第5章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動

1、5.1 剛體轉(zhuǎn)動的描述剛體轉(zhuǎn)動的描述一、什么是剛體？一、什么是剛體？橡皮泥橡皮泥F剛體：剛體：受力時形狀和體積都不發(fā)生改變的物體受力時形狀和體積都不發(fā)生改變的物體F不銹鋼不銹鋼剛體可以看作是由許多質(zhì)剛體可以看作是由許多質(zhì)點組成的，每一個質(zhì)點叫點組成的，每一個質(zhì)點叫做剛體的一個質(zhì)元，剛體做剛體的一個質(zhì)元，剛體這個質(zhì)點系的這個質(zhì)點系的特點特點是：是：在外力作用下各質(zhì)元之在外力作用下各質(zhì)元之間的相對位置保持不變。間的相對位置保持不變。 mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj剛體的剛體的平動平動剛體運動時，剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的運動剛體運動時，剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的運動 m

2、i mj mi mj mi mj二、剛體的運動二、剛體的運動選取參考點選取參考點O，則：，則：) 1 (ijijrrrijvvijaacrij對對（1）式求導(dǎo)式求導(dǎo)可用剛體上任意一點的運動來代表整個可用剛體上任意一點的運動來代表整個剛體的平動。一般用質(zhì)心。剛體的平動。一般用質(zhì)心。 irjr mi mjOijr 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動剛體運動過程中，如果剛體剛體運動過程中，如果剛體上所有的點都繞同一條直線上所有的點都繞同一條直線作圓周運動，那么這種運動作圓周運動，那么這種運動就稱之為轉(zhuǎn)動。這條直線稱就稱之為轉(zhuǎn)動。這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。為轉(zhuǎn)軸。OXYZ注意：以注意：以點為中心點為中心的的轉(zhuǎn)動和與以轉(zhuǎn)動和與以軸為中心

3、軸為中心的轉(zhuǎn)動的區(qū)別的轉(zhuǎn)動的區(qū)別一般運動：一般運動：剛體的任一位移總可以表示為一個剛體的任一位移總可以表示為一個隨質(zhì)心的平動加上繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。隨質(zhì)心的平動加上繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。蔡斯勒斯定理蔡斯勒斯定理蔡斯勒斯定理蔡斯勒斯定理三、剛體的定軸轉(zhuǎn)動三、剛體的定軸轉(zhuǎn)動在剛體轉(zhuǎn)動過程中，如果轉(zhuǎn)軸固定不動，則稱這種在剛體轉(zhuǎn)動過程中，如果轉(zhuǎn)軸固定不動，則稱這種轉(zhuǎn)動為定軸轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動為定軸轉(zhuǎn)動。定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動1定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動2特點：特點： 各質(zhì)元的線速度各質(zhì)元的線速度v、加速度、加速度a不同。不同。 各質(zhì)元角速度各質(zhì)元角速度 和角加速度和角加速度 ；在相同的時間內(nèi)有相同；在相同的時間內(nèi)有相同的角位移的角位移 。

4、ddt22dddtdt定軸轉(zhuǎn)動的速度與加速度定軸轉(zhuǎn)動的速度與加速度離轉(zhuǎn)軸的距離為離轉(zhuǎn)軸的距離為r的質(zhì)元的質(zhì)元的線速度和剛體的角速度的線速度和剛體的角速度的關(guān)系為：的關(guān)系為：rv 其加速度與剛體的角加速度其加速度與剛體的角加速度和角速度之間的關(guān)系為：和角速度之間的關(guān)系為：切向加速度：切向加速度：rat法向加速度：法向加速度：2ran特例：勻加速轉(zhuǎn)動特例：勻加速轉(zhuǎn)動221202200tttOXY一、剛體的平動動能一、剛體的平動動能niiikvmE1221平221CMv mi mjMC其平動動能應(yīng)為各質(zhì)元動其平動動能應(yīng)為各質(zhì)元動能之和。能之和。5.5 轉(zhuǎn)動中的功與能轉(zhuǎn)動中的功與能剛體中各質(zhì)元運動速率

5、相剛體中各質(zhì)元運動速率相同，可用質(zhì)心速率代表同，可用質(zhì)心速率代表M剛體繞定軸以角速度剛體繞定軸以角速度 旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)。剛體的動能應(yīng)為剛體的動能應(yīng)為各質(zhì)元動能之和，為此各質(zhì)元動能之和，為此將剛體分割成很多很小將剛體分割成很多很小的質(zhì)元。的質(zhì)元。ivimr i當(dāng)剛體以角速度當(dāng)剛體以角速度 轉(zhuǎn)動時，設(shè)其內(nèi)部質(zhì)量轉(zhuǎn)動時，設(shè)其內(nèi)部質(zhì)量為為mi的質(zhì)量元的速度為的質(zhì)量元的速度為vi=ri ，動能為：，動能為：2221122iii imvmr二、剛體的轉(zhuǎn)動動能二、剛體的轉(zhuǎn)動動能22221122Ki ii iEmrmr 整個剛體繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的動能為：整個剛體繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的動能為：定義：剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量定義

6、：剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量J2i iJmr 剛體的轉(zhuǎn)動動能公式：剛體的轉(zhuǎn)動動能公式：212KEJ功功A：質(zhì)點在外力作用下沿力的方向發(fā)生質(zhì)點在外力作用下沿力的方向發(fā)生位移，則力對質(zhì)點必定做功位移，則力對質(zhì)點必定做功costdAF drFdrF dr三、動能定理三、動能定理回回顧顧質(zhì)點動能定理：質(zhì)點動能定理：221122ABBAAmvmv質(zhì)點系動能定理：質(zhì)點系動能定理：KBKAAAEE外內(nèi)1、力矩的功、力矩的功在剛體轉(zhuǎn)動中，作用在剛體上某點的力在剛體轉(zhuǎn)動中，作用在剛體上某點的力對剛體產(chǎn)生一個力矩，如果力矩的作用對剛體產(chǎn)生一個力矩，如果力矩的作用使剛體發(fā)生了角位移，那么該力矩也作使剛體發(fā)生了角位移，那么

7、該力矩也作了功。了功。MMdFOrds+設(shè)一剛體的一個截面與設(shè)一剛體的一個截面與其轉(zhuǎn)軸正交于其轉(zhuǎn)軸正交于O點，點， 為此截面內(nèi)作用在剛體為此截面內(nèi)作用在剛體上的力。上的力。F在在dt dt 時間內(nèi)剛體角位時間內(nèi)剛體角位移為移為d d cossincoscosdAF drFdrFrdsindAFrd dAMdMMdFOrds+F力 做的元功為:.90odrdrr當(dāng)很小時,可認(rèn)為( , )sinr FMr FMrF 力對轉(zhuǎn)動剛體作的元功力對轉(zhuǎn)動剛體作的元功等于相應(yīng)的力矩和角位等于相應(yīng)的力矩和角位移的乘積。移的乘積。)1(MddA 在一微小過程中在一微小過程中力矩作的功力矩作的功21在力矩作用下，剛

8、體的在力矩作用下，剛體的角位置由角位置由則力矩的功為：則力矩的功為：)2(21MddAA力矩的功力矩的功反映反映力矩對空間的積累作用力矩對空間的積累作用，力矩越大，在，力矩越大，在空間轉(zhuǎn)過的角度越大，作的功就越大。這種力矩對空空間轉(zhuǎn)過的角度越大，作的功就越大。這種力矩對空間的積累作用的規(guī)律是什么呢？間的積累作用的規(guī)律是什么呢？OM1XM21X122、定軸轉(zhuǎn)動的動能定理、定軸轉(zhuǎn)動的動能定理2122211122MdJJ剛體轉(zhuǎn)動的動能定理剛體轉(zhuǎn)動的動能定理質(zhì)點系動能定理質(zhì)點系動能定理KBKAAAEE外外內(nèi)內(nèi)也適用于剛體。也適用于剛體。由于剛體內(nèi)質(zhì)點的間距不變，一切內(nèi)力作的功都為零。由于剛體內(nèi)質(zhì)點的間

9、距不變，一切內(nèi)力作的功都為零。而對于定軸轉(zhuǎn)動而言，外力作的功總表現(xiàn)為外力矩作而對于定軸轉(zhuǎn)動而言，外力作的功總表現(xiàn)為外力矩作的功，故有：的功，故有：22211122AJJ外外合力矩對一個繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等合力矩對一個繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于它的轉(zhuǎn)動動能的增量。于它的轉(zhuǎn)動動能的增量。iipgymEgMymMii四、剛體的重力勢四、剛體的重力勢能能iim gy任取一質(zhì)元其勢能為任取一質(zhì)元其勢能為( (以以O(shè)為參考點）為參考點）CMgyOXY miMCCviyCy結(jié)論：結(jié)論：剛體的重力勢能決定于剛體的重力勢能決定于剛體質(zhì)心距勢能零點的高度，剛體質(zhì)心距勢能零點的高度，與剛體的方位無關(guān)。即

10、剛體的與剛體的方位無關(guān)。即剛體的重力勢能只要把剛體的質(zhì)量全重力勢能只要把剛體的質(zhì)量全部集中于質(zhì)心處，當(dāng)一個質(zhì)點部集中于質(zhì)心處，當(dāng)一個質(zhì)點處理即可（無論平動或轉(zhuǎn)動）處理即可（無論平動或轉(zhuǎn)動）221122kCEmvJ對既有平動又有轉(zhuǎn)動的剛體的對既有平動又有轉(zhuǎn)動的剛體的動能、機(jī)械能又如何呢？動能、機(jī)械能又如何呢？221122CCEmghmvJ機(jī)機(jī)械械CvCm、JCCh勢能零點勢能零點只有保守內(nèi)力作功時，剛體系統(tǒng)的機(jī)械能也應(yīng)該守恒只有保守內(nèi)力作功時，剛體系統(tǒng)的機(jī)械能也應(yīng)該守恒例：一條纜索繞過一定滑輪拉例：一條纜索繞過一定滑輪拉動一升降機(jī)?；啺霃絼右簧禉C(jī)?；啺霃絩=0.5m，如果升降機(jī)從靜止開始以

11、加速如果升降機(jī)從靜止開始以加速度度a=0.4m/s2勻加速上升，求：勻加速上升，求： 滑輪的角加速度；滑輪的角加速度； 開始上升后，開始上升后，t=5s末滑輪的末滑輪的角速度；角速度； 在這在這5s內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)； 開始上升后，開始上升后，t =1s末滑輪邊末滑輪邊緣上一點的加速度。緣上一點的加速度。(設(shè)纜索與設(shè)纜索與滑輪之間不打滑滑輪之間不打滑)anataar解：解： 輪緣上一點的切向加速度與升輪緣上一點的切向加速度與升降機(jī)加速度相等降機(jī)加速度相等滑輪角加速度為：滑輪角加速度為：20.8/ttaarrad sr 滑輪勻加速轉(zhuǎn)動，起始速度為滑輪勻加速轉(zhuǎn)動，起始速度為零。故零

12、。故5 5s s末滑輪的角速度為：末滑輪的角速度為：04/trad s 滑輪轉(zhuǎn)過的角度為：滑輪轉(zhuǎn)過的角度為：21102trad相應(yīng)的圈數(shù)為：相應(yīng)的圈數(shù)為：10/2p p=1.6圈圈nataaranaatar 設(shè)輪緣上一點在設(shè)輪緣上一點在t=1s時的加速度為時的加速度為a 。22tnaaa 0.4/tam s220.32/narm s000.8/0,0.8/,1trad srad sts可得：可得：222220.40.320.51/tnaaam sarctan38.7(onttaaaaa的的方方向向為為: :為為 與與 之之間間的的夾夾角角) )例例1、一個轉(zhuǎn)動慣量為、一個轉(zhuǎn)動慣量為J=2.5k

13、gm2，直徑為，直徑為60cm的飛輪，正以的飛輪，正以130rad/s的角的角速度旋轉(zhuǎn)?，F(xiàn)用閘瓦將其制速度旋轉(zhuǎn)。現(xiàn)用閘瓦將其制動，如果閘瓦對飛輪的正壓動，如果閘瓦對飛輪的正壓力為力為500N，閘瓦與飛輪之，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)為間的摩擦系數(shù)為0.50，求：，求：fdN 飛輪飛輪閘瓦閘瓦 飛輪轉(zhuǎn)過飛輪轉(zhuǎn)過10圈時，摩擦力矩作的功；圈時，摩擦力矩作的功； 此時飛輪的角速度是多少？此時飛輪的角速度是多少？解：解：摩擦力矩作的功摩擦力矩作的功閘瓦對飛輪的摩擦力為：閘瓦對飛輪的摩擦力為：Mrf方向如圖方向如圖摩擦力對轉(zhuǎn)軸的力矩為：摩擦力對轉(zhuǎn)軸的力矩為：250fNN752dMrffN m 根據(jù)根據(jù) 的

14、方向，轉(zhuǎn)軸的方向，轉(zhuǎn)軸( (設(shè)為設(shè)為Z 軸軸) )的正向為垂直紙的正向為垂直紙面向外，而摩擦力矩的方向為面向外，而摩擦力矩的方向為Z 軸負(fù)向。軸負(fù)向。fdN 飛輪飛輪閘瓦閘瓦轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過10圈后摩擦力矩作的功為：圈后摩擦力矩作的功為：2120075471AMddJp 轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過10圈后飛輪的角速度圈后飛輪的角速度根據(jù)動能定理：根據(jù)動能定理：22211122AJJ2222114712525 13022128.5/rads例例2、一個質(zhì)量為、一個質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R的定滑輪的定滑輪(J=1/2MR2)上面繞上面繞有細(xì)繩，繩有細(xì)繩，繩 一端固定在滑輪一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為邊上，另一端掛

15、一質(zhì)量為m的的物體而下垂。忽略軸處摩擦，物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體求物體m由靜止下落由靜止下落h高度時高度時的速度和此時滑輪的角速度。的速度和此時滑輪的角速度。mg解：解：以滑輪、物體和地球作為研究的系統(tǒng)。以滑輪、物體和地球作為研究的系統(tǒng)。系統(tǒng)外力系統(tǒng)外力(滑輪軸對滑輪的支持力滑輪軸對滑輪的支持力)不作功不作功,只有只有保守內(nèi)力保守內(nèi)力(重力重力)作功作功,機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒.mg2211022Jmvmgh滑輪轉(zhuǎn)動動能滑輪轉(zhuǎn)動動能 物體動能物體動能物體勢能物體勢能Oy如圖建立坐標(biāo)，以物體初始位置為勢能零如圖建立坐標(biāo)，以物體初始位置為勢能零點。根據(jù)機(jī)械能守恒：點。根據(jù)機(jī)械能守恒：21,2

16、vJMRR將將代代入入可可解解得得: :42mghvRmMR物體的速度：物體的速度：滑輪角速度：滑輪角速度：42mghvmM5.3 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算一、轉(zhuǎn)動慣量的計算一、轉(zhuǎn)動慣量的計算剛體對固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量的定義為：剛體對固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量的定義為：21nzi iiJJmr233222211RmRmRmJz1m2m3m1R2R3R對離散物體：對離散物體：對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體則應(yīng)無限分割對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體則應(yīng)無限分割212limni iniMJmrr dm注注意意dm為質(zhì)元質(zhì)量為質(zhì)元質(zhì)量，r為質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸之間的垂直距離。為質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸之間的垂直距離。MimRdldmdsdmdVdm質(zhì)

17、量為線分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布其中其中 、 、 分別分別為質(zhì)量的線密度、為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。面密度和體密度。線分布線分布體分布體分布剛體對某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于每剛體對某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于每個質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的個質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。距離平方的乘積之總和。面分布面分布2MJr dm注意注意只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計算出均勻分布的剛體，才能用積分計算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量剛體的轉(zhuǎn)動慣量例例1、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m、半徑為半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)的均

18、勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解解:2Jr dm注意：注意：J是可加的，所是可加的，所以若為薄圓筒（不計厚以若為薄圓筒（不計厚度）結(jié)果相同。度）結(jié)果相同。ROdm222mRdmRdmR Rdl例例2、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m、半徑為半徑為R、厚為厚為l 的均勻圓的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為解：取半徑為r寬為寬為dr的薄圓環(huán)的薄圓環(huán),dVdm 2Jr dmZOR2340122RJr dmlr drR lpp可見，轉(zhuǎn)動慣量與可見，轉(zhuǎn)動慣量與l無關(guān)。所以，實心圓柱對其軸的無關(guān)。所以

19、，實心圓柱對其軸的轉(zhuǎn)動慣量也是轉(zhuǎn)動慣量也是mR2/2。22 12JmR lRmplrdr p p 2例例3、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m,長為長為L的均勻細(xì)棒對下面三的均勻細(xì)棒對下面三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：轉(zhuǎn)軸通過棒的中心轉(zhuǎn)軸通過棒的中心O并與棒垂直并與棒垂直轉(zhuǎn)軸通過棒的一端轉(zhuǎn)軸通過棒的一端B并與棒垂直并與棒垂直轉(zhuǎn)軸通過棒上距質(zhì)心為轉(zhuǎn)軸通過棒上距質(zhì)心為h的一點的一點A并與棒垂直并與棒垂直hO質(zhì)質(zhì)BA已知：已知：L、m求：求：JO、JB、JA解：以棒中心為原點建立坐標(biāo)解：以棒中心為原點建立坐標(biāo)OX、將棒分割、將棒分割成許多質(zhì)元成許多質(zhì)元dm。dxdmLm/XdxxdmhO質(zhì)質(zhì)BALdxdm

20、Lm/2222LoLJR dmxdx求求JO3211212LmL求求JB220LBJR dmxdx32133LmLXdxxdmhO質(zhì)質(zhì)BAL/222/2h LAh LJR dmxdx求求JA22112mLmh注意：注意：2020( )2BALJJmJJmh平行軸定理平行軸定理：剛體對任一軸剛體對任一軸A的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量JA和通過質(zhì)心和通過質(zhì)心并與并與A軸平行的轉(zhuǎn)動慣量軸平行的轉(zhuǎn)動慣量Jc有如下關(guān)系：有如下關(guān)系：2mdJJCAm為剛體的質(zhì)量為剛體的質(zhì)量d為軸為軸A與軸與軸C之間的垂直距離之間的垂直距離 CMAd二、平行軸定理二、平行軸定理圖示剛體對經(jīng)過棒端且圖示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的

21、轉(zhuǎn)動慣與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何計算？量如何計算？(棒長為棒長為L、球半徑為球半徑為R）2113LLJm L225ooJm R2220000()LJJmdJm L R22212()35LooJm Lm RmLRLmOm棒的轉(zhuǎn)動慣量：棒的轉(zhuǎn)動慣量：球的轉(zhuǎn)動慣量：球的轉(zhuǎn)動慣量：根據(jù)平行軸定理根據(jù)平行軸定理圖示剛體的轉(zhuǎn)動慣量為：圖示剛體的轉(zhuǎn)動慣量為：討論：影響剛體轉(zhuǎn)動慣量的因素討論：影響剛體轉(zhuǎn)動慣量的因素1）剛體的質(zhì)量：）剛體的質(zhì)量：形狀、大小相同的均勻剛體，形狀、大小相同的均勻剛體，總質(zhì)量越大，轉(zhuǎn)動慣量越大?？傎|(zhì)量越大，轉(zhuǎn)動慣量越大。2MJr dm2）剛體的質(zhì)量分布：）剛體的質(zhì)量分布：總質(zhì)量相同的

22、剛體，質(zhì)總質(zhì)量相同的剛體，質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)動量分布離軸越遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)動慣量越大。慣量越大。例：圓環(huán)例：圓環(huán) J=mR2, 圓盤圓盤 J=1/2mR22MJr dm3）剛體轉(zhuǎn)軸的位置）剛體轉(zhuǎn)軸的位置:同一剛體，轉(zhuǎn)軸不同，質(zhì)量對軸的分布同一剛體，轉(zhuǎn)軸不同，質(zhì)量對軸的分布就不同，因而轉(zhuǎn)動慣量也就不同。就不同，因而轉(zhuǎn)動慣量也就不同。ABL/2L/2CX2211,123CAJmL JmL2mdJJCA例：平行軸定理例：平行軸定理一些常見的均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量一些常見的均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量剛體形剛體形狀狀轉(zhuǎn)軸位置轉(zhuǎn)軸位置轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量細(xì)桿細(xì)桿沿環(huán)直徑沿環(huán)直徑通過環(huán)心垂直于環(huán)面通過環(huán)心垂直于環(huán)面213JmL2J

23、mR薄圓盤薄圓盤(圓柱體圓柱體)通過中點垂直于桿通過中點垂直于桿通過一端垂直于桿通過一端垂直于桿2112JmL212JmR薄圓環(huán)薄圓環(huán)(筒筒)沿盤直徑沿盤直徑通過盤心垂直于盤面通過盤心垂直于盤面212JmR214JmR一些常見的均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量一些常見的均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量剛體形剛體形狀狀轉(zhuǎn)軸位置轉(zhuǎn)軸位置轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量沿切線沿切線通過球心通過球心225JmR薄球殼薄球殼圓柱體圓柱體通過中心垂直于幾何軸通過中心垂直于幾何軸221142JmRmL275JmR球體球體沿直徑沿直徑223JmR212JmR沿幾何軸沿幾何軸5.2 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律這一物理過程的規(guī)律由牛頓第二定律來表示。這一物理過程的規(guī)

24、律由牛頓第二定律來表示。Fma在質(zhì)點運動中，力是引起質(zhì)點運動狀態(tài)變化的原在質(zhì)點運動中，力是引起質(zhì)點運動狀態(tài)變化的原因，力的作用使質(zhì)點獲得了加速度。因，力的作用使質(zhì)點獲得了加速度。在剛體轉(zhuǎn)動中，力矩是引起剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)變化在剛體轉(zhuǎn)動中，力矩是引起剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)變化的原因，力矩的作用使剛體獲得了角加速度。的原因，力矩的作用使剛體獲得了角加速度。這一物理過程的規(guī)律由剛體轉(zhuǎn)動定理來描述。這一物理過程的規(guī)律由剛體轉(zhuǎn)動定理來描述。問問題題剛體轉(zhuǎn)動定理的表達(dá)式是什么樣的？與牛剛體轉(zhuǎn)動定理的表達(dá)式是什么樣的？與牛頓第二定律有無相似之處？頓第二定律有無相似之處？OZ剛體轉(zhuǎn)動的動能定理：剛體轉(zhuǎn)動的動能定理：21222

25、11122MdJJ取其微分形式：取其微分形式：212MddJJd 要得到角速度與角加速度，等式兩端同除以要得到角速度與角加速度，等式兩端同除以dt。ddMJdtdt,dddtdtMJ剛體所受的剛體所受的對于某一固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩對于某一固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于剛體等于剛體對此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量對此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體在此合外力矩作用下所與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。獲得的角加速度的乘積。 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律比比較較 數(shù)學(xué)形式上相似，數(shù)學(xué)形式上相似，M與與F相對應(yīng)，相對應(yīng)，J與與m相對應(yīng)，相對應(yīng)， 與與a相對應(yīng)。相對應(yīng)。剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律：剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律：MJ牛頓第

26、二定律：牛頓第二定律：Fma 由牛頓第二定律可知：由牛頓第二定律可知：相同相同F(xiàn) 作用下，作用下，m較大的質(zhì)較大的質(zhì)點，點，a小，其運動狀態(tài)不易改變，慣性大；小，其運動狀態(tài)不易改變，慣性大；m較小較小的質(zhì)點的質(zhì)點，a大，其運動狀態(tài)易改變，慣性小。大，其運動狀態(tài)易改變，慣性小。由剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律可得出類似結(jié)論：由剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律可得出類似結(jié)論：相同相同M作用下，作用下，J 較大的剛體，獲得的較大的剛體，獲得的 小，其轉(zhuǎn)動狀態(tài)小，其轉(zhuǎn)動狀態(tài)易改變，轉(zhuǎn)動慣性大；易改變，轉(zhuǎn)動慣性大；J 較小的剛體，獲得的較小的剛體，獲得的 大，大，轉(zhuǎn)動狀態(tài)易改變，轉(zhuǎn)動慣性小。轉(zhuǎn)動狀態(tài)易改變，轉(zhuǎn)動慣性小。J表示剛體

27、在轉(zhuǎn)動過程中表現(xiàn)出來的慣性。表示剛體在轉(zhuǎn)動過程中表現(xiàn)出來的慣性。一個外徑和質(zhì)量相同的實心圓柱與一個外徑和質(zhì)量相同的實心圓柱與空心圓筒，若空心圓筒，若 受力和力矩一樣，受力和力矩一樣，誰轉(zhuǎn)動得快些呢？誰轉(zhuǎn)動得快些呢？ZZMJMMJ J 相對較大，相對較大， 相相對較小，轉(zhuǎn)動較慢對較小，轉(zhuǎn)動較慢?質(zhì)量分布影響演示實驗質(zhì)量分布影響演示實驗注注意意如何求力對軸的力矩？如何求力對軸的力矩？如圖可將力分解為如圖可將力分解為兩個力，只求那個兩個力，只求那個垂直于軸的力的力垂直于軸的力的力矩就可以了。矩就可以了。ZFF F ZMr力對軸的力矩實際上力對軸的力矩實際上是力矩沿軸的分量。是力矩沿軸的分量。例、一質(zhì)

28、量例、一質(zhì)量m1為的物體繞在一半徑為為的物體繞在一半徑為r質(zhì)質(zhì)量為量為m2的圓盤上的圓盤上,開紿時靜止開紿時靜止,求重物的加求重物的加速度、繩中的張力和速度、繩中的張力和t 時刻重物下降多高時刻重物下降多高? (繩的質(zhì)量與軸上的摩擦力不計繩的質(zhì)量與軸上的摩擦力不計).rm2m1rm2m1m1grm2gTT N已知已知: : m1 、m2、r求：求：a、T、h解：解：如圖建立坐標(biāo)。如圖建立坐標(biāo)。a+ +ar受力分析：受力分析：如圖所示如圖所示列方程求解：列方程求解：T r =J T=T 221mrJ 對物體用牛頓第二定律對物體用牛頓第二定律對圓盤，由剛體定對圓盤，由剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：軸轉(zhuǎn)動定律：

29、2212rTm r根據(jù)滑輪與物體間的運動學(xué)關(guān)系，有：根據(jù)滑輪與物體間的運動學(xué)關(guān)系，有：yZ11 - mgTma3個未知量個未知量a, ,T，3個方個方程，聯(lián)立求解可得：程，聯(lián)立求解可得：ar2212rTm r11 - m gTm a112112121222222m gammm gmmrm m gTmm221ath m1gt22m1+m2=a等于常數(shù)且初速為零等于常數(shù)且初速為零!t 時刻重物下降高度為：時刻重物下降高度為：例例2、一靜止剛體受到一不變力矩、一靜止剛體受到一不變力矩M0（N.m)的作用的作用, ,同時引起一阻力矩同時引起一阻力矩M1， M1與剛體轉(zhuǎn)動的角速度成正比與剛體轉(zhuǎn)動的角速度

30、成正比, ,即即|M1|=k (k為常數(shù)為常數(shù)) )。又已知剛體對轉(zhuǎn)軸。又已知剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)動慣量為J J, ,試求剛體角速度的變化試求剛體角速度的變化規(guī)律。規(guī)律。M+M0M1J求：求： （t t）= =？解：解：1 1）以剛體為研究對象；）以剛體為研究對象；2 2）分析受力矩）分析受力矩3 3）建立軸的正方向；）建立軸的正方向；4 4）列方程：）列方程：01MMJM+M0M1J已知：已知：M0M1= k J |t=0=0求出求出 即可求出即可求出 0MkJ1Mk 0MkddtJ0ddtMkJ000tddtMkJ01(1)ktJMek分離變量分離變量兩端積分兩端積分5.4 剛體的角

31、動量和角動量守恒剛體的角動量和角動量守恒剛體是一種特殊的質(zhì)點系，它繞定軸轉(zhuǎn)動，當(dāng)然應(yīng)該剛體是一種特殊的質(zhì)點系，它繞定軸轉(zhuǎn)動，當(dāng)然應(yīng)該具有角動量。具有角動量?；鼗仡欘櫧莿恿浚航莿恿浚? ,);sinsinr FLrP LrPrmv做勻速圓周運動的質(zhì)點對其圓心的角動量大小為：做勻速圓周運動的質(zhì)點對其圓心的角動量大小為：Lmrv角動量定理：角動量定理：dLMdt角動量守恒定律：角動量守恒定律：0,ML則則常常矢矢量量力矩：力矩：( ,);sinr FMrF MrFrF一、剛體的角動量及其沿定軸的分量一、剛體的角動量及其沿定軸的分量剛體可看作質(zhì)點系剛體可看作質(zhì)點系, , 角動量等于各質(zhì)元角動量矢量和角

32、動量等于各質(zhì)元角動量矢量和以角速度以角速度 繞繞OZ軸旋轉(zhuǎn)的均勻細(xì)軸旋轉(zhuǎn)的均勻細(xì)棒棒, , 將棒分割成許多質(zhì)元。將棒分割成許多質(zhì)元。nimmmm21,OZ mi ii iiLmrv iriL任一任一mi 對對O點的角動量為：點的角動量為：iv irii iiLmrv i iiLmrv L故棒的總角動量故棒的總角動量 的大小為：的大小為：由由O到質(zhì)元到質(zhì)元mi的距離的距離iv miiriL mj jLjvOZLjriR 方向如圖，可見角動量不一方向如圖，可見角動量不一定與定與Z軸方向相同。軸方向相同。i iiLmrv L棒的總角動量棒的總角動量 的大小為：的大小為：我們感興趣的是研究定軸轉(zhuǎn)動我們

33、感興趣的是研究定軸轉(zhuǎn)動,即即要研究角動量在要研究角動量在Z軸的分量軸的分量2()ziziiLLm Rcoscosizii iiLLmrv 2iZiiLmR iZii iLmRv 質(zhì)元質(zhì)元mi到轉(zhuǎn)軸的到轉(zhuǎn)軸的距離距離cosiirRiivR2i imrJZLJ作定軸轉(zhuǎn)動的剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量等于剛體對同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動作定軸轉(zhuǎn)動的剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量等于剛體對同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。慣量與角速度的乘積。izLiv二、剛體對定軸的角動量定理二、剛體對定軸的角動量定理根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：MJddtd JddLMJdtdtdt剛體所受的剛體所受的對轉(zhuǎn)軸的合外力矩對轉(zhuǎn)軸的合外力矩

34、等于剛體等于剛體對轉(zhuǎn)軸角對轉(zhuǎn)軸角動量動量的變化率。的變化率。注注意意dLMdt比比MJ更具遍性。更具遍性。例如，當(dāng)物體的轉(zhuǎn)動慣量不是常量時，例如，當(dāng)物體的轉(zhuǎn)動慣量不是常量時，MJ不再適用，而不再適用，而dLMdt仍有效。仍有效。三、剛體對定軸的角動量守恒三、剛體對定軸的角動量守恒在定軸轉(zhuǎn)動中，如果剛體所受外力對轉(zhuǎn)軸的合力矩在定軸轉(zhuǎn)動中，如果剛體所受外力對轉(zhuǎn)軸的合力矩為零時，剛體對同一轉(zhuǎn)軸的角動量不隨時間變化。為零時，剛體對同一轉(zhuǎn)軸的角動量不隨時間變化。即：即：00dLMLJdt時時, ,恒恒量量剛體對定轉(zhuǎn)軸的角動量守恒定律剛體對定轉(zhuǎn)軸的角動量守恒定律實例：實例：定軸轉(zhuǎn)動角動量守恒定軸轉(zhuǎn)動角動量

35、守恒1定軸轉(zhuǎn)動角動量守恒定軸轉(zhuǎn)動角動量守恒2例例1、一根長、一根長l，質(zhì)量為，質(zhì)量為M的均勻直棒，其一的均勻直棒，其一端掛在一個水平光滑軸上而靜止在豎直位置。端掛在一個水平光滑軸上而靜止在豎直位置。今有一子彈，質(zhì)量為今有一子彈，質(zhì)量為m，以水平速度，以水平速度v0 射入射入棒的下端而不復(fù)出。求棒和子彈開始一起運棒的下端而不復(fù)出。求棒和子彈開始一起運動時的角速度。動時的角速度。分析分析：棒是剛體，不能用質(zhì)點水平動棒是剛體，不能用質(zhì)點水平動量守恒來計算，要用角動量計算。量守恒來計算，要用角動量計算。從子彈進(jìn)入棒到二者開始一起運動所從子彈進(jìn)入棒到二者開始一起運動所經(jīng)過的時間極短，在這一過程中棒的經(jīng)過

36、的時間極短，在這一過程中棒的位置基本不變，仍保持豎直。因此，位置基本不變，仍保持豎直。因此，在子彈沖入過程中，系統(tǒng)所受的外力在子彈沖入過程中，系統(tǒng)所受的外力（重力和軸的支持力）對軸（重力和軸的支持力）對軸O的力矩都的力矩都為零，系統(tǒng)對軸為零，系統(tǒng)對軸O的角動量守恒。的角動量守恒。Ov0vm解：解：以以v 和和 分別表示子彈和棒一起開始分別表示子彈和棒一起開始運動時，棒端點的速度和角速度。以垂運動時，棒端點的速度和角速度。以垂直紙面向外為直紙面向外為Z 軸（轉(zhuǎn)軸軸（轉(zhuǎn)軸O）正向。）正向。根據(jù)角動量守恒：根據(jù)角動量守恒：初態(tài)系統(tǒng)角動量為：初態(tài)系統(tǒng)角動量為：00Lmlv子彈對子彈對O軸的軸的角動量，

37、棒角角動量，棒角動量為零。動量為零。解得：解得：末態(tài)系統(tǒng)角動量為：末態(tài)系統(tǒng)角動量為：2213LmlvJmlMl棒棒對對O軸的軸的角動量角動量22013mlvmlMl033vmmMlOv0vmxROMm例例2、一個質(zhì)量為、一個質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R的水平均勻的水平均勻圓盤可繞通過中心的光滑豎直軸自由轉(zhuǎn)動。圓盤可繞通過中心的光滑豎直軸自由轉(zhuǎn)動。在盤緣上站著一個質(zhì)量為在盤緣上站著一個質(zhì)量為m 的人，二者最的人，二者最初都相對地面靜止。當(dāng)人在盤上沿盤邊走初都相對地面靜止。當(dāng)人在盤上沿盤邊走一周時，盤對地面轉(zhuǎn)過的角度多大？一周時，盤對地面轉(zhuǎn)過的角度多大？分析：分析：對盤和人組成的系統(tǒng)，對盤和人組成的

38、系統(tǒng)，人在走動時系統(tǒng)所受的對豎人在走動時系統(tǒng)所受的對豎直軸的外力矩為零（摩擦力直軸的外力矩為零（摩擦力是內(nèi)力），系統(tǒng)對此軸的角是內(nèi)力），系統(tǒng)對此軸的角動量守恒?？衫媒莿恿渴貏恿渴睾恪？衫媒莿恿渴睾愣汕蠼狻：愣汕蠼?。解：解：初態(tài)系統(tǒng)角動量為零。初態(tài)系統(tǒng)角動量為零。以以 j 和和 J 分別表示人和盤對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，以分別表示人和盤對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，以 和和 W W 分別表示任一時刻人和盤的角速度。根據(jù)角動量守恒，分別表示任一時刻人和盤的角速度。根據(jù)角動量守恒，任一時刻系統(tǒng)角動量為：任一時刻系統(tǒng)角動量為：以以 和和Q Q分別表示人和盤對地分別表示人和盤對地面發(fā)生的角位移，則有：面發(fā)生的角位

39、移，則有：人可視為質(zhì)點，對軸的轉(zhuǎn)動慣量為：人可視為質(zhì)點，對軸的轉(zhuǎn)動慣量為：22i ijmrmR盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量為：盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量為：212JMR,dddtdtQW 0jJW . . 將這些量代入將這些量代入式可得：式可得：2212ddmRMRdtdtQ兩邊同乘兩邊同乘dt并積分并積分220012mR dMR dQQ12mMQ2pQ222mmMpQ 2pQQ人人相相對對于于盤盤直直了了一一周周, ,而而盤盤反反向向走走了了 , ,所所以以人人實實際際相相對對于于地地面面參參考考系系走走了了例例3、如圖所示的宇宙飛船對于其中心軸的轉(zhuǎn)動、如圖所示的宇宙飛船對于其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為慣量為J=5103

40、 kgm2，正以，正以 =0.1 rad/s的角的角速度繞中心軸旋轉(zhuǎn)。宇航員想用兩個切向的控速度繞中心軸旋轉(zhuǎn)。宇航員想用兩個切向的控制噴管使飛船停止旋轉(zhuǎn)。每個噴管的位置與軸制噴管使飛船停止旋轉(zhuǎn)。每個噴管的位置與軸線距離都是線距離都是r=1.5m，兩噴管的噴氣流量恒定，兩噴管的噴氣流量恒定，共是共是q=2 kg/s。廢氣的噴射速率。廢氣的噴射速率(相對飛船周邊相對飛船周邊) u=50 kg/s，并且恒定。問噴管應(yīng)噴射多長時間，并且恒定。問噴管應(yīng)噴射多長時間才能使飛船停止旋轉(zhuǎn)。才能使飛船停止旋轉(zhuǎn)。-u-uLgL0 r-u-uLgL0 r分析：分析：廢氣是從飛船中噴廢氣是從飛船中噴射出來的，若以飛船

41、和廢射出來的，若以飛船和廢氣為系統(tǒng)，則系統(tǒng)外力氣為系統(tǒng)，則系統(tǒng)外力(引引力力)對其中心軸的力矩為零對其中心軸的力矩為零,系統(tǒng)角動量守恒。系統(tǒng)角動量守恒。飛船飛船繞中心軸轉(zhuǎn)動繞中心軸轉(zhuǎn)動,角動量角動量L0=J 。噴出廢氣。噴出廢氣后后,廢氣具一定角動量。因系統(tǒng)廢氣具一定角動量。因系統(tǒng)L守恒，守恒，L廢氣廢氣則則L飛船飛船，當(dāng)，當(dāng)L飛船飛船全部轉(zhuǎn)化為全部轉(zhuǎn)化為L廢氣廢氣時，飛船時，飛船停止轉(zhuǎn)動。停止轉(zhuǎn)動。廢氣角動量如何實現(xiàn)增加呢？廢氣角動量如何實現(xiàn)增加呢？-u-uLgL0 r在噴氣過程中，以在噴氣過程中，以dm表示表示dt時時間內(nèi)噴出的氣體，這些氣體對間內(nèi)噴出的氣體，這些氣體對中心的角動量為：中心

42、的角動量為：廢氣的速度廢氣的速度u的方向為飛船周邊切線方向上，故的方向為飛船周邊切線方向上，故rv。dLdm ruv dm的廢氣產(chǎn)生的角動量為：的廢氣產(chǎn)生的角動量為：LrpLr mv 飛船周邊速率，飛船周邊速率，v= r在整個噴射過程中，噴出的廢氣的總角動量應(yīng)為：在整個噴射過程中，噴出的廢氣的總角動量應(yīng)為：由于由于uv，所以，所以dLdm ru0mgLdm rumru廢氣角動量的增加靠廢氣量的增加來實現(xiàn)。飛船每秒廢氣角動量的增加靠廢氣量的增加來實現(xiàn)。飛船每秒噴噴2廢氣，只要知道所需廢氣總量，就可求出所需廢氣，只要知道所需廢氣總量，就可求出所需時間。時間。-u-uLgL0 r解：以廢氣和飛船作為

43、系統(tǒng)。解：以廢氣和飛船作為系統(tǒng)。系統(tǒng)對中心軸的外力矩為零，系統(tǒng)對中心軸的外力矩為零，系統(tǒng)角動量守恒。系統(tǒng)角動量守恒。初態(tài)：初態(tài)：廢氣質(zhì)量遠(yuǎn)小于飛船質(zhì)量，故原來系統(tǒng)對飛船廢氣質(zhì)量遠(yuǎn)小于飛船質(zhì)量，故原來系統(tǒng)對飛船中心軸的角動量近似等于飛船自身的角動量。中心軸的角動量近似等于飛船自身的角動量。末態(tài)：末態(tài)：0LJ飛船角動量為零，系統(tǒng)角動量等于廢氣角動量。飛船角動量為零，系統(tǒng)角動量等于廢氣角動量。gLmru根據(jù)角動量守恒，有：根據(jù)角動量守恒，有：JJmrumru所求時間為：所求時間為： 35 100.13.32 1.5 50mJtsqqru例例4、如圖所示，一根長、如圖所示，一根長l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的

44、均勻桿的均勻桿靜止在一光滑水平面上。這的中點有一豎直靜止在一光滑水平面上。這的中點有一豎直光滑固定軸。一個質(zhì)量為光滑固定軸。一個質(zhì)量為m 的小球以水平速的小球以水平速度度 v0 垂直于棒沖擊其一端并粘上。求碰撞后垂直于棒沖擊其一端并粘上。求碰撞后球的速度球的速度 v 和棒的角速度和棒的角速度 以及由此產(chǎn)碰撞而以及由此產(chǎn)碰撞而損失的機(jī)械能。損失的機(jī)械能。vOl0vm解：以棒和球為系統(tǒng)。對于軸解：以棒和球為系統(tǒng)。對于軸O，碰撞過程中外力矩為零，角動量碰撞過程中外力矩為零，角動量守恒。守恒。初態(tài)：初態(tài)：末態(tài)：末態(tài)：00,2lLLmr vmv棒棒球球221,1212 24LJmlllLmr vmml棒

45、球由系統(tǒng)角動量守恒可得：由系統(tǒng)角動量守恒可得：2201112124mlvmlml解得：解得：0323mvlvrmm063mvmm lvOl0vm由碰撞而損失的機(jī)械能為由碰撞而損失的機(jī)械能為(勢能不變，故不考慮勢能不變，故不考慮)：初態(tài)機(jī)械能：初態(tài)機(jī)械能：機(jī)械能的損失為：機(jī)械能的損失為：222202222002011 1122 124611 1122 1243132Emvmlmlmvmvmlmlmm lmmvmm 200,2lEEmv K K棒棒K K球球 222211,1224lJmlJr dmmml棒棒球球末態(tài)機(jī)械能：末態(tài)機(jī)械能：2211,22EJEJK K棒棒棒棒K K球球球球例例4、求一

46、質(zhì)量為、求一質(zhì)量為m 的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑為軸的轉(zhuǎn)動慣量。為軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：一球繞解：一球繞Z軸旋轉(zhuǎn)，離球軸旋轉(zhuǎn)，離球心心Z高處切一厚為高處切一厚為dz的薄圓的薄圓盤。其半徑為：盤。其半徑為：22ZRrdZZRdZrdV)(222ppdZZRdVdm)(22pdZZRdmrdJ2222)(2121p其體積為：其體積為：其質(zhì)量為：其質(zhì)量為：其轉(zhuǎn)動慣量為：其轉(zhuǎn)動慣量為：YXZORrd ZZdmrdJ2212552158mRRp334RmpdJJRRdZZR222)(21pYXZORrd ZdZZR222)(21p例例1、一根長為、一根長為l、質(zhì)量為質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒

47、，的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺求它由此下擺 角時的角加速度和角速度角時的角加速度和角速度，這時棒受軸的力的大小、方向各如何？這時棒受軸的力的大小、方向各如何？ Ogdmdmldl F受力分析：根據(jù)題意，棒受軸受力分析：根據(jù)題意，棒受軸的力不能忽略，所以棒受兩個的力不能忽略，所以棒受兩個力：自身的重力和軸對它的作力：自身的重力和軸對它的作用力。用力。棒下擺至棒下擺至 時的角加速度時的角加速度細(xì)棒對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：細(xì)棒對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：213Jml只

48、需求出合外力矩只需求出合外力矩M，即可求出角加速度。由于軸對，即可求出角加速度。由于軸對細(xì)棒的作用力的作用點在轉(zhuǎn)軸上，所以此力對轉(zhuǎn)軸不細(xì)棒的作用力的作用點在轉(zhuǎn)軸上，所以此力對轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩，細(xì)棒所受外力矩為重力對轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生力矩，細(xì)棒所受外力矩為重力對轉(zhuǎn)軸O的力矩。的力矩。分析：分析： Ogdmdmldl FM J根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動定理：根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動定理：MdMx dm ggxdmM r FdM x dm g 根據(jù)質(zhì)心的定義：根據(jù)質(zhì)心的定義：如圖建立坐標(biāo)。取棒上一質(zhì)量為如圖建立坐標(biāo)。取棒上一質(zhì)量為dm的的質(zhì)元質(zhì)元。當(dāng)棒下擺至。當(dāng)棒下擺至 時，它時，它所受的重力對軸所受的重力對軸O的力矩為：的力矩

49、為：質(zhì)元質(zhì)元dm對對軸軸O的的水水平坐標(biāo)平坐標(biāo)整個棒受的重力對軸整個棒受的重力對軸O的力矩應(yīng)為：的力矩應(yīng)為：ccxdmxxdmm xm質(zhì)心的水質(zhì)心的水平坐標(biāo)平坐標(biāo)細(xì)棒質(zhì)心在其中點細(xì)棒質(zhì)心在其中點1cos2cxl1cos2Mmgl所以有：所以有：可得：可得：cMmgx21cos3cos2123mglgMJlml可得：可得： Ogdmdmldl Fxxy棒下擺至棒下擺至 時的角速度時的角速度分析：分析：角加速度角加速度 不是個恒量，而是個與不是個恒量，而是個與 有關(guān)有關(guān)的變量，不能直接用來求角速度。同時，力矩作的變量，不能直接用來求角速度。同時，力矩作用的細(xì)節(jié)和時間我們都不知道，只能嘗試用守恒用的細(xì)節(jié)和時間我們都不知道，只能嘗試用守恒律來求解