第5章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1、5.1 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述一、什么是剛體？一、什么是剛體？橡皮泥橡皮泥F剛體：剛體：受力時(shí)形狀和體積都不發(fā)生改變的物體受力時(shí)形狀和體積都不發(fā)生改變的物體F不銹鋼不銹鋼剛體可以看作是由許多質(zhì)剛體可以看作是由許多質(zhì)點(diǎn)組成的，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)叫點(diǎn)組成的，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)叫做剛體的一個(gè)質(zhì)元，剛體做剛體的一個(gè)質(zhì)元，剛體這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的特點(diǎn)特點(diǎn)是：是：在外力作用下各質(zhì)元之在外力作用下各質(zhì)元之間的相對(duì)位置保持不變。間的相對(duì)位置保持不變。 mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj剛體的剛體的平動(dòng)平動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的運(yùn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的運(yùn)動(dòng) m

2、i mj mi mj mi mj二、剛體的運(yùn)動(dòng)二、剛體的運(yùn)動(dòng)選取參考點(diǎn)選取參考點(diǎn)O，則：，則：) 1 (ijijrrrijvvijaacrij對(duì)對(duì)（1）式求導(dǎo)式求導(dǎo)可用剛體上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表整個(gè)可用剛體上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表整個(gè)剛體的平動(dòng)。一般用質(zhì)心。剛體的平動(dòng)。一般用質(zhì)心。 irjr mi mjOijr 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果剛體剛體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果剛體上所有的點(diǎn)都繞同一條直線上所有的點(diǎn)都繞同一條直線作圓周運(yùn)動(dòng)，那么這種運(yùn)動(dòng)作圓周運(yùn)動(dòng)，那么這種運(yùn)動(dòng)就稱之為轉(zhuǎn)動(dòng)。這條直線稱就稱之為轉(zhuǎn)動(dòng)。這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。為轉(zhuǎn)軸。OXYZ注意：以注意：以點(diǎn)為中心點(diǎn)為中心的的轉(zhuǎn)動(dòng)和與以轉(zhuǎn)動(dòng)和與以軸為中心

3、軸為中心的轉(zhuǎn)動(dòng)的區(qū)別的轉(zhuǎn)動(dòng)的區(qū)別一般運(yùn)動(dòng)：一般運(yùn)動(dòng)：剛體的任一位移總可以表示為一個(gè)剛體的任一位移總可以表示為一個(gè)隨質(zhì)心的平動(dòng)加上繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。隨質(zhì)心的平動(dòng)加上繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。蔡斯勒斯定理蔡斯勒斯定理蔡斯勒斯定理蔡斯勒斯定理三、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)三、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，如果轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)，則稱這種在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，如果轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)，則稱這種轉(zhuǎn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2特點(diǎn)：特點(diǎn)： 各質(zhì)元的線速度各質(zhì)元的線速度v、加速度、加速度a不同。不同。 各質(zhì)元角速度各質(zhì)元角速度 和角加速度和角加速度 ；在相同的時(shí)間內(nèi)有相同；在相同的時(shí)間內(nèi)有相同的角位移的角位移 。

4、ddt22dddtdt定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的速度與加速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的速度與加速度離轉(zhuǎn)軸的距離為離轉(zhuǎn)軸的距離為r的質(zhì)元的質(zhì)元的線速度和剛體的角速度的線速度和剛體的角速度的關(guān)系為：的關(guān)系為：rv 其加速度與剛體的角加速度其加速度與剛體的角加速度和角速度之間的關(guān)系為：和角速度之間的關(guān)系為：切向加速度：切向加速度：rat法向加速度：法向加速度：2ran特例：勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)特例：勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)221202200tttOXY一、剛體的平動(dòng)動(dòng)能一、剛體的平動(dòng)動(dòng)能niiikvmE1221平221CMv mi mjMC其平動(dòng)動(dòng)能應(yīng)為各質(zhì)元?jiǎng)悠淦絼?dòng)動(dòng)能應(yīng)為各質(zhì)元?jiǎng)幽苤?。能之和?.5 轉(zhuǎn)動(dòng)中的功與能轉(zhuǎn)動(dòng)中的功與能剛體中各質(zhì)元運(yùn)動(dòng)速率

5、相剛體中各質(zhì)元運(yùn)動(dòng)速率相同，可用質(zhì)心速率代表同，可用質(zhì)心速率代表M剛體繞定軸以角速度剛體繞定軸以角速度 旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)。剛體的動(dòng)能應(yīng)為剛體的動(dòng)能應(yīng)為各質(zhì)元?jiǎng)幽苤停瑸榇烁髻|(zhì)元?jiǎng)幽苤?，為此將剛體分割成很多很小將剛體分割成很多很小的質(zhì)元。的質(zhì)元。ivimr i當(dāng)剛體以角速度當(dāng)剛體以角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，設(shè)其內(nèi)部質(zhì)量轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，設(shè)其內(nèi)部質(zhì)量為為mi的質(zhì)量元的速度為的質(zhì)量元的速度為vi=ri ，動(dòng)能為：，動(dòng)能為：2221122iii imvmr二、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能二、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能22221122Ki ii iEmrmr 整個(gè)剛體繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能為：整個(gè)剛體繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能為：定義：剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義

6、：剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2i iJmr 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能公式：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能公式：212KEJ功功A：質(zhì)點(diǎn)在外力作用下沿力的方向發(fā)生質(zhì)點(diǎn)在外力作用下沿力的方向發(fā)生位移，則力對(duì)質(zhì)點(diǎn)必定做功位移，則力對(duì)質(zhì)點(diǎn)必定做功costdAF drFdrF dr三、動(dòng)能定理三、動(dòng)能定理回回顧顧質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理：221122ABBAAmvmv質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理：KBKAAAEE外內(nèi)1、力矩的功、力矩的功在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中，作用在剛體上某點(diǎn)的力在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中，作用在剛體上某點(diǎn)的力對(duì)剛體產(chǎn)生一個(gè)力矩，如果力矩的作用對(duì)剛體產(chǎn)生一個(gè)力矩，如果力矩的作用使剛體發(fā)生了角位移，那么該力矩也作使剛體發(fā)生了角位移，那么

7、該力矩也作了功。了功。MMdFOrds+設(shè)一剛體的一個(gè)截面與設(shè)一剛體的一個(gè)截面與其轉(zhuǎn)軸正交于其轉(zhuǎn)軸正交于O點(diǎn)，點(diǎn)， 為此截面內(nèi)作用在剛體為此截面內(nèi)作用在剛體上的力。上的力。F在在dt dt 時(shí)間內(nèi)剛體角位時(shí)間內(nèi)剛體角位移為移為d d cossincoscosdAF drFdrFrdsindAFrd dAMdMMdFOrds+F力 做的元功為:.90odrdrr當(dāng)很小時(shí),可認(rèn)為( , )sinr FMr FMrF 力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體作的元功力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體作的元功等于相應(yīng)的力矩和角位等于相應(yīng)的力矩和角位移的乘積。移的乘積。)1(MddA 在一微小過(guò)程中在一微小過(guò)程中力矩作的功力矩作的功21在力矩作用下，剛

8、體的在力矩作用下，剛體的角位置由角位置由則力矩的功為：則力矩的功為：)2(21MddAA力矩的功力矩的功反映反映力矩對(duì)空間的積累作用力矩對(duì)空間的積累作用，力矩越大，在，力矩越大，在空間轉(zhuǎn)過(guò)的角度越大，作的功就越大。這種力矩對(duì)空空間轉(zhuǎn)過(guò)的角度越大，作的功就越大。這種力矩對(duì)空間的積累作用的規(guī)律是什么呢？間的積累作用的規(guī)律是什么呢？OM1XM21X122、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理2122211122MdJJ剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理KBKAAAEE外外內(nèi)內(nèi)也適用于剛體。也適用于剛體。由于剛體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的間距不變，一切內(nèi)力作的功都為零。由于剛體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的間

9、距不變，一切內(nèi)力作的功都為零。而對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而言，外力作的功總表現(xiàn)為外力矩作而對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而言，外力作的功總表現(xiàn)為外力矩作的功，故有：的功，故有：22211122AJJ外外合力矩對(duì)一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功等合力矩對(duì)一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功等于它的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。于它的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。iipgymEgMymMii四、剛體的重力勢(shì)四、剛體的重力勢(shì)能能iim gy任取一質(zhì)元其勢(shì)能為任取一質(zhì)元其勢(shì)能為( (以以O(shè)為參考點(diǎn)）為參考點(diǎn)）CMgyOXY miMCCviyCy結(jié)論：結(jié)論：剛體的重力勢(shì)能決定于剛體的重力勢(shì)能決定于剛體質(zhì)心距勢(shì)能零點(diǎn)的高度，剛體質(zhì)心距勢(shì)能零點(diǎn)的高度，與剛體的方位無(wú)關(guān)。即

10、剛體的與剛體的方位無(wú)關(guān)。即剛體的重力勢(shì)能只要把剛體的質(zhì)量全重力勢(shì)能只要把剛體的質(zhì)量全部集中于質(zhì)心處，當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)部集中于質(zhì)心處，當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)處理即可（無(wú)論平動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)）處理即可（無(wú)論平動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)）221122kCEmvJ對(duì)既有平動(dòng)又有轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的對(duì)既有平動(dòng)又有轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的動(dòng)能、機(jī)械能又如何呢？動(dòng)能、機(jī)械能又如何呢？221122CCEmghmvJ機(jī)機(jī)械械CvCm、JCCh勢(shì)能零點(diǎn)勢(shì)能零點(diǎn)只有保守內(nèi)力作功時(shí)，剛體系統(tǒng)的機(jī)械能也應(yīng)該守恒只有保守內(nèi)力作功時(shí)，剛體系統(tǒng)的機(jī)械能也應(yīng)該守恒例：一條纜索繞過(guò)一定滑輪拉例：一條纜索繞過(guò)一定滑輪拉動(dòng)一升降機(jī)?；啺霃絼?dòng)一升降機(jī)?；啺霃絩=0.5m，如果升降機(jī)從靜止開始以

11、加速如果升降機(jī)從靜止開始以加速度度a=0.4m/s2勻加速上升，求：勻加速上升，求： 滑輪的角加速度；滑輪的角加速度； 開始上升后，開始上升后，t=5s末滑輪的末滑輪的角速度；角速度； 在這在這5s內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)；內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)； 開始上升后，開始上升后，t =1s末滑輪邊末滑輪邊緣上一點(diǎn)的加速度。緣上一點(diǎn)的加速度。(設(shè)纜索與設(shè)纜索與滑輪之間不打滑滑輪之間不打滑)anataar解：解： 輪緣上一點(diǎn)的切向加速度與升輪緣上一點(diǎn)的切向加速度與升降機(jī)加速度相等降機(jī)加速度相等滑輪角加速度為：滑輪角加速度為：20.8/ttaarrad sr 滑輪勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，起始速度為滑輪勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，起始速度為零。故零

12、。故5 5s s末滑輪的角速度為：末滑輪的角速度為：04/trad s 滑輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：滑輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：21102trad相應(yīng)的圈數(shù)為：相應(yīng)的圈數(shù)為：10/2p p=1.6圈圈nataaranaatar 設(shè)輪緣上一點(diǎn)在設(shè)輪緣上一點(diǎn)在t=1s時(shí)的加速度為時(shí)的加速度為a 。22tnaaa 0.4/tam s220.32/narm s000.8/0,0.8/,1trad srad sts可得：可得：222220.40.320.51/tnaaam sarctan38.7(onttaaaaa的的方方向向?yàn)闉? :為為 與與 之之間間的的夾夾角角) )例例1、一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為、一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=2.5k

13、gm2，直徑為，直徑為60cm的飛輪，正以的飛輪，正以130rad/s的角的角速度旋轉(zhuǎn)。現(xiàn)用閘瓦將其制速度旋轉(zhuǎn)?，F(xiàn)用閘瓦將其制動(dòng)，如果閘瓦對(duì)飛輪的正壓動(dòng)，如果閘瓦對(duì)飛輪的正壓力為力為500N，閘瓦與飛輪之，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)為間的摩擦系數(shù)為0.50，求：，求：fdN 飛輪飛輪閘瓦閘瓦 飛輪轉(zhuǎn)過(guò)飛輪轉(zhuǎn)過(guò)10圈時(shí)，摩擦力矩作的功；圈時(shí)，摩擦力矩作的功； 此時(shí)飛輪的角速度是多少？此時(shí)飛輪的角速度是多少？解：解：摩擦力矩作的功摩擦力矩作的功閘瓦對(duì)飛輪的摩擦力為：閘瓦對(duì)飛輪的摩擦力為：Mrf方向如圖方向如圖摩擦力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為：摩擦力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為：250fNN752dMrffN m 根據(jù)根據(jù) 的

14、方向，轉(zhuǎn)軸的方向，轉(zhuǎn)軸( (設(shè)為設(shè)為Z 軸軸) )的正向?yàn)榇怪奔埖恼驗(yàn)榇怪奔埫嫦蛲?，而摩擦力矩的方向?yàn)槊嫦蛲?，而摩擦力矩的方向?yàn)閆 軸負(fù)向。軸負(fù)向。fdN 飛輪飛輪閘瓦閘瓦轉(zhuǎn)過(guò)轉(zhuǎn)過(guò)10圈后摩擦力矩作的功為：圈后摩擦力矩作的功為：2120075471AMddJp 轉(zhuǎn)過(guò)轉(zhuǎn)過(guò)10圈后飛輪的角速度圈后飛輪的角速度根據(jù)動(dòng)能定理：根據(jù)動(dòng)能定理：22211122AJJ2222114712525 13022128.5/rads例例2、一個(gè)質(zhì)量為、一個(gè)質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R的定滑輪的定滑輪(J=1/2MR2)上面繞上面繞有細(xì)繩，繩有細(xì)繩，繩 一端固定在滑輪一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為邊上，另一端掛

15、一質(zhì)量為m的的物體而下垂。忽略軸處摩擦，物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體求物體m由靜止下落由靜止下落h高度時(shí)高度時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。的速度和此時(shí)滑輪的角速度。mg解：解：以滑輪、物體和地球作為研究的系統(tǒng)。以滑輪、物體和地球作為研究的系統(tǒng)。系統(tǒng)外力系統(tǒng)外力(滑輪軸對(duì)滑輪的支持力滑輪軸對(duì)滑輪的支持力)不作功不作功,只有只有保守內(nèi)力保守內(nèi)力(重力重力)作功作功,機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒.mg2211022Jmvmgh滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 物體動(dòng)能物體動(dòng)能物體勢(shì)能物體勢(shì)能Oy如圖建立坐標(biāo)，以物體初始位置為勢(shì)能零如圖建立坐標(biāo)，以物體初始位置為勢(shì)能零點(diǎn)。根據(jù)機(jī)械能守恒：點(diǎn)。根據(jù)機(jī)械能守恒：21,2

16、vJMRR將將代代入入可可解解得得: :42mghvRmMR物體的速度：物體的速度：滑輪角速度：滑輪角速度：42mghvmM5.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算一、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算一、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算剛體對(duì)固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義為：剛體對(duì)固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義為：21nzi iiJJmr233222211RmRmRmJz1m2m3m1R2R3R對(duì)離散物體：對(duì)離散物體：對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體則應(yīng)無(wú)限分割對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體則應(yīng)無(wú)限分割212limni iniMJmrr dm注注意意dm為質(zhì)元質(zhì)量為質(zhì)元質(zhì)量，r為質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸之間的垂直距離。為質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸之間的垂直距離。MimRdldmdsdmdVdm質(zhì)

17、量為線分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布其中其中 、 、 分別分別為質(zhì)量的線密度、為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。面密度和體密度。線分布線分布體分布體分布剛體對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于每剛體對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。距離平方的乘積之總和。面分布面分布2MJr dm注意注意只有對(duì)于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且只有對(duì)于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計(jì)算出均勻分布的剛體，才能用積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例例1、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m、半徑為半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)的均

18、勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心。動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心。解解:2Jr dm注意：注意：J是可加的，所是可加的，所以若為薄圓筒（不計(jì)厚以若為薄圓筒（不計(jì)厚度）結(jié)果相同。度）結(jié)果相同。ROdm222mRdmRdmR Rdl例例2、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m、半徑為半徑為R、厚為厚為l 的均勻圓的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過(guò)盤心。盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過(guò)盤心。解：取半徑為解：取半徑為r寬為寬為dr的薄圓環(huán)的薄圓環(huán),dVdm 2Jr dmZOR2340122RJr dmlr drR lpp可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與l無(wú)關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的無(wú)關(guān)。所以

19、，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是mR2/2。22 12JmR lRmplrdr p p 2例例3、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m,長(zhǎng)為長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)棒對(duì)下面三的均勻細(xì)棒對(duì)下面三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心O并與棒垂直并與棒垂直轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端B并與棒垂直并與棒垂直轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上距質(zhì)心為轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上距質(zhì)心為h的一點(diǎn)的一點(diǎn)A并與棒垂直并與棒垂直hO質(zhì)質(zhì)BA已知：已知：L、m求：求：JO、JB、JA解：以棒中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)解：以棒中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)OX、將棒分割、將棒分割成許多質(zhì)元成許多質(zhì)元dm。dxdmLm/XdxxdmhO質(zhì)質(zhì)BALdxdm

20、Lm/2222LoLJR dmxdx求求JO3211212LmL求求JB220LBJR dmxdx32133LmLXdxxdmhO質(zhì)質(zhì)BAL/222/2h LAh LJR dmxdx求求JA22112mLmh注意：注意：2020( )2BALJJmJJmh平行軸定理平行軸定理：剛體對(duì)任一軸剛體對(duì)任一軸A的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JA和通過(guò)質(zhì)心和通過(guò)質(zhì)心并與并與A軸平行的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸平行的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc有如下關(guān)系：有如下關(guān)系：2mdJJCAm為剛體的質(zhì)量為剛體的質(zhì)量d為軸為軸A與軸與軸C之間的垂直距離之間的垂直距離 CMAd二、平行軸定理二、平行軸定理圖示剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且圖示剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的

21、轉(zhuǎn)動(dòng)慣與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算？量如何計(jì)算？(棒長(zhǎng)為棒長(zhǎng)為L(zhǎng)、球半徑為球半徑為R）2113LLJm L225ooJm R2220000()LJJmdJm L R22212()35LooJm Lm RmLRLmOm棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：根據(jù)平行軸定理根據(jù)平行軸定理圖示剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：圖示剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：討論：影響剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的因素討論：影響剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的因素1）剛體的質(zhì)量：）剛體的質(zhì)量：形狀、大小相同的均勻剛體，形狀、大小相同的均勻剛體，總質(zhì)量越大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大?？傎|(zhì)量越大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大。2MJr dm2）剛體的質(zhì)量分布：）剛體的質(zhì)量分布：總質(zhì)量相同的

22、剛體，質(zhì)總質(zhì)量相同的剛體，質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)量分布離軸越遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大。慣量越大。例：圓環(huán)例：圓環(huán) J=mR2, 圓盤圓盤 J=1/2mR22MJr dm3）剛體轉(zhuǎn)軸的位置）剛體轉(zhuǎn)軸的位置:同一剛體，轉(zhuǎn)軸不同，質(zhì)量對(duì)軸的分布同一剛體，轉(zhuǎn)軸不同，質(zhì)量對(duì)軸的分布就不同，因而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也就不同。就不同，因而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也就不同。ABL/2L/2CX2211,123CAJmL JmL2mdJJCA例：平行軸定理例：平行軸定理一些常見的均勻剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一些常見的均勻剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體形剛體形狀狀轉(zhuǎn)軸位置轉(zhuǎn)軸位置轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量細(xì)桿細(xì)桿沿環(huán)直徑沿環(huán)直徑通過(guò)環(huán)心垂直于環(huán)面通過(guò)環(huán)心垂直于環(huán)面213JmL2J

23、mR薄圓盤薄圓盤(圓柱體圓柱體)通過(guò)中點(diǎn)垂直于桿通過(guò)中點(diǎn)垂直于桿通過(guò)一端垂直于桿通過(guò)一端垂直于桿2112JmL212JmR薄圓環(huán)薄圓環(huán)(筒筒)沿盤直徑沿盤直徑通過(guò)盤心垂直于盤面通過(guò)盤心垂直于盤面212JmR214JmR一些常見的均勻剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一些常見的均勻剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體形剛體形狀狀轉(zhuǎn)軸位置轉(zhuǎn)軸位置轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量沿切線沿切線通過(guò)球心通過(guò)球心225JmR薄球殼薄球殼圓柱體圓柱體通過(guò)中心垂直于幾何軸通過(guò)中心垂直于幾何軸221142JmRmL275JmR球體球體沿直徑沿直徑223JmR212JmR沿幾何軸沿幾何軸5.2 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律這一物理過(guò)程的規(guī)律由牛頓第二定律來(lái)表示。這一物理過(guò)程的規(guī)

24、律由牛頓第二定律來(lái)表示。Fma在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中，力是引起質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的原在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中，力是引起質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的原因，力的作用使質(zhì)點(diǎn)獲得了加速度。因，力的作用使質(zhì)點(diǎn)獲得了加速度。在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩是引起剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)變化在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩是引起剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)變化的原因，力矩的作用使剛體獲得了角加速度。的原因，力矩的作用使剛體獲得了角加速度。這一物理過(guò)程的規(guī)律由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理來(lái)描述。這一物理過(guò)程的規(guī)律由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理來(lái)描述。問(wèn)問(wèn)題題剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理的表達(dá)式是什么樣的？與牛剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理的表達(dá)式是什么樣的？與牛頓第二定律有無(wú)相似之處？頓第二定律有無(wú)相似之處？OZ剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：21222

25、11122MdJJ取其微分形式：取其微分形式：212MddJJd 要得到角速度與角加速度，等式兩端同除以要得到角速度與角加速度，等式兩端同除以dt。ddMJdtdt,dddtdtMJ剛體所受的剛體所受的對(duì)于某一固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩對(duì)于某一固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于剛體等于剛體對(duì)此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體在此合外力矩作用下所與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。獲得的角加速度的乘積。 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律比比較較 數(shù)學(xué)形式上相似，數(shù)學(xué)形式上相似，M與與F相對(duì)應(yīng)，相對(duì)應(yīng)，J與與m相對(duì)應(yīng)，相對(duì)應(yīng)， 與與a相對(duì)應(yīng)。相對(duì)應(yīng)。剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：MJ牛頓第

26、二定律：牛頓第二定律：Fma 由牛頓第二定律可知：由牛頓第二定律可知：相同相同F(xiàn) 作用下，作用下，m較大的質(zhì)較大的質(zhì)點(diǎn)，點(diǎn)，a小，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不易改變，慣性大；小，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不易改變，慣性大；m較小較小的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)，a大，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)易改變，慣性小。大，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)易改變，慣性小。由剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得出類似結(jié)論：由剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得出類似結(jié)論：相同相同M作用下，作用下，J 較大的剛體，獲得的較大的剛體，獲得的 小，其轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)小，其轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)易改變，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大；易改變，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大；J 較小的剛體，獲得的較小的剛體，獲得的 大，大，轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)易改變，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性小。轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)易改變，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性小。J表示剛體

27、在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的慣性。表示剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的慣性。一個(gè)外徑和質(zhì)量相同的實(shí)心圓柱與一個(gè)外徑和質(zhì)量相同的實(shí)心圓柱與空心圓筒，若空心圓筒，若 受力和力矩一樣，受力和力矩一樣，誰(shuí)轉(zhuǎn)動(dòng)得快些呢？誰(shuí)轉(zhuǎn)動(dòng)得快些呢？ZZMJMMJ J 相對(duì)較大，相對(duì)較大， 相相對(duì)較小，轉(zhuǎn)動(dòng)較慢對(duì)較小，轉(zhuǎn)動(dòng)較慢?質(zhì)量分布影響演示實(shí)驗(yàn)質(zhì)量分布影響演示實(shí)驗(yàn)注注意意如何求力對(duì)軸的力矩？如何求力對(duì)軸的力矩？如圖可將力分解為如圖可將力分解為兩個(gè)力，只求那個(gè)兩個(gè)力，只求那個(gè)垂直于軸的力的力垂直于軸的力的力矩就可以了。矩就可以了。ZFF F ZMr力對(duì)軸的力矩實(shí)際上力對(duì)軸的力矩實(shí)際上是力矩沿軸的分量。是力矩沿軸的分量。例、一質(zhì)

28、量例、一質(zhì)量m1為的物體繞在一半徑為為的物體繞在一半徑為r質(zhì)質(zhì)量為量為m2的圓盤上的圓盤上,開紿時(shí)靜止開紿時(shí)靜止,求重物的加求重物的加速度、繩中的張力和速度、繩中的張力和t 時(shí)刻重物下降多高時(shí)刻重物下降多高? (繩的質(zhì)量與軸上的摩擦力不計(jì)繩的質(zhì)量與軸上的摩擦力不計(jì)).rm2m1rm2m1m1grm2gTT N已知已知: : m1 、m2、r求：求：a、T、h解：解：如圖建立坐標(biāo)。如圖建立坐標(biāo)。a+ +ar受力分析：受力分析：如圖所示如圖所示列方程求解：列方程求解：T r =J T=T 221mrJ 對(duì)物體用牛頓第二定律對(duì)物體用牛頓第二定律對(duì)圓盤，由剛體定對(duì)圓盤，由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：

29、2212rTm r根據(jù)滑輪與物體間的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，有：根據(jù)滑輪與物體間的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，有：yZ11 - mgTma3個(gè)未知量個(gè)未知量a, ,T，3個(gè)方個(gè)方程，聯(lián)立求解可得：程，聯(lián)立求解可得：ar2212rTm r11 - m gTm a112112121222222m gammm gmmrm m gTmm221ath m1gt22m1+m2=a等于常數(shù)且初速為零等于常數(shù)且初速為零!t 時(shí)刻重物下降高度為：時(shí)刻重物下降高度為：例例2、一靜止剛體受到一不變力矩、一靜止剛體受到一不變力矩M0（N.m)的作用的作用, ,同時(shí)引起一阻力矩同時(shí)引起一阻力矩M1， M1與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度成正比與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度

30、成正比, ,即即|M1|=k (k為常數(shù)為常數(shù)) )。又已知?jiǎng)傮w對(duì)轉(zhuǎn)軸。又已知?jiǎng)傮w對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J J, ,試求剛體角速度的變化試求剛體角速度的變化規(guī)律。規(guī)律。M+M0M1J求：求： （t t）= =？解：解：1 1）以剛體為研究對(duì)象；）以剛體為研究對(duì)象；2 2）分析受力矩）分析受力矩3 3）建立軸的正方向；）建立軸的正方向；4 4）列方程：）列方程：01MMJM+M0M1J已知：已知：M0M1= k J |t=0=0求出求出 即可求出即可求出 0MkJ1Mk 0MkddtJ0ddtMkJ000tddtMkJ01(1)ktJMek分離變量分離變量?jī)啥朔e分兩端積分5.4 剛體的角

31、動(dòng)量和角動(dòng)量守恒剛體的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒剛體是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系，它繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)然應(yīng)該剛體是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系，它繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)然應(yīng)該具有角動(dòng)量。具有角動(dòng)量。回回顧顧角動(dòng)量：角動(dòng)量：( ,);sinsinr FLrP LrPrmv做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)其圓心的角動(dòng)量大小為：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)其圓心的角動(dòng)量大小為：Lmrv角動(dòng)量定理：角動(dòng)量定理：dLMdt角動(dòng)量守恒定律：角動(dòng)量守恒定律：0,ML則則常常矢矢量量力矩：力矩：( ,);sinr FMrF MrFrF一、剛體的角動(dòng)量及其沿定軸的分量一、剛體的角動(dòng)量及其沿定軸的分量剛體可看作質(zhì)點(diǎn)系剛體可看作質(zhì)點(diǎn)系, , 角動(dòng)量等于各質(zhì)元角動(dòng)量矢量和角

32、動(dòng)量等于各質(zhì)元角動(dòng)量矢量和以角速度以角速度 繞繞OZ軸旋轉(zhuǎn)的均勻細(xì)軸旋轉(zhuǎn)的均勻細(xì)棒棒, , 將棒分割成許多質(zhì)元。將棒分割成許多質(zhì)元。nimmmm21,OZ mi ii iiLmrv iriL任一任一mi 對(duì)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為：點(diǎn)的角動(dòng)量為：iv irii iiLmrv i iiLmrv L故棒的總角動(dòng)量故棒的總角動(dòng)量 的大小為：的大小為：由由O到質(zhì)元到質(zhì)元mi的距離的距離iv miiriL mj jLjvOZLjriR 方向如圖，可見角動(dòng)量不一方向如圖，可見角動(dòng)量不一定與定與Z軸方向相同。軸方向相同。i iiLmrv L棒的總角動(dòng)量棒的總角動(dòng)量 的大小為：的大小為：我們感興趣的是研究定軸轉(zhuǎn)動(dòng)我們

33、感興趣的是研究定軸轉(zhuǎn)動(dòng),即即要研究角動(dòng)量在要研究角動(dòng)量在Z軸的分量軸的分量2()ziziiLLm Rcoscosizii iiLLmrv 2iZiiLmR iZii iLmRv 質(zhì)元質(zhì)元mi到轉(zhuǎn)軸的到轉(zhuǎn)軸的距離距離cosiirRiivR2i imrJZLJ作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量等于剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量等于剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。慣量與角速度的乘積。izLiv二、剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量定理二、剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量定理根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：MJddtd JddLMJdtdtdt剛體所受的剛體所受的對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩

34、等于剛體等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸角對(duì)轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量動(dòng)量的變化率。的變化率。注注意意dLMdt比比MJ更具遍性。更具遍性。例如，當(dāng)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不是常量時(shí)，例如，當(dāng)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不是常量時(shí)，MJ不再適用，而不再適用，而dLMdt仍有效。仍有效。三、剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒三、剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，如果剛體所受外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的合力矩在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，如果剛體所受外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的合力矩為零時(shí)，剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量不隨時(shí)間變化。為零時(shí)，剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量不隨時(shí)間變化。即：即：00dLMLJdt時(shí)時(shí), ,恒恒量量剛體對(duì)定轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒定律剛體對(duì)定轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒定律實(shí)例：實(shí)例：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量守恒定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量

35、守恒1定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量守恒定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量守恒2例例1、一根長(zhǎng)、一根長(zhǎng)l，質(zhì)量為，質(zhì)量為M的均勻直棒，其一的均勻直棒，其一端掛在一個(gè)水平光滑軸上而靜止在豎直位置。端掛在一個(gè)水平光滑軸上而靜止在豎直位置。今有一子彈，質(zhì)量為今有一子彈，質(zhì)量為m，以水平速度，以水平速度v0 射入射入棒的下端而不復(fù)出。求棒和子彈開始一起運(yùn)棒的下端而不復(fù)出。求棒和子彈開始一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度。動(dòng)時(shí)的角速度。分析分析：棒是剛體，不能用質(zhì)點(diǎn)水平動(dòng)棒是剛體，不能用質(zhì)點(diǎn)水平動(dòng)量守恒來(lái)計(jì)算，要用角動(dòng)量計(jì)算。量守恒來(lái)計(jì)算，要用角動(dòng)量計(jì)算。從子彈進(jìn)入棒到二者開始一起運(yùn)動(dòng)所從子彈進(jìn)入棒到二者開始一起運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間極短，在這一過(guò)程中棒的經(jīng)過(guò)

36、的時(shí)間極短，在這一過(guò)程中棒的位置基本不變，仍保持豎直。因此，位置基本不變，仍保持豎直。因此，在子彈沖入過(guò)程中，系統(tǒng)所受的外力在子彈沖入過(guò)程中，系統(tǒng)所受的外力（重力和軸的支持力）對(duì)軸（重力和軸的支持力）對(duì)軸O的力矩都的力矩都為零，系統(tǒng)對(duì)軸為零，系統(tǒng)對(duì)軸O的角動(dòng)量守恒。的角動(dòng)量守恒。Ov0vm解：解：以以v 和和 分別表示子彈和棒一起開始分別表示子彈和棒一起開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，棒端點(diǎn)的速度和角速度。以垂運(yùn)動(dòng)時(shí)，棒端點(diǎn)的速度和角速度。以垂直紙面向外為直紙面向外為Z 軸（轉(zhuǎn)軸軸（轉(zhuǎn)軸O）正向。）正向。根據(jù)角動(dòng)量守恒：根據(jù)角動(dòng)量守恒：初態(tài)系統(tǒng)角動(dòng)量為：初態(tài)系統(tǒng)角動(dòng)量為：00Lmlv子彈對(duì)子彈對(duì)O軸的軸的角動(dòng)量，

37、棒角角動(dòng)量，棒角動(dòng)量為零。動(dòng)量為零。解得：解得：末態(tài)系統(tǒng)角動(dòng)量為：末態(tài)系統(tǒng)角動(dòng)量為：2213LmlvJmlMl棒棒對(duì)對(duì)O軸的軸的角動(dòng)量角動(dòng)量22013mlvmlMl033vmmMlOv0vmxROMm例例2、一個(gè)質(zhì)量為、一個(gè)質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R的水平均勻的水平均勻圓盤可繞通過(guò)中心的光滑豎直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。圓盤可繞通過(guò)中心的光滑豎直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。在盤緣上站著一個(gè)質(zhì)量為在盤緣上站著一個(gè)質(zhì)量為m 的人，二者最的人，二者最初都相對(duì)地面靜止。當(dāng)人在盤上沿盤邊走初都相對(duì)地面靜止。當(dāng)人在盤上沿盤邊走一周時(shí)，盤對(duì)地面轉(zhuǎn)過(guò)的角度多大？一周時(shí)，盤對(duì)地面轉(zhuǎn)過(guò)的角度多大？分析：分析：對(duì)盤和人組成的系統(tǒng)，對(duì)盤和人組成的

38、系統(tǒng)，人在走動(dòng)時(shí)系統(tǒng)所受的對(duì)豎人在走動(dòng)時(shí)系統(tǒng)所受的對(duì)豎直軸的外力矩為零（摩擦力直軸的外力矩為零（摩擦力是內(nèi)力），系統(tǒng)對(duì)此軸的角是內(nèi)力），系統(tǒng)對(duì)此軸的角動(dòng)量守恒。可利用角動(dòng)量守動(dòng)量守恒?？衫媒莿?dòng)量守恒定律求解。恒定律求解。解：解：初態(tài)系統(tǒng)角動(dòng)量為零。初態(tài)系統(tǒng)角動(dòng)量為零。以以 j 和和 J 分別表示人和盤對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以分別表示人和盤對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以 和和 W W 分別表示任一時(shí)刻人和盤的角速度。根據(jù)角動(dòng)量守恒，分別表示任一時(shí)刻人和盤的角速度。根據(jù)角動(dòng)量守恒，任一時(shí)刻系統(tǒng)角動(dòng)量為：任一時(shí)刻系統(tǒng)角動(dòng)量為：以以 和和Q Q分別表示人和盤對(duì)地分別表示人和盤對(duì)地面發(fā)生的角位移，則有：面發(fā)生的角位

39、移，則有：人可視為質(zhì)點(diǎn)，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：人可視為質(zhì)點(diǎn)，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：22i ijmrmR盤對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：盤對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：212JMR,dddtdtQW 0jJW . . 將這些量代入將這些量代入式可得：式可得：2212ddmRMRdtdtQ兩邊同乘兩邊同乘dt并積分并積分220012mR dMR dQQ12mMQ2pQ222mmMpQ 2pQQ人人相相對(duì)對(duì)于于盤盤直直了了一一周周, ,而而盤盤反反向向走走了了 , ,所所以以人人實(shí)實(shí)際際相相對(duì)對(duì)于于地地面面參參考考系系走走了了例例3、如圖所示的宇宙飛船對(duì)于其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)、如圖所示的宇宙飛船對(duì)于其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為慣量為J=5103

40、 kgm2，正以，正以 =0.1 rad/s的角的角速度繞中心軸旋轉(zhuǎn)。宇航員想用兩個(gè)切向的控速度繞中心軸旋轉(zhuǎn)。宇航員想用兩個(gè)切向的控制噴管使飛船停止旋轉(zhuǎn)。每個(gè)噴管的位置與軸制噴管使飛船停止旋轉(zhuǎn)。每個(gè)噴管的位置與軸線距離都是線距離都是r=1.5m，兩噴管的噴氣流量恒定，兩噴管的噴氣流量恒定，共是共是q=2 kg/s。廢氣的噴射速率。廢氣的噴射速率(相對(duì)飛船周邊相對(duì)飛船周邊) u=50 kg/s，并且恒定。問(wèn)噴管應(yīng)噴射多長(zhǎng)時(shí)間，并且恒定。問(wèn)噴管應(yīng)噴射多長(zhǎng)時(shí)間才能使飛船停止旋轉(zhuǎn)。才能使飛船停止旋轉(zhuǎn)。-u-uLgL0 r-u-uLgL0 r分析：分析：廢氣是從飛船中噴廢氣是從飛船中噴射出來(lái)的，若以飛船

41、和廢射出來(lái)的，若以飛船和廢氣為系統(tǒng)，則系統(tǒng)外力氣為系統(tǒng)，則系統(tǒng)外力(引引力力)對(duì)其中心軸的力矩為零對(duì)其中心軸的力矩為零,系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。飛船飛船繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng),角動(dòng)量角動(dòng)量L0=J 。噴出廢氣。噴出廢氣后后,廢氣具一定角動(dòng)量。因系統(tǒng)廢氣具一定角動(dòng)量。因系統(tǒng)L守恒，守恒，L廢氣廢氣則則L飛船飛船，當(dāng)，當(dāng)L飛船飛船全部轉(zhuǎn)化為全部轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)廢氣廢氣時(shí)，飛船時(shí)，飛船停止轉(zhuǎn)動(dòng)。停止轉(zhuǎn)動(dòng)。廢氣角動(dòng)量如何實(shí)現(xiàn)增加呢？廢氣角動(dòng)量如何實(shí)現(xiàn)增加呢？-u-uLgL0 r在噴氣過(guò)程中，以在噴氣過(guò)程中，以dm表示表示dt時(shí)時(shí)間內(nèi)噴出的氣體，這些氣體對(duì)間內(nèi)噴出的氣體，這些氣體對(duì)中心的角動(dòng)量為：中心

42、的角動(dòng)量為：廢氣的速度廢氣的速度u的方向?yàn)轱w船周邊切線方向上，故的方向?yàn)轱w船周邊切線方向上，故rv。dLdm ruv dm的廢氣產(chǎn)生的角動(dòng)量為：的廢氣產(chǎn)生的角動(dòng)量為：LrpLr mv 飛船周邊速率，飛船周邊速率，v= r在整個(gè)噴射過(guò)程中，噴出的廢氣的總角動(dòng)量應(yīng)為：在整個(gè)噴射過(guò)程中，噴出的廢氣的總角動(dòng)量應(yīng)為：由于由于uv，所以，所以dLdm ru0mgLdm rumru廢氣角動(dòng)量的增加靠廢氣量的增加來(lái)實(shí)現(xiàn)。飛船每秒廢氣角動(dòng)量的增加靠廢氣量的增加來(lái)實(shí)現(xiàn)。飛船每秒噴噴2廢氣，只要知道所需廢氣總量，就可求出所需廢氣，只要知道所需廢氣總量，就可求出所需時(shí)間。時(shí)間。-u-uLgL0 r解：以廢氣和飛船作為

43、系統(tǒng)。解：以廢氣和飛船作為系統(tǒng)。系統(tǒng)對(duì)中心軸的外力矩為零，系統(tǒng)對(duì)中心軸的外力矩為零，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。初態(tài)：初態(tài)：廢氣質(zhì)量遠(yuǎn)小于飛船質(zhì)量，故原來(lái)系統(tǒng)對(duì)飛船廢氣質(zhì)量遠(yuǎn)小于飛船質(zhì)量，故原來(lái)系統(tǒng)對(duì)飛船中心軸的角動(dòng)量近似等于飛船自身的角動(dòng)量。中心軸的角動(dòng)量近似等于飛船自身的角動(dòng)量。末態(tài)：末態(tài)：0LJ飛船角動(dòng)量為零，系統(tǒng)角動(dòng)量等于廢氣角動(dòng)量。飛船角動(dòng)量為零，系統(tǒng)角動(dòng)量等于廢氣角動(dòng)量。gLmru根據(jù)角動(dòng)量守恒，有：根據(jù)角動(dòng)量守恒，有：JJmrumru所求時(shí)間為：所求時(shí)間為： 35 100.13.32 1.5 50mJtsqqru例例4、如圖所示，一根長(zhǎng)、如圖所示，一根長(zhǎng)l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的

44、均勻桿的均勻桿靜止在一光滑水平面上。這的中點(diǎn)有一豎直靜止在一光滑水平面上。這的中點(diǎn)有一豎直光滑固定軸。一個(gè)質(zhì)量為光滑固定軸。一個(gè)質(zhì)量為m 的小球以水平速的小球以水平速度度 v0 垂直于棒沖擊其一端并粘上。求碰撞后垂直于棒沖擊其一端并粘上。求碰撞后球的速度球的速度 v 和棒的角速度和棒的角速度 以及由此產(chǎn)碰撞而以及由此產(chǎn)碰撞而損失的機(jī)械能。損失的機(jī)械能。vOl0vm解：以棒和球?yàn)橄到y(tǒng)。對(duì)于軸解：以棒和球?yàn)橄到y(tǒng)。對(duì)于軸O，碰撞過(guò)程中外力矩為零，角動(dòng)量碰撞過(guò)程中外力矩為零，角動(dòng)量守恒。守恒。初態(tài)：初態(tài)：末態(tài)：末態(tài)：00,2lLLmr vmv棒棒球球221,1212 24LJmlllLmr vmml棒

45、球由系統(tǒng)角動(dòng)量守恒可得：由系統(tǒng)角動(dòng)量守恒可得：2201112124mlvmlml解得：解得：0323mvlvrmm063mvmm lvOl0vm由碰撞而損失的機(jī)械能為由碰撞而損失的機(jī)械能為(勢(shì)能不變，故不考慮勢(shì)能不變，故不考慮)：初態(tài)機(jī)械能：初態(tài)機(jī)械能：機(jī)械能的損失為：機(jī)械能的損失為：222202222002011 1122 124611 1122 1243132Emvmlmlmvmvmlmlmm lmmvmm 200,2lEEmv K K棒棒K K球球 222211,1224lJmlJr dmmml棒棒球球末態(tài)機(jī)械能：末態(tài)機(jī)械能：2211,22EJEJK K棒棒棒棒K K球球球球例例4、求一

46、質(zhì)量為、求一質(zhì)量為m 的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：一球繞解：一球繞Z軸旋轉(zhuǎn)，離球軸旋轉(zhuǎn)，離球心心Z高處切一厚為高處切一厚為dz的薄圓的薄圓盤。其半徑為：盤。其半徑為：22ZRrdZZRdZrdV)(222ppdZZRdVdm)(22pdZZRdmrdJ2222)(2121p其體積為：其體積為：其質(zhì)量為：其質(zhì)量為：其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：YXZORrd ZZdmrdJ2212552158mRRp334RmpdJJRRdZZR222)(21pYXZORrd ZdZZR222)(21p例例1、一根長(zhǎng)為、一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒

47、，的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺求它由此下擺 角時(shí)的角加速度和角速度角時(shí)的角加速度和角速度，這時(shí)棒受軸的力的大小、方向各如何？這時(shí)棒受軸的力的大小、方向各如何？ Ogdmdmldl F受力分析：根據(jù)題意，棒受軸受力分析：根據(jù)題意，棒受軸的力不能忽略，所以棒受兩個(gè)的力不能忽略，所以棒受兩個(gè)力：自身的重力和軸對(duì)它的作力：自身的重力和軸對(duì)它的作用力。用力。棒下擺至棒下擺至 時(shí)的角加速度時(shí)的角加速度細(xì)棒對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：細(xì)棒對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：213Jml只

48、需求出合外力矩只需求出合外力矩M，即可求出角加速度。由于軸對(duì)，即可求出角加速度。由于軸對(duì)細(xì)棒的作用力的作用點(diǎn)在轉(zhuǎn)軸上，所以此力對(duì)轉(zhuǎn)軸不細(xì)棒的作用力的作用點(diǎn)在轉(zhuǎn)軸上，所以此力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩，細(xì)棒所受外力矩為重力對(duì)轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生力矩，細(xì)棒所受外力矩為重力對(duì)轉(zhuǎn)軸O的力矩。的力矩。分析：分析： Ogdmdmldl FM J根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理：根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理：MdMx dm ggxdmM r FdM x dm g 根據(jù)質(zhì)心的定義：根據(jù)質(zhì)心的定義：如圖建立坐標(biāo)。取棒上一質(zhì)量為如圖建立坐標(biāo)。取棒上一質(zhì)量為dm的的質(zhì)元質(zhì)元。當(dāng)棒下擺至。當(dāng)棒下擺至 時(shí)，它時(shí)，它所受的重力對(duì)軸所受的重力對(duì)軸O的力矩為：的力矩

49、為：質(zhì)元質(zhì)元dm對(duì)對(duì)軸軸O的的水水平坐標(biāo)平坐標(biāo)整個(gè)棒受的重力對(duì)軸整個(gè)棒受的重力對(duì)軸O的力矩應(yīng)為：的力矩應(yīng)為：ccxdmxxdmm xm質(zhì)心的水質(zhì)心的水平坐標(biāo)平坐標(biāo)細(xì)棒質(zhì)心在其中點(diǎn)細(xì)棒質(zhì)心在其中點(diǎn)1cos2cxl1cos2Mmgl所以有：所以有：可得：可得：cMmgx21cos3cos2123mglgMJlml可得：可得： Ogdmdmldl Fxxy棒下擺至棒下擺至 時(shí)的角速度時(shí)的角速度分析：分析：角加速度角加速度 不是個(gè)恒量，而是個(gè)與不是個(gè)恒量，而是個(gè)與 有關(guān)有關(guān)的變量，不能直接用來(lái)求角速度。同時(shí)，力矩作的變量，不能直接用來(lái)求角速度。同時(shí)，力矩作用的細(xì)節(jié)和時(shí)間我們都不知道，只能嘗試用守恒用的細(xì)節(jié)和時(shí)間我們都不知道，只能嘗試用守恒律來(lái)求解