第5章 特征值的估計(jì)與廣義逆矩陣

1、 5.1 特征值的界的估計(jì)特征值的界的估計(jì)5.2 圓盤定理圓盤定理5.3 譜半徑的估計(jì)譜半徑的估計(jì)5.4 廣義逆矩陣與線性方程組的解廣義逆矩陣與線性方程組的解5.5 廣義逆矩陣廣義逆矩陣A+ 矩陣的矩陣的特征值的估計(jì)特征值的估計(jì)與與廣義逆矩陣廣義逆矩陣是矩陣?yán)碚撌蔷仃嚴(yán)碚撝袃蓚€(gè)不同的專門課題，兩者都有豐富的內(nèi)容和許多中兩個(gè)不同的專門課題，兩者都有豐富的內(nèi)容和許多重要的應(yīng)用重要的應(yīng)用. 在本章，僅就這兩方面的內(nèi)容作一基本在本章，僅就這兩方面的內(nèi)容作一基本概述概述.矩陣特征值的計(jì)算與估計(jì)在理論上和實(shí)際應(yīng)用中矩陣特征值的計(jì)算與估計(jì)在理論上和實(shí)際應(yīng)用中都是重要的，但要精確計(jì)算特征值并非總是可能的，都是

2、重要的，但要精確計(jì)算特征值并非總是可能的，即使在某些特殊情況下有可能，可是付出的代價(jià)也是即使在某些特殊情況下有可能，可是付出的代價(jià)也是很大的好在許多應(yīng)用中并不需要精確計(jì)算矩陣的特很大的好在許多應(yīng)用中并不需要精確計(jì)算矩陣的特征值，而征值，而只需要有一個(gè)粗略的估計(jì)只需要有一個(gè)粗略的估計(jì)就夠了就夠了. 例如，在線例如，在線性系統(tǒng)理論中，通過(guò)估計(jì)系統(tǒng)矩陣性系統(tǒng)理論中，通過(guò)估計(jì)系統(tǒng)矩陣A的特征值是否有負(fù)的特征值是否有負(fù)實(shí)部，便可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性；當(dāng)研究一個(gè)迭代法的實(shí)部，便可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性；當(dāng)研究一個(gè)迭代法的收斂性時(shí)便要判斷迭代矩陣的特征值是否都落在單位收斂性時(shí)便要判斷迭代矩陣的特征值是否都落在單位圓內(nèi)

3、；在差分方法的穩(wěn)定性理論以及自控理論中都需圓內(nèi)；在差分方法的穩(wěn)定性理論以及自控理論中都需要估計(jì)矩陣的特征值是否在復(fù)數(shù)平面上的某一確定的要估計(jì)矩陣的特征值是否在復(fù)數(shù)平面上的某一確定的區(qū)域中區(qū)域中.本章要討論的另一個(gè)問題是廣義逆矩陣方面的問題本章要討論的另一個(gè)問題是廣義逆矩陣方面的問題. 我我們知道，若方陣們知道，若方陣A的行列式不等于零，則存在唯一的方陣的行列式不等于零，則存在唯一的方陣B，滿足滿足AB=BA=E，并稱，并稱B為為A的逆矩陣，記為的逆矩陣，記為A- -1. 當(dāng)當(dāng)A不是方不是方陣，或方陣陣，或方陣A的行列式等于零時(shí)，則上述的逆矩陣就不存在的行列式等于零時(shí)，則上述的逆矩陣就不存在.

4、Moore在在1920年將逆矩陣的概念推廣到任意矩陣上，他是用年將逆矩陣的概念推廣到任意矩陣上，他是用正交投影算子來(lái)定義逆矩陣的，人們把他定義的廣義逆矩正交投影算子來(lái)定義逆矩陣的，人們把他定義的廣義逆矩陣稱為陣稱為Moore廣義逆廣義逆. 1955年，年，Penrose用方程組用方程組AGA=A，GAG=G，(AG)H=AG，(GA)H= GA.來(lái)定義來(lái)定義A的的廣義逆廣義逆. 不久以后，不久以后，Bjerhammer證明了證明了Moore逆逆與與Penrose逆的等價(jià)性，所以后來(lái)吧它叫做逆的等價(jià)性，所以后來(lái)吧它叫做MoorePenrose逆，并記為逆，并記為A+ +. 此后，對(duì)廣義逆矩陣的研

5、究又有很大的發(fā)展，此后，對(duì)廣義逆矩陣的研究又有很大的發(fā)展，現(xiàn)已形成了一現(xiàn)已形成了一套系統(tǒng)的理論套系統(tǒng)的理論. . 這里主要介紹這里主要介紹1515種廣義逆矩種廣義逆矩陣中較陣中較常用的常用的A- -及及A+ +兩種兩種，其它就不一一介紹了，其它就不一一介紹了. . 上節(jié)介紹了利用矩陣的元素估計(jì)矩陣特征值的界，本節(jié)上節(jié)介紹了利用矩陣的元素估計(jì)矩陣特征值的界，本節(jié)介紹利用矩陣的元素更準(zhǔn)確地估計(jì)其特征值在復(fù)平面上的分介紹利用矩陣的元素更準(zhǔn)確地估計(jì)其特征值在復(fù)平面上的分布區(qū)域，即特征值在復(fù)平面上的位置做更準(zhǔn)確地估計(jì)布區(qū)域，即特征值在復(fù)平面上的位置做更準(zhǔn)確地估計(jì) 這就這就是圓盤定是圓盤定理理(又稱又稱Gerschgorin定理定理)所表述的所表述的.下面的兩個(gè)定理都稱為圓盤定理下面的兩個(gè)定理都稱為圓盤定理. 取行蓋爾圓的并集與列蓋爾圓的