凝土剛架的）所示一鋼筋混凝土剛架的計(jì)算簡(jiǎn)圖，其左側(cè)受到一水平推力計(jì)算簡(jiǎn)圖，其左側(cè)受到一水平推力F=10kNF=10kN的作用。剛架頂?shù)淖饔?。剛架頂上承受均布荷載上承受均布荷載q=15kN/mq=15kN/m，剛架自重不計(jì)，試求，剛架自重不計(jì)，試求A A、D D處的處的支座反力。支座反力。圖圖3-213-21 【例【例3-113-11】圖】圖 【解】（【解】（1 1）取剛架）取剛架ABCDABCD為研究對(duì)象，作受力圖，如圖為研究對(duì)象，作受力圖，如圖3-213-21（b b）所示）所示（2 2）列平衡方程，求解未知量）列平衡方程，求解未知量Fx =0 FFAx=0解得解得（3 3）校

30、核）校核MA(F)=0 FDy6F3q63=0MD(F)=0 FAy6F3+ q63=0FAx=10kN，F(xiàn)Ay =40kN，F(xiàn)Dy=50kNFy =FAyq6+FDy=40156+50=0計(jì)算無(wú)誤。計(jì)算無(wú)誤。3.3.平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 00FMFOx二力矩式二力矩式： 00FMFMBA其中其中A A、B B兩點(diǎn)連線(xiàn)不與各力的作用線(xiàn)平行。兩點(diǎn)連線(xiàn)不與各力的作用線(xiàn)平行。圖圖3-22 3-22 平面平行力系平面平行力系3.5 3.5 物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題 由若干個(gè)物體通過(guò)不同的約束按一定方式連接而由若干個(gè)物體通過(guò)不同的約束按一定方式連接而成的系統(tǒng)，稱(chēng)為物體

31、系統(tǒng)，成的系統(tǒng)，稱(chēng)為物體系統(tǒng)， 當(dāng)物體系平衡時(shí)，組成該系統(tǒng)的每一個(gè)物體都處于當(dāng)物體系平衡時(shí)，組成該系統(tǒng)的每一個(gè)物體都處于平衡狀態(tài)，因此對(duì)于每一個(gè)受平面任意力系作用的物體，平衡狀態(tài)，因此對(duì)于每一個(gè)受平面任意力系作用的物體，均可寫(xiě)出三個(gè)平衡方程。如果物體系是由均可寫(xiě)出三個(gè)平衡方程。如果物體系是由n n個(gè)物體組成，個(gè)物體組成，則共則共3n3n個(gè)獨(dú)立的平衡方程。個(gè)獨(dú)立的平衡方程。靜定問(wèn)題靜定問(wèn)題： 當(dāng)所研究的問(wèn)題的未知量的數(shù)目等于獨(dú)立平衡當(dāng)所研究的問(wèn)題的未知量的數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目時(shí)，所有的未知量都能由平衡方程唯一確定方程的數(shù)目時(shí)，所有的未知量都能由平衡方程唯一確定。超靜定問(wèn)題超靜定問(wèn)題： 結(jié)構(gòu)

32、的未知量數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程數(shù)目，結(jié)構(gòu)的未知量數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程數(shù)目，未知量就不能全部由平衡方程求出未知量就不能全部由平衡方程求出。 在求解靜定的物體系的平衡問(wèn)題時(shí)，可以選物在求解靜定的物體系的平衡問(wèn)題時(shí)，可以選物體系中的每一個(gè)物體為研究對(duì)象，列出全部的獨(dú)立平衡體系中的每一個(gè)物體為研究對(duì)象，列出全部的獨(dú)立平衡方程，然后求解方程，然后求解。 也可以先取整個(gè)物體系為研究對(duì)象，列出獨(dú)立也可以先取整個(gè)物體系為研究對(duì)象，列出獨(dú)立的平衡方程，這樣的方程因不包含內(nèi)力，式中未知量較的平衡方程，這樣的方程因不包含內(nèi)力，式中未知量較少，解出部分未知量后，在從系統(tǒng)中選取某個(gè)物體或幾少，解出部分未知量后，在從系統(tǒng)中

33、選取某個(gè)物體或幾個(gè)物體組成的局部系統(tǒng)為研究對(duì)象，列出相應(yīng)的獨(dú)立平個(gè)物體組成的局部系統(tǒng)為研究對(duì)象，列出相應(yīng)的獨(dú)立平衡方程，直至求出所有未知量為止。衡方程，直至求出所有未知量為止。 【例【例3-123-12】組合梁的】組合梁的支承及荷載情況如圖支承及荷載情況如圖3-233-23（a a）所示，已知）所示，已知F F1 1=10kN=10kN，F(xiàn) F2 2=20kN=20kN，試求支座，試求支座A A、B B、D D及鉸及鉸C C處的約束反力。處的約束反力。圖圖3-23 3-23 【例【例3-123-12】圖】圖 【解】組合梁由梁【解】組合梁由梁ACAC和和CDCD兩段組成，作用兩段組成，作用在每段

34、梁上的力系都是在每段梁上的力系都是平面一般力系，因此可平面一般力系，因此可列出六個(gè)獨(dú)立的平衡方列出六個(gè)獨(dú)立的平衡方程。未知量也有六個(gè)：程。未知量也有六個(gè)：A A、C C處各兩個(gè)，處各兩個(gè)，B B、D D處各一處各一個(gè)。六個(gè)獨(dú)立的平衡方個(gè)。六個(gè)獨(dú)立的平衡方程能求解六個(gè)未知量程能求解六個(gè)未知量梁梁CDCD、梁、梁ACAC及整體及整體梁的受力圖如圖梁的受力圖如圖3-233-23（b b）、（）、（c c）、（）、（d d）所示。各約束反力的指所示。各約束反力的指向都是假定的，但約束向都是假定的，但約束反力反力F FCxCx、F FCyCy必須必須分別與分別與F FCxCx、F FCyCy等值、等值、

35、反向、共線(xiàn)。由三個(gè)受反向、共線(xiàn)。由三個(gè)受力圖可看出，在梁力圖可看出，在梁CDCD上上只有三個(gè)未知力，而在只有三個(gè)未知力，而在梁梁ACAC及整體梁上都各有及整體梁上都各有四個(gè)未知力。因此，應(yīng)四個(gè)未知力。因此，應(yīng)先取梁先取梁CDCD為研究對(duì)象，為研究對(duì)象，求出求出F FCxCx、F FCyCy、F FDyDy，然，然后再考慮梁后再考慮梁ACAC或整體梁或整體梁平衡，就能解出其余未平衡，就能解出其余未知力。知力。（1 1）取）取CDCD梁為研究對(duì)象，如圖梁為研究對(duì)象，如圖3-233-23（b b）所示）所示MC(F)=0 FDy4F2sin602=0Fx =0 FCxF2cos60=0kNFFDy6

36、6. 842866. 0204260sin2FCx=F2cos60= 200.5=10kNFy =0 FCy+ FDyF2sin60=0FCy = F2sin60FDy =200.8668.66=8.66kN（2 2）取）取ACAC梁為研究對(duì)象，如圖梁為研究對(duì)象，如圖3-233-23（c c）所示）所示MA(F)=0 FBy4F126=0Fx =0 FAxFCx =0kNFFFCyBy99.17466. 861024621FAx=FCx=10kNFy =0 FAy F1+FByFCx=0FAy= F1FBy+FCx= 1017.99+8.66=0.67kN（3 3）校核，取整體梁為研究對(duì)象，如

37、圖）校核，取整體梁為研究對(duì)象，如圖3-233-23（d d）所示）所示Fx = FAxF2cos60= 10200.5=0Fy =FAy+ FBy + FDyF1F2sin60=0.67+17.99+8.6610200.866=0計(jì)算無(wú)誤。計(jì)算無(wú)誤?！纠纠?-133-13】鋼筋混凝土三鉸剛架受荷載作用，如圖】鋼筋混凝土三鉸剛架受荷載作用，如圖3-3-2424（a a）所示，已知）所示，已知F=18kNF=18kN，q=12kN/mq=12kN/m，求支座，求支座A A、B B及鉸及鉸C C處的約束反力。處的約束反力。【解】【解】（1 1）取三鉸剛架整體剛架為研究對(duì)象，如圖）取三鉸剛架整體剛架為研究對(duì)象，如圖3-243-24（b b）所示）所示 MA(F)=0 FBy12F8q63=0MB(F)=0 FAy12+F4+ q69=0Fx =0 FAxFBx=0解得解得FAy =60kNFBy=30kNFAx= FBx（2 2）取左半剛架為研究對(duì)象，如圖）取左半剛架為研究對(duì)象，如圖3-243-24（c c）所示）所示Fx